线性代数公式定理032425.docx
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线性代数公式定理032425
ii对角线法则
I沙路法
D=
十十十
°=场1叱甜+知讣n十逊护皿少
—旧]]日2工盤-a13a51fl3j—%旳曲]
(7)三角行列式的计算:
下(上)
上元素的乘积,即
a110
a21a22
三角形行列式的值等于主对角线
0
0
a11a22ann
线代公式定理
章一、行列式
1、n阶行列式
(1)(定义)由自然数1,n组成的一个有序数组称为一
个n阶排列,记为jij2…jn.
(2)(定义)在一个排列中,若一个较大的数排在一个较小的数的前
面,则称这两个数构成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.用(jij2…jn)表示排列jl,j2,…,jn的逆序数.逆序数
是偶数的排列称为偶排列,逆序数是奇数的排列称为奇排列。
(3)(定义)把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数不动,
就得到一个新的排列,这种变换称为排列的一个对换。
(4)(定理)一次对换改变排列奇偶性。
(5)(推论)任何一个n阶排列都可以通过对换化成标准排列,并且
所作对换的次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同。
(6)三阶行列式的计算:
2、行列式的性质
(1)(性质)行列式与它的转置行列式相等,即。
(2)(性质)如果行列式某一行(列)元素有公因数k,则k可以提到行列式符号外边。
(3)(推论)如果行列式中某一行(列)元素全为零,那么行列式等于零。
(4)(性质)如果行列式中两行(列)互换,那么行列式只改变一个符号。
(5)(推论)若行列式中有两行(列)相同,则行列式的值为零。
(6)(推论)如果行列式中两行(列)的对应元素成比例,那么行列式值为0。
(7)(性质)如果行列式某行(列)的各元素都可以写成两数之和,则此行列式等于两个行列式的和。
(8)(性质)如果将行列式中某行(列)的各元素同乘一数k后,加到另一行(列)的各对应元素上,则行列式的值不变。
(9)(性质)若aj=ai(i,j=1,2,…,n),则称行列式D为对称的;若aj=-aji(i,j=1,2,…,n),则称行列式D为反对称.由定义易知,在反对称行列式中,aii=0(i=1,2,…,n)。
3、行列式的展开与计算
(1)(定义)在n阶行列式D=|aj|n中,划掉元素a”所在的第i
行和第j列后,留下的元素按照原来的顺序组成的n-1阶行列式称为元素aj的余子式,记为M。
Aj
(1)ijMij称为元素aj的代
数余子式。
•
(2)(定理)n阶行列式D=|aij|n等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
DaiAia2A2anAh(i12,n)
(3)定理1.3.2n阶行列式D=|aij|n中某一行(列)的各个元素与
另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于0.即
〈】日:
++…+现凡二心丰仓、
(+电/L+…+鬆处=(心丰灼
(4)两个重要公式:
召%4厂仏当心焉若%当八匕
(5)(定义)在n阶行列式D中,任取k行、k列(1kn-1),由这些行和列交叉处的元素按照原来的相对位置所构成的k阶行列式N,称为D的一个k阶子式.在行列式D中去掉k阶子式N所在的行和列以后,剩下的元素按原来的顺序构成的nk阶行列式M称为N的余子式若N所在的行序数为i1,i2,…,ik,所在的列序数为j1,j2,…,jk,则称i=I心—F+X
为N的代数余子式。
(6)(拉普拉斯(Laplace)定理)在n阶行列式D中任意选取k行(列)(1kn-1),则由这k个行(列)中的一切k阶子式N,N2,…,N与它们所对应的代数余子式A,A,…,A乘积之和等于
D=\\小泌*…乜4=,t=c:
D,即其中。
4、克莱姆法则
(1)(克莱姆(Cramer)法则)如果线性方程组(1.4.1)的系数行列式”0,则方程组有唯一解,并且解可以用行列式表示为
鸟=务…E=务廷二务,…,為=务,其中D(j=1,2,…,n)是把系数行列
式D中第j列的元素用方程组(1.4.1)右端的常数项bi,b2,bn
代替后所得到的n阶行列式,即
…%八
^1J+1
…兀
D.=
込]
…务
j
■
*
•♦
■'<■
■-1
…白3
*
9
*
■■
■V
1-
B•
・■
C«
(2)(定义)当线性方程组(1.4.1)右端的常数项b1,b2,…,bn不全为零时,称为非齐次线性方程组;当b,b,…,bn全为零时,称为齐次线性方程组。
(3)(推论)若齐次线性方程组”n…,兀
j=j
的系数行列式"0,则它只有唯一的零解。
(4)(定理)若齐次线性方程组有非零解,则系数行列式D=0
5、数域
(1)(定义)设P是由一些数组成的集合,包含0和1.如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不等于零)仍在P中,那么我们称P是一个数域。
⑵(定理)设P为任何一个数域,则QP。
章二、矩阵
概念
(1)(定义)数域P上mKn个数aj(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)
排成的m行n列数表
%
t712
8"
a2Y
&22
A«V
«*«
«4*
J
¥-V*
3
称为P上的一个m行n列矩阵,或称为mn矩阵,简记为(a"nKn或(aj).其中aj称为这个矩阵中第i行第j列的元素.当P是实数域时,称数表为实矩阵,当P是复数域时,称数表为复矩阵。
(2)行矩阵、列矩阵:
在mn矩阵A=(aj)中,如果n=1,这
时A=(aii,ai2,…,am),称其为行矩阵,也称为n维行向量;如果
n=1,这时
称其为列矩阵,也称为m维列向量。
零矩阵:
所有元素都为零的mn矩阵
0、
0
称为零矩阵,记为
O^kn或Q
(3)在mn矩阵A=(aj)中,当m=n时,称为n阶方阵,简记为
(aij)n.
Ipi]512…
(4)对于n阶方阵A可定义行列式旳?
…牛,称其为矩阵A的行列式,记为IA。
.力…5
'10…『
01・“0
(5)形如E=・的矩称为单位阵
hgI
n阶方阵称为对角形矩阵,记为
A二右…,心)
』0…1;
(6)非主对角线上元素全为零的
(A.0…0N
A0心…0简写为
■■V
■*
I00*»*几血丿I
(7)当n阶对角形矩阵主对角线上的元素,=;=■'■=.,二•时,
卢久0*■*0^1
称为数量矩阵U兄…°。
*«■M
«■«
100»■4」
(8)上(下)三角形矩阵:
在n阶方阵(a)n中,如果主对角线下(上)方的元素全为零,即当i>j时,aij=0(i,j=1,2,…,n),则称之为上(下)三角形矩阵。
二、运算
(1)(定义)两个矩阵A=(aq)论n,B=(bij)sxt,如果m=s,n=t,称A与B是同型矩阵;若数域P上的同型矩阵A=(aij)mxn与B=(bij)mxn的对应元素相等,即aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),称A与B相等,记作A=BO
(2)(定义)设A=(aij)mxn,B=(bij)mxn为数域P上的两个同型矩
阵,称矩阵(aij+bij)mxn为矩阵A与B的和,记作O
(3)定义223设A=(aij)mxn;为数域P上的矩阵,k€P.数k与
矩阵A的每个元素相乘后得到的矩阵(kaij)mxn称为数k与矩阵
A的数量乘积,简称为数乘,记作。
(4)矩阵的加法与数乘称为矩阵的线性运算若矩阵A=(aj)m 则称矩阵(-aij)m (5)运算律: 1加法交换律A+B=B+A 2加法结合律(A+B)+C二A+(B+C); 3A+O=O+A二这里0是与A同型的零矩阵; 4A+(-A)=(-A)+A=O; 5)k(A+B)=kA+kB; 6(k+l)A=kA+lA; 7(kl)A=k(lA)=l(kA); 81A=A,0A=O (6)(定义)设A=(aij)k,B=(bj)kxn,C=(Cj)mxn均为数域P上的矩阵,其中两i/+诙+叫劫r右必不必“小必胡称矩阵C是A与B的乘积,记作C=AB ***只有当左乘矩阵A的列数等于右乘矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.乘积矩阵AB的行数等于左乘矩阵A的行数,AB的列数等于右乘矩阵B的列数 (7)矩阵乘法与数的乘法区别: 1矩阵乘法不满足交换律; 2矩阵乘法不满足消去律; 3两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵; (8)设ABC为数域P上的矩阵,k€P,它们的乘法满足如下运算 规律: ①结合律(AB)C=A(BC; 2分配律A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA 3k(A^=(kA)B=A(kB),k为任意常数; (9)定义225设A是n阶矩阵,k为正整数,定义k个A的 连乘积为A的k次幂,记作八即卅=厂月…&这里规定 Jvr A A0=eo (10)定理2.1.1设AB均为n阶方阵,k为常数,则|kA|=k]A|, |AE|=|AlB。 (要求A,B为同型矩阵) (11)(定义)设mKn矩阵J二 (、 X1LbIu ^21召22…丑 ■£4kujJ **■> «I» ,将矩阵A的 1务|5…%; f、 ^11夠… 行列互换,而不改变其先后次序得到的nkm矩阵 理1卑■il■■富閃勺 I1-» ■■■ 称为矩阵A的转置矩阵,记为A(或A)o 回上抵…如」 (12)设A,B为数域P上的矩阵,k€P,矩阵的转置满足如下运算规律: ①(At)t=A; TTT- 2(A+B)=A+B; 3(kA)T=kAr(k为任意常数); 4|A>|A(A为方阵); 5(ABT=BrAr; (13)(定义)设A=(aj)是n阶方阵,如果A=A即aj=aji(i,j=1,2,…,n),则称A为对称矩阵;如果Ar=-A,即aj=-^i(i,j=1,2,…,n),则称A为反对称矩阵.显然在反对称矩 阵中,主对角线上的元素均为零. 三、逆矩阵 (1)(定义)设A是n阶方阵,若有一个n阶方阵B,使得AE=BA=E,则B 称为A的逆矩阵,A称为可逆矩阵,或非奇异矩阵;定义中A与B的地位是等同的,所以B也是可逆矩阵,并且A是B的逆矩阵 ⑵定理231若A是一个n阶可逆矩阵,则它的逆矩阵是唯 ⑶(定义)设A=(aij)nXn,A为的行列式|A中元素aj的代数 A1力21…如 余子式,称尹二心…心为矩阵A的伴随矩阵 «I-4 (4) (定理)n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A0,且A可逆时,有 (5)(推论)设A与B都是n阶方阵,若AB=E则AB都可逆,并且 A1二BB1=Ao (6)(性质)若A可逆,则A1可逆,且(A1)-1二A (7)(性质)若A可逆,则lA^IAI-1. (8)(性质)若A可逆,则(A)—(AT (9)(性质)若n阶矩阵AB都可逆,则AB可逆,且(AB-1二B^A1。 (10)(性质)若A可逆,数CO,则(kA)-1=k'A1o (11)(性质)若A可逆,且AB=O则B=O(12)性质7若A可逆, 且AB二AC则B=C(13)矩阵方程AX二C,XA二C,AXB二淇中AB均为可 逆矩阵.则上述矩阵方程分别有唯一解X=A-1C,X=CA-1, X=A-1CB-1 (14)(定义)设A为实数域R上的方阵,如果它满足AAT二ATA二剛称A为正交矩阵。 (15)(定理)实数域R上的方阵A为正交矩阵的充分必要条件是卞=人。 (16)正交矩阵的性质: 1若A为正交矩阵,则|A|=1或|A|=-1; 2正交矩阵的逆矩阵及转置矩阵仍为正交矩阵; 3若AB是同阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵; 4)正交矩阵的每行(列)元素的平方和等于1,不同两行(列)的对应元素乘积之和等于0。 四、分块矩阵 (1)定义241设A是一个矩阵,用贯穿于的纵线和横线按某 种需要将其划分成若干个阶数较低的矩阵,这种矩阵称为A的子 块或子矩阵,以这些子块为元素构成的矩阵称为A的分块矩阵。 (2)分块矩阵的运算: 设AB为mKn矩阵,将A,B采用同样的方法进行分块,得到 则有 ^12 AJ …切 A= i rE ■i Aj? •… ■fa 牛川z? ■ …牛 A J2* r2 "xw丿 & …佻丿 f4L+很+占心…比+坷。 41十血厶十血…厶十B沁 %+%A用+氐…£+ (k为常数) Mi 斤42 …g ^21 kA^ ■9 …kA2q ■ ■» Si ■ •…kA 若分块矩阵 …A? …血 则有 Hi (3)分块矩阵的乘法: 设矩阵A=(aij)mxs,B=(bij)Sx 用分块矩阵计算AB的乘积AB时, 一定要使A的列的分法与B的行的分法一致,这样不仅可以保证 AB作为分块矩阵可乘,而且它们相应的各子块间的乘法也有意 义,即 彳2… 414a…4/? ■VV<9 -■4-« 灼*二 *, 血毘2…Afl ««■ ♦♦* ||4! V41• 4厶…心丿 V r 4绻… A= 其中矩阵A的子块Aik为mixSk(i=1,2,…,r, <1 %珂…入 k=1,2,…,p)矩 阵,矩阵B的子块Bj为Skxnj(k=1,2,…,p;j=1,2,…,q)矩 工址=ni,j-i AB= 工爲=s, a GiG,…氐 Gx匚…5 其中厂[为mixnj矩阵(i=1,2,…,r, j=1,2,…,q)。 (4)定义2.5.2设A为n阶方阵,如果它的分块矩阵具有如下形式仏) A=& I『/I 其中A(i=1,2,…,s)为ni阶方阵2气二〃,则称A为准对角形矩阵。 门 (5)设A,B同型方阵,且子块同型,则有 1. 2. AE= 3.|A=lAllA|…|A|; 4.若|A|0(i=1,2,…,s),则 r4 Ay ■ -1 4_1 ■ * LA-」 « r1 五、初等变换与初等矩阵 (1)(定义)矩阵A的下列变换称为它的初等行(或列)变换: (三种初等变换分别简称为互换、倍乘、倍加。 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换) 1.互换矩阵A的第i行与第j行(或第i列与第j列)的位置,记为rirj(或cicj); 2.用常数k工0去乘矩阵A的第i行(或第j列),记为kri(或kcj); 3•将矩阵A的第j行(或第j列)各元素的k倍加到第i行(或第i列)的对应元素上去,记为ri+krj(或ci+kcj); (2)定义2.5.2如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B, 则称A与B等价,记为A旦B,或ABo (3)等价是矩阵间的基本性质: 1.自反性: A^A: 2.对称性: 若2B,则B幻A; 3.传递性: 若A旦B,B旦C,则A^C; (4)(定义)如果矩阵A满足下列条件: 1若有零行,则零行全在矩阵A的下方; 2A的各非零行的第一个非零元素的列序数小于下一行中第一 个非零元素的列序数; 则称A为行阶梯形矩阵,或阶梯形矩阵。 {如果矩阵A除满足上 述条件①、②外,还满足条件: ③各非零行的第一个非零元素均 为1,且所在列的其它元素都为零,则称A为简化的阶梯形矩 阵。 } (5)阶梯形矩阵的一般形式为 (6)上述矩阵中,bk(1kr)为非零常数, *号表示某一常数。 「0 …0 3 + *««■ * * + …+1 0 …0 0 0 …0 £… * * : ■一* 0 **■•* …0 A n ■i 0 •.■* …o *…■* 0--- 0 ■ ■ ■ ■■** * ■■■* ■8 0 **•: …0 * * ■i s * ■v.HH ■ …0 «| ■■■* 0 * …0 •* 0 ■ » ■ A R - * : •… 0 0 ■ …0 - 0 - I- …0 * …0 0 0 …0 0… 0 0 …0 0 …0丿 (7)定理2.5.1任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形。 (8)定理2.5.2任意非零矩阵A=(aj)m^n都与它的标准形等价 即存在矩阵 (Er勺 0\ ,其中Er 为r阶单位矩阵,1rmin{m,n} (9)(定义)由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵(三种变换方式对应三种类型的初等矩阵: 分别称为互 换、倍乘、倍加初等矩阵) (10)初等矩阵的性质: 1初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵; 2初等矩阵都是可逆矩阵; 3初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵,且 =my,J) 矿Q(归)=(丄)) k 矿aa))=皿;) (11)(定理)设A是一个mKn矩阵,对A作一次初等行变换, 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A作一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n初等矩阵。 (由这个 定理,矩阵的初等变换和矩阵乘法建立了联系) (12)(定理)mn矩阵A与B等价有m阶初等矩阵Pi,P2,…,Ps 与n阶初等矩Q,Q,… 若记P=P1,P2,…,Ps,Q=Q,Q,…,Q,贝yP为m阶可逆矩阵,Q 为n阶可逆矩阵,于是得到以下推论: ①推论: mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆 矩阵Q,使得PAB=B 2推论: 对于任意非零mn矩阵A存在m阶可逆矩阵P与n (ed 阶可逆矩阵Q,使得/加二f。 3推论: 若A为n阶可逆矩阵〃则〃丿A仝E。 4推论: 推论4n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它可表示成 有限个初等矩阵的乘积。 (13)可利用下面的方式求A的逆矩阵。 六、矩阵的秩 (1)(定义)在矩阵A中,任取k行,k列(1 (2)(定义)若在mxn矩阵A中,有一个r阶子式不为零,而所有的r+1阶子式(若存在的话)都为零,则称r为矩阵A的秩,记为R(A)=r。 特别的,零矩阵的秩规定为零。 (***: 如果矩阵A的所有的r+1阶子式都为零,那么A的所有高于r+1阶的子式(若存在的话)也必然为零.因此R(A)是A中不为零的子式的最高阶数) (3)由定义以上可以看出,在矩阵A中,若存在一个r阶子式不为零,则R(A)>r,若所有的r+1阶子式都为零,则代A (4)对于矩阵A=(aj)mn,显然有日.力 由矩阵秩的定义,显然阶梯形矩阵的秩等于矩阵中非零行的行数。 (5)(定理)n阶方阵A的秩为n的充分必要条件是A为可逆矩阵。 即二nA可逆。 (6)对于n阶方阵A,若R(A)=n,则称A为满秩矩阵,若R(A) (7)(定理)初等变换不改变矩阵的秩。 (8) 它的标准 任意非零矩阵A都可以经过有限次初等变换化为标准形形是唯一的,并且R(A)=r。 (9))(推论)两个同型矩阵A与B等价的充分必要条件是RA)=F(B)。 (10)推论2设A为mxn矩阵,P和Q分别为m阶与n阶可逆矩阵,则有: 斤⑷-m-叽4Q)-R(PA$ (11)&A+B) 章三、向量组的线性相关性 一、向量的概念与运算 (1) (a1,a2,…,an),称为P上 (定义)由数域P上的n个数组成的有序数组的一个n维向量,记为a,即a=(a1,a2,…,an)。 a1 (2) 称为n维列向量 a=(a*a2,…,an)称为n维行向量, (3)在线性方程组 中,令 .4= lJul b- « « 曹 A X=(Xi,X2,…学n)T 坷曲+坷商+…+比A=心 遹]+透必2+*…+遇」;_At 则方程组可写作 •…码拧, A= 1 V V □ » ■ V …% ■ V ■ «■ --■QJ血 Ax=b,并记 称为增广矩阵。 (4)线性变换的系数矩阵 线性变换的定义: 设变量yi,y2丄,ym能用变量Xi,X2,L,Xn线性表示,即 yi 耳1Xi 812X2 L *1nXn y2 821X1 *22X2 L 82nXn LL LLL LLL LL L ym am1X1 8m2X2 L Rmn^ 这里aij(i1,2,L,m;j1,2,L,n)为常数.这种从变量xi,X2丄,Xn到变量yi,y2L,ym的变换称为线性变换,线性变换由m个n元函数组成,每个函数 都是变量的一次幕, 故而称之为线性变换。 *11 *12 L 81n A821 822 L 82n r\ L L L L 8m1 8m2 L 8mn 称之为线性变换的 系数矩阵。 线性变换和系数矩阵是对应的 二、向量组的线性相关性 am,B都是数域P上的n维向量,如果存 (1)(定义)设a1,a2, 在数域P上的数k1,k2,…,km,使得「r则称B是向量a1,a2,…,am的线性组合,或称B可由向量组a1,a2,…,am线性表出(示)。 (2)判断一个向量组是否线性相关,往往把其转化为对线性齐次方程组是否有 非零解的讨论。 系数行列式为零,该方程组有非零解,故向量组a1,a2,a3,a4 线
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