圆锥曲线高考题汇编理科.docx
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圆锥曲线高考题汇编理科
圆锥曲线2013年高考题汇编(理科)
32.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交的长轴于点,求的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值.
【答案】解:
(Ⅰ)由于,将代入椭圆方程得
由题意知,即又
所以,所以椭圆方程为
(Ⅱ)由题意可知:
=,=,设其中,将向量坐标代入并化简得:
m(,因为,
所以,而,所以
(3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:
所以,而,代入中得
为定值.
33.(2013年高考上海卷(理))(3分+5分+8分)如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.
(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1—C2型点”;
(3)求证:
圆内的点都不是“C1—C2型点”.
【答案】:
(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为;
(2)直线与C2有交点,则
若方程组有解,则必须;
直线与C2有交点,则
若方程组有解,则必须
故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.
(3)显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在;
根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则
直线与圆内部有交点,故
化简得,............①
若直线与曲线C1有交点,则
化简得,.....②
由①②得,
但此时,因为,即①式不成立;
当时,①式也不成立
综上,直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,
即圆内的点都不是“C1-C2型点”.
34.(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为.分别将线段和十等分,分点分别记为和,连结,过做轴的垂线与交于点.
(1)求证:
点都在同一条抛物线上,并求该抛物线的方程;
(2)过点做直线与抛物线交于不同的两点,若与的面积比为,求直线的方程.
【答案】解:
(Ⅰ)依题意,过且与x轴垂直的直线方程为
直线的方程为
设坐标为,由得:
即,
都在同一条抛物线上,且抛物线方程为
(Ⅱ)依题意:
直线的斜率存在,设直线的方程为
由得
此时,直线与抛物线恒有两个不同的交点
设:
则
又,
分别带入,解得
直线的方程为,即或
35.(2013年高考湖南卷(理))过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点A,B,相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为.
(I)若,证明;;
(II)若点M到直线的距离的最小值为,求抛物线E的方程.
36.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积取最大值时直线的方程.
【答案】解:
(Ⅰ)由已知得到,且,所以椭圆的方程是;
(Ⅱ)因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦;
由,所以
所以
当时等号成立,此时直线
37.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准方程.
38.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))设椭圆的焦点在轴上
(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:
当变化时,点在某定直线上.
【答案】解:
(Ⅰ).
(Ⅱ).
由.
所以动点P过定直线.
39.(2013年高考新课标1(理))已知圆:
圆:
动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
【答案】由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.
设动圆的圆心为(,),半径为R.
(Ⅰ)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4,
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.
(Ⅱ)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
∴当圆P的半径最长时,其方程为,
当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.
当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设:
由于圆M相切得,解得.
当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.
当=-时,由图形的对称性可知|AB|=,
综上,|AB|=或|AB|=.
40.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若,求k的值.
【答案】
41.(2013年高考江西卷(理))如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.
(1)求椭圆的方程;
(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:
是否存在常数,使得?
若存在求的值;若不存在,说明理由.
【答案】解:
(1)由在椭圆上得,①
依题设知,则②
②代入①解得.
故椭圆的方程为.
(2)方法一:
由题意可设的斜率为,
则直线的方程为③
代入椭圆方程并整理,得,
设,则有
④
在方程③中令得,的坐标为.
从而.
注意到共线,则有,即有.
所以
⑤
④代入⑤得,
又,所以.故存在常数符合题意.
方法二:
设,则直线的方程为:
令,求得,
从而直线的斜率为,
联立,得,
则直线的斜率为:
直线的斜率为:
所以,
故存在常数符合题意.
42.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD版))已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:
的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(Ⅲ)当点在直线上移动时,求的最小值.
【答案】(Ⅰ)依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.
所以抛物线的方程为.
(Ⅱ)抛物线的方程为,即,求导得
设,(其中),则切线的斜率分别为,,
所以切线的方程为,即,即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点,所以,
所以为方程的两组解.
所以直线的方程为.
(Ⅲ)由抛物线定义可知,,
所以
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得,
所以
又点在直线上,所以,
所以
所以当时,取得最小值,且最小值为.
43.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD版含答案))平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直交于两点,为的中点,且的斜率为.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.
【答案】
44.(2013年高考湖北卷(理))如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,.记,和的面积分别为和.
(I)当直线与轴重合时,若,求的值;
(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?
并说明理由.
【答案】解:
(I),
解得:
(舍去小于1的根)
(II)设椭圆,,直线:
同理可得,
又和的的高相等
如果存在非零实数使得,则有,
即:
解得
当时,,存在这样的直线;当时,,不存在这样的直线.
45.(2013年高考北京卷(理))已知A、B、C是椭圆W:
上的三个点,O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
【答案】解:
(I)椭圆W:
的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1,),代入椭圆方程得,即.所以菱形OABC的面积是.
(II)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为.
由消去并整理得.
设A,C,则,.
所以AC的中点为M(,).
因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为.
因为,所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.
46.(2013年高考陕西卷(理))已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线过定点.
【答案】解:
(Ⅰ)A(4,0),设圆心C
(Ⅱ)点B(-1,0),.
直线PQ方程为:
所以,直线PQ过定点(1,0)
47.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD版))如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为.
(I)求的值;
(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方程.
【答案】
48.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为直线与的两个交点间的距离为.
(I)求;
(II)设过的直线与的左、右两支分别相交于两点,且,证明:
成等比数列.
【答案】
49.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
已知抛物线的焦点为.
(1)点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程;
(2)在轴上是否存在点,使得点关于直线的对称点在抛物线上?
如果存在,求所有满足条件的点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】
(1)设动点的坐标为,点的坐标为,则,
因为的坐标为,所以,
由得.
即解得
代入,得到动点的轨迹方程为.
(2)设点的坐标为.点关于直线的对称点为,
则解得
若在上,将的坐标代入,得,即或.
所以存在满足题意的点,其坐标为和.
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