等差等比数列练习题含答案以及基础知识点.docx
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等差等比数列练习题含答案以及基础知识点
等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点
一、等差等比数列基础知识点
知识归纳:
1.概念与公式:
①等差数列:
1°.定义:
若数列{an}满足an1and(常数),则{an}称等差数列;
2°.通项公式:
ana1(n1)dak(nk)d;3°.前n项和公式:
公式:
Snn(a1an)n(n1)na1d.22②等比数列:
1°.定义若数列{an}满足an1,则{an}称等比数列;2°.通项公式:
q
anana1qn1akqnka1anqa1(1qn)(q1),当q=1时Snna1.;3°.前n项和公式:
Sn1q1q2.简单性质:
①首尾项性质:
设数列{an}:
a1,a2,a3,,an,
1°.若{an}是等差数列,则a1ana2an1a3an2;2°.若{an}是等比数列,则a1ana2an1a3an2.②中项及性质:
1°.设a,A,b成等差数列,则A称a、b的等差中项,且Aab;22°.设a,G,b成等比数列,则G称a、b的等比中项,且Gab.③设p、q、r、s为正整数,且pqrs,1°.若{an}是等差数列,则apaqaras;2°.若{an}是等比数列,则apaqaras;④顺次n项和性质:
1°.若{an}是公差为d的等差数列,则a,a,akkk1kn12nk2n13nnkkn2n3nk组成公差为n2d的等差数列;
2°.若{an}是公差为q的等比数列,则偶数时这个结论不成立)
⑤若{an}是等比数列。
a,a,ak1kn1k2n1k组成公差为qn的等比数列.;
2°.若n为偶数,则S偶S奇nd.2学习要点:
1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2.解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确,绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:
①三数成等差数列,可设三数为“a,a+m,a+2m”②三数成等比数列,可设三数为“a,aq,aq2(或
a,a,aq)”③四数成等差数列,可设四数为q“a,am,a2m,a3m(或a3m,am,am,a3m);”④四数成等比数列,可设四数为“a,aq,aq,aq(或23aa3,,aq,aq),”等等;类似的经验还很多,应在学习中总结经验.3qq[例1]解答下述问题:
111,,成等差数列,求证:
abcbccaab,,成等差数列;abcbbba,,c成等比数列.
222已知
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决。
112ac22acb(ac),acbacbbcabbcc2a2abb(ac)a2c2
(1)acacac2(ac)22(ac).b(ac)b
bccaab,,成等差数列;abcbbbb2b
(2)(a)(c)ac(ac)2,22242bbba,,c成等比数列.222设数列{an}的前n项和为Sn,且满足a21,2Snn(an1),
2
求证:
{an}是等差数列;若数列{bn}满足:
b13b25b3(2n1)bn2n1an6
求证:
{bn}是等比数列.
2Snn(an1)[解析]2Sn1(n1)(an11)①②
②-①得2an(n1)an1nan1(n1)an1nan1,
令n1得a11,a21,令n2得a33,猜想an2n3,用数学归纳法证明:
1)当n1时,a11213,a21223,结论正确;2)假设nk(k2)时结论正确,即ak2k3,
当nk1时,(k1)ak1kak1k(2k3)12k23k1(2k1)(k1)k2,ak12k12(k1)3,结论正确.
1)、2)知,当nN时,an2n3,
an1an(2n1)(2n3)2,即{an}是公差为2的等差数列;
(2)设Tn2n1an62n1(2n3)6,当n2时(2n1)bnTnTn12n1(2n3)2n(2n5)(2n1)2n,bn2n(n2),而b14
(1)62,也适合,当nN时bn2n,bn12,即{bn}是公比为2的等比数列.bn
[评析]判断一个数列成等差、等比数列主要方法有:
根据“中项”性质、根据“定义”判断,或通过“归纳猜想”并证明.
[例2]解答下述问题:
等差数列的前n项和为Sn,若SP求SPQ(用P,Q表示).
[解析]选择公式\Snanbn\做比较好,但也可以考虑用性质完成.
3
2QP,SQ(PQ),PQ
Q2aPbPP2[解法一]设Snanbn,PaQ2bQQ①
②
Q2P2①-②得:
(PQ)[a(PQ)b],PQ,
PQPQ,a(PQ)bPQ,PQ(PQ).PQ2
SPQ(PQ)[a(PQ)b][解法二]不妨设PQ,QPSPSQaQ1aQ2aPPQ(PQ)(aQ1aP)2(PQ).PQ2PQ(PQ)(a1aPQ)PQSPQ,PQ2PQ
SPQ等比数列的项数n为奇数,且所有奇数项的乘积为1024,所有偶数项的乘积为
1282,求项数n.
[解析]设公比为q,n12a1a3a5an102442
a2a4an11282a1q42
(1)
35252而a1a2a3an102412822(a1qn1n2352a1qn352123(n1)2352)2,将
(1)代入得
(2)2,
5n35,得n等差数列{an}中,公差d≠0,在此数列中依次取出部分项组成的数列:
ak1,ak2,,akn恰为等比数列,其中k11,k25,k317,
求数列{kn}的前n项和.
[解析]a1,a5,a17成等比数列,a5a1a17,
24
(a14d)2a1(a116d)d(a12d)0d0,a12d,数列{akn}的公比qa5a14d3,a1a1①②
akna13n12d3n1而akna1(kn1)d2d(kn1)d①,②得kn23n11,3n1{kn}的前n项和Sn2n3nn1[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例3]解答下述问题:
三数成等比数列,若将第三项减去32,则成等差数列;再将此等差数列的第二项减去4,又成等比数列,求原来的三数.
[解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简单,设等差数列的三项分别为a-d,a,a+d,则有
22(ad)(ad32)ad32d32a022(a4)(ad)(ad)8a16d8263d232d640,d8或d,得a10或,
39226338原三数为2,10,50或,,.999有四个正整数成等差数列,公差为10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数.[解析]设此四数为a15,a5,a5,a15(a15),
(a152)(a5)2(a5)2(a15)2(2m)2(mN)4a25004m2(ma)(ma)125,1251125525,ma与ma均为正整数,且mama,ma1ma2ma125ma25解得a62或a12(不合),所求四数为47,57,67,77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主
要方法.
二、等差等比数列复习题
一、选择题
1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列
为常数数列 为非零的常数数列 存在且唯一 不存在
5
2.、在等差数列
anan中,a14,且a1,a5,a13成等比数列,则an的通项公式为
3n1ann3 an3n1或an4 ann3或an4
ac的值为 xy3、已知a,b,c成等比数列,且x,y分别为a与b、b与c的等差中项,则
12 2 2 不确定
y是b,c的等比中项,那么x2,b2,y2三个数
4、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列,x是a,b的等比中项。
成等差数列不成等比数列 成等比数列不成等差数列既成等差数列又成等比数列 既不成等差数列,又不成等比数列5、已知数列
an的前n项和为Sn,S2n14n22n,则此数列的通项公式为
2n2 an8n2 an2n1 ann2n
2an6、已知(zx)4(xy)(yz),则
111111,,成等差数列,,成等比数列xyzxyzx,y,z成等差数列x,y,z成等比数列
7、数列
an的前n项和Snan1,则关于数列an的下列说法中,正确的个数有
①一定是等比数列,但不可能是等差数列②一定是等差数列,但不可能是等比数列③可能是等比数列,也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列
4 3 2 1
8、数列1
1111,3,5,7,,前n项和为 248161111112222nn1 nn1 nnn1nnn1
2222229、若两个等差数列
an、bn的前n项和分别为An、Bn,且满足An87
Bn78
4n25n5,则
a5a13b5b13的值为
10、已知数列
79
1920
an的前n项和为Snn25n2,则数列an的前10项和为
an的通项公式ann5为,从an中依次取出第3,9,27,…3,…项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列
n
56 58 62 60
11、已知数列
的前n项和为
n(3n13)3n10n33n110n3n 35
22212、下列命题中是真命题的是 ( )
6
A.数列
an是等差数列的充要条件是anpnq(p0)
an的前n项和为Snan2bna,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
B.已知一个数列C.数列
an是等比数列的充要条件anabn1D.如果一个数列二、填空题
an的前n项和Snabnc(a0,b0,b1),则此数列是等比数列的充要条件是ac0
an,公比q1a5,a7,a8,成等差数列,则公比q=
a2a6a18=
13、各项都是正数的等比数列
14、已知等差数列
an,公差d0,a1,a5,a17成等比数列,则a1a5a17415、已知数列
an满足Sn11an,则an= an是公差d不为零的等差数列,数列ab是公比为q的等比数列,b11,b210,b346,求公比q及bn。
n16、在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 二、解答题17、已知数列
18、已知等差数列
19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为216,后三个数成等差数列,其和为36,求这四个数。
20、已知
21、数列求
an的公差与等比数列bn的公比相等,且都等于d(d0,d1),a1b1,a33b3,a55b5,求an,bn。
an为等比数列,a32,a2a420,求an的通项式。
3an的前n项和记为Sn,a11,an12Sn1n1an的通项公式;
bn的各项为正,其前n项和为Tn,且T315,又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列,求Tn
等差数列
22、已知数列
an满足a11,an12an1(nN*).an的通项公式;bn满足4b1...4b1(an1)b(nN),证明:
bn是等差数列;
12nn求数列
若数列
第九单元数列综合题
一、选择题题号1
234567891011127
答BDCAAACADDDD案二、填空题13.
152 14.2629 15.43(13)n 16.63
三、解答题
=a1,ab2=a10=a1+9d,ab3=a46=a1+45d
{abn}为等比数例,得2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.∴q=4又{abn}是{an}中的第bna项,及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1∴bn=3·4n-1-2
18.∴a3=3b3,a1+2d=3a1d2,a1(1-3d2)=-2d① a5=5b5,a1+4d=5a1d4,∴a1(1-5d4)=-4d ②
②15d422155①,得13d2=2,∴d=1或d=5,题意,d=5,a1=-5。
∴an=a1+(n-1)d=5(n-6)19.设这四个数为
aq,a,aq,2aqa①则aq·aaq216 ①,得a3=216,a=6③aaq(3aqa)36②③代入②,得3aq=36,q=2∴这四个数为3,6,12,18
20.解:
设等比数列{aan}的公比为q,则q≠0,a2=32
q=q,a4=a3q=2q
所以220q+2q=3,解得q1
1=3
,q2=3,
当q11-18-
1=3,a1=18.所以an=18×(3)n1=3n-1=2×33n.
当q=3时,a22-
1=9,所以an=9
×3n-1=2×3n3.
21.解:
(I)an12Sn1可得an2Sn11n2,两式相减得
an1an2an,an13ann2
又a22S113∴a23a1 故an是首项为1,公比为3得等比数列 ∴an1n3
bn=a1dn-1=-5·(5n-15)8
设bn的公差为d
T315得,可得b1b2b315,可得b25故可设b15d,b35d又a11,a23,a39
题意可得5d15d9532解得d12,d210
∵等差数列bn的各项为正,∴d0∴d2
∴Tnn1n3n22n22n22:
an12an(1n,)N*
an112(an1),an1是以a112为首项,2为公比的等比数列。
ann12.
即a*n221(nN).证法一:
4b114b21...4bn1(an1)bn.
4(b1b2...bn)n2nbn.
2[(b1b2...bn)n]nbn, 2[(b1b2...bnbn1)(n1)](n1)bn1. ②-①,得2(bn11)(n1)bn1nbn,即(n1)bn1nbn20,
③
nbn2(n1)bn120. ④
④-③,得nbn22nbn1nbn0,
即bn22bn1bn0,
①
②9
bn2bn1bn1bn(nN*),
bn是等差数列。
10
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