新步步高学年高二物理人教版选修35学案第十六章 习题课 动量守恒定律的应用.docx
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新步步高学年高二物理人教版选修35学案第十六章习题课动量守恒定律的应用
习题课 动量守恒定律的应用
[目标定位] 1.进一步理解动量守恒定律的含义,理解动量守恒定律的系统性、相对性、矢量性和独立性.
2.进一步熟练掌握应用动量守恒定律解决问题的方法和步骤.
1.动量守恒定律成立的条件
动量守恒定律的研究对象是相互作用的物体系统,其成立的条件可理解为:
(1)理想条件:
系统不受外力.
(2)实际条件:
系统所受外力为零.
(3)近似条件:
系统所受外力比相互作用的内力小得多,外力的作用可以被忽略.
(4)推广条件:
系统所受外力之和虽不为零,但在某一方向,系统不受外力或所受的外力之和为零,则系统在这一方向上动量守恒.
2.动量守恒定律的五性
动量守恒定律是自然界最重要、最普遍的规律之一.它是一个实验定律,应用时应注意其:
系统性、矢量性、相对性、同时性、普适性.
一、动量守恒条件及守恒对象的选取
1.动量守恒定律成立的条件:
(1)系统不受外力或所受外力的合力为零;
(2)系统在某一方向上不受外力或所受外力的合力为0;
(3)系统的内力远大于外力.
2.动量守恒定律的研究对象是系统.选择多个物体组成的系统时,必须合理选择系统,再对系统进行受力分析,分清内力与外力,然后判断所选系统是否符合动量守恒的条件.
例1
图1
质量为M和m0的滑块用轻弹簧连接,以恒定速度v沿光滑水平面运动,与位于正对面的质量为m的静止滑块发生碰撞,如图1所示,碰撞时间极短,在此过程中,下列情况可能发生的是( )
A.M、m0、m速度均发生变化,碰后分别为v1、v2、v3,且满足(M+m0)v=Mv1+mv2+m0v3
B.m0的速度不变,M和m的速度变为v1和v2,且满足Mv=Mv1+mv2
C.m0的速度不变,M和m的速度都变为v′,且满足Mv=(M+m)v′
D.M、m0、m速度均发生变化,M和m0的速度都变为v1,m的速度变为v2,且满足(M+m0)v=(M+m0)v1+mv2
答案 BC
解析 M和m碰撞时间极短,在极短的时间内弹簧形变极小,可忽略不计,因而m0在水平方向上没有受到外力作用,动量不变(速度不变),可以认为碰撞过程中m0没有参与,只涉及M和m,由于水平面光滑,弹簧形变极小,所以M和m组成的系统水平方向动量守恒,两者碰撞后可能具有共同速度,也可能分开,所以只有B、C正确.
例2
图2
如图2所示,一辆砂车的总质量为M,静止于光滑的水平面上.一个质量为m的物体A以速度v落入砂车中,v与水平方向成θ角,求物体落入砂车后车的速度v′.
答案 mvcosθ/(M+m)
解析 物体和车作用时总动量不守恒,而水平面光滑,系统在水平方向上动量守恒,即mvcosθ=(M+m)v′,得v′=mvcosθ/(M+m).
二、多物体多过程动量守恒定律的应用
对于由多个物体组成的系统,由于物体较多,作用过程较为复杂,这时往往要根据作用过程中的不同阶段,将系统内的物体按作用的关系分成几个小系统,对不同阶段、不同的小系统准确选取初、末状态,分别列动量守恒定律方程求解.
例3
(2014·江西高二联考)如图3所示,A、B两个木块质量分别为2kg与0.9kg,A、B与水平地面间接触光滑,上表面粗糙,质量为0.1kg的铁块以10m/s的速度从A的左端向右滑动,最后铁块与B的共同速度大小为0.5m/s,求:
图3
(1)A的最终速度;
(2)铁块刚滑上B时的速度.
答案
(1)0.25m/s
(2)2.75m/s
解析
(1)选铁块和木块A、B为一系统,
由系统总动量守恒得:
mv=(MB+m)vB+MAvA
可求得:
vA=0.25m/s
(2)设铁块刚滑上B时的速度为u,此时A、B的速度均为vA=0.25m/s.
由系统动量守恒得:
mv=mu+(MA+MB)vA
可求得:
u=2.75m/s.
借题发挥 处理多物体、多过程动量守恒应注意的问题
1.注意正方向的选取.
2.研究对象的选取,是取哪几个物体为系统.
3.研究过程的选取,应明确哪个过程中动量守恒.
针对训练
图4
两辆质量相同的小车,置于光滑的水平面上,有一人静止站在A车上,两车静止,如图4所示.当这个人从A车跳到B车上,接着又从B车跳回A车并与A车保持相对静止,则A车的速率( )
A.等于零B.小于B车的速率
C.大于B车的速率D.等于B车的速率
答案 B
解析 选A车、B车和人作为系统,两车均置于光滑的水平面上,在水平方向上无论人如何跳来跳去,系统均不受外力作用,故满足动量守恒定律.设人的质量为m,A车和B车的质量均为M,最终两车速度分别为vA和vB,由动量守恒定律得0=(M+m)vA-MvB,则
=
,即vA 三、动量守恒定律应用中的临界问题分析 在动量守恒定律的应用中,常常会遇到相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界问题.分析临界问题的关键是寻找临界状态,临界状态的出现是有条件的,这个条件就是临界条件.临界条件往往表现为某个(或某些)物理量的特定取值.在与动量相关的临界问题中,临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系,这些特定关系的判断是求解这类问题的关键. 例4 如图5所示,甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏,甲和他的冰车总质量共为M=30kg,乙和他的冰车总质量也是30kg.游戏时,甲推着一个质量为m=15kg的箱子和他一起以v0=2m/s的速度滑行,乙以同样大小的速度迎面滑来,为了避免相撞,甲突然将箱子沿冰面推给乙,箱子滑到乙处,乙迅速抓住.若不计冰面摩擦. 图5 (1)若甲将箱子以速度v推出,甲的速度变为多少? (用字母表示) (2)设乙抓住迎面滑来的速度为v的箱子后反向运动,乙抓住箱子后的速度变为多少? (用字母表示) (3)若甲、乙最后不相撞,甲、乙的速度应满足什么条件? 箱子被推出的速度至少多大? 答案 (1) (2) (3)v1≤v2 5.2m/s 解析 (1)甲将箱子推出的过程,甲和箱子组成的整体动量守恒,由动量守恒定律得: (M+m)v0=mv+Mv1① 解得v1= ② (2)箱子和乙作用的过程动量守恒,以箱子的速度方向为正方向,由动量守恒定律得: mv-Mv0=(m+M)v2③ 解得v2= ④ (3)甲、乙不相撞的条件是v1≤v2⑤ 其中v1=v2为甲、乙恰好不相撞的条件. 联立②④⑤三式,并代入数据得 v≥5.2m/s. 某一方向上动量守恒问题 1. 图6 如图6所示,在光滑的水平面上有一静止的斜面,斜面光滑,现有一个小球从斜面顶点由静止释放,在小球下滑的过程中,以下说法正确的是( ) A.斜面和小球组成的系统动量守恒 B.斜面和小球组成的系统仅在水平方向上动量守恒 C.斜面向右运动 D.斜面静止不动 答案 BC 解析 球和斜面组成的系统在水平方向上不受外力作用,故水平方向动量守恒.小球下滑时,对地有向下的加速度,即系统存在向下的加速度,故系统竖直方向上所受合外力不为零,合外力向下,因此不能说系统动量守恒. 多物体、多过程中的动量守恒问题 2. 图7 如图7所示,质量为M的盒子放在光滑的水平面上,盒子内表面不光滑,盒内放有一块质量为m的物体.从某一时刻起给m一个水平向右的初速度v0,那么在物块与盒子前后壁多次往复碰撞后( ) A.两者的速度均为零 B.两者的速度总不会相等 C.物体的最终速度为 ,向右 D.物体的最终速度为 ,向右 答案 D 解析 物体与盒子组成的系统所受合外力为零,物体与盒子前后壁多次往复碰撞后,以速度v共同运动,由动量守恒定律得: mv0=(M+m)v,故v= ,向右. 3. 图8 质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线,且彼此隔开一定的距离,具有初速度v0的第5号物块向左运动,依次与其余四个静止物块发生碰撞,如图8所示,最后这五个物块粘成一个整体,求它们最后的速度为多少? 答案 v0 解析 由五个物块组成的系统,沿水平方向不受外力作用,故系统动量守恒,mv0=5mv,v= v0,即它们最后的速度为 v0. 动量守恒定律应用中的临界问题 4. 图9 如图9所示,甲车质量m1=20kg,车上有质量M=50kg的人,甲车(连同车上的人)以v=3m/s的速度向右滑行.此时质量m2=50kg的乙车正以v0=1.8m/s的速度迎面滑来,为了避免两车相撞,当两车相距适当距离时,人从甲车跳到乙车上,求人跳出甲车的水平速度(相对地面)应当在什么范围以内才能避免两车相撞? 不计地面和小车的摩擦,且乙车足够长. 答案 大于等于3.8m/s 解析 人跳到乙车上后,如果两车同向,甲车的速度小于或等于乙车的速度就可以避免两车相撞. 以人、甲车、乙车组成系统,由水平方向动量守恒得: (m1+M)v-m2v0=(m1+m2+M)v′,解得v′=1m/s. 以人与甲车为一系统,人跳离甲车过程水平方向动量守恒,得: (m1+M)v=m1v′+Mu,解得u=3.8m/s. 因此,只要人跳离甲车的速度u≥3.8m/s,就可避免两车相撞. (时间: 60分钟) 题组一 动量守恒条件及系统和过程的选取 1.在匀速行驶的船上,当船上的人相对于船竖直向上抛出一个物体时,船的速度将(水的阻力不变)( ) A.变大B.变小 C.不变D.无法判定 答案 C 解析 相对于船竖直向上抛出物体时,由于惯性,物体仍然具有和船同方向的速度,船和物体组成的系统水平方向动量守恒,故船速不变. 2. 图10 如图10所示,A、B两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上,物块C以一定的初速度v0从A的左端开始向右滑行,最后停在B木块的右端,对此过程,下列叙述正确的是( ) A.当C在A上滑行时,A、C组成的系统动量守恒 B.当C在B上滑行时,B、C组成的系统动量守恒 C.无论C是在A上滑行还是在B上滑行,A、B、C三物块组成的系统动量都守恒 D.当C在B上滑行时,A、B、C组成的系统动量不守恒 答案 BC 解析 当C在A上滑行时,对A、C组成的系统,B对A的作用力为外力,不等于0,故系统动量不守恒,选项A错误;当C在B上滑行时,A、B已分离,对B、C组成的系统,沿水平方向不受外力作用,故系统动量守恒,选项B正确;若将A、B、C三物块视为一系统,则沿水平方向无外力作用,系统动量守恒,选项C正确,选项D错误. 3. 图11 平板车B静止在光滑水平面上,在其左端另有物体A以水平初速度v0向车的右端滑行,如图11所示.由于A、B间存在摩擦,因而A在B上滑行后,A开始做减速运动,B做加速运动(设B车足够长),则B车速度达到最大时,应出现在( ) A.A的速度最小时 B.A、B速度相等时 C.A在B上相对静止时 D.B车开始做匀速直线运动时 答案 ABCD 解析 由于A、B之间存在摩擦力,A做减速运动,B做加速运动,当两个物体的速度相等时,相对静止,摩擦力消失,变速运动结束,此时A的速度最小,B的速度最大,因此选项A、B、C正确,此后A、B一起匀速运动,所以D项正确. 4. 图12 如图12所示,在质量为M的小车上挂有一单摆,摆球的质量为m0,小车和摆球以恒定的速度v沿光滑水平地面运动,与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞,碰撞的时间极短,在此碰撞过程中,下列可能发生的情况是( ) A.小车、木块、摆球的速度都发生变化,分别变为v1、v2、v3,满足(M+m0)v=Mv1+mv2+m0v3 B.摆球的速度不变,小车和木块的速度分别变为v1、v2,满足Mv=Mv1+mv2 C.摆球的速度不变,小车和木块的速度都变为v′,满足Mv=(M+m)v′ D.小车和摆球的速度都变为v1,木块的速度变为v2,满足(M+m0)v=(M+m0)v1+mv2 答案 BC 5. 图13 如图13所示,小车放在光滑的水平面上,将系着绳的小球拉开一定的角度,然后同时放开小球和小车,那么在以后的过程中( ) A.小球向左摆动时,小车也向左运动,且系统动量守恒 B.小球向左摆动时,小车向右运动,且系统动量守恒 C.小球向左摆到最高点,小球的速度为零而小车的速度不为零 D.在任意时刻,小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反 答案 BD 解析 小球摆动过程中,竖直方向上合力不为零,故系统总动量不守恒,但水平方向不受外力,在水平方向动量守恒,所以选项B、D正确. 6. 图14 如图14所示,小车放在光滑水平面上,A、B两人站在车的两端,这两人同时开始相向行走,发现车向左运动,分析小车运动的原因可能是( ) A.A、B质量相等,但A比B速率大 B.A、B质量相等,但A比B速率小 C.A、B速率相等,但A比B的质量大 D.A、B速率相等,但A比B的质量小 答案 AC 解析 两人及车组成的系统动量守恒,则mAvA-mBvB-mCvC=0,得mAvA-mBvB>0.所以A、C正确. 题组二 多物体多过程动量守恒定律的应用 7.一弹簧枪对准以6m/s的速度沿光滑桌面迎面滑来的木块发射一颗铅弹,射出速度为10m/s,铅弹射入木块后未穿出,木块继续向前运动,速度变为5m/s.如果想让木块停止运动,并假定铅弹射入木块后都不会穿出,则应再向木块迎面射入的铅弹数为( ) A.5颗B.6颗C.7颗D.8颗 答案 D 解析 设木块质量为m1,铅弹质量为m2,第一颗铅弹射入,有m1v0-m2v=(m1+m2)v1,代入数据可得 =15,设再射入n颗铅弹木块停止,有(m1+m2)v1-nm2v=0,解得n=8. 8. 图15 如图15所示,一轻质弹簧两端连着物体A和B,放在光滑的水平面上,物体A被水平速度为v0的子弹射中并且子弹嵌在其中.已知物体A的质量mA是物体B的质量mB的 ,子弹的质量m是物体B的质量的 ,求弹簧压缩到最短时B的速度. 答案 解析 弹簧压缩到最短时,子弹、A、B具有共同的速度v1,且子弹、A、B组成的系统,从子弹开始射入物体A一直到弹簧被压缩到最短的过程中,系统所受外力(重力、支持力)之和始终为零,故整个过程系统的动量守恒,由动量守恒定律得mv0=(m+mA+mB)v1,又m= mB,mA= mB,故v1= = , 即弹簧压缩到最短时B的速度为 . 9. 图16 如图16所示,在光滑水平面上有两个木块A、B,木块B左端放置小物块C并保持静止,已知mA=mB=0.2kg,mC=0.1kg,现木块A以初速度v=2m/s沿水平方向向右滑动,木块A与B相碰后具有共同速度(但不粘连),C与A、B间均有摩擦.求: (1)木块A与B相碰瞬间A木块及小物块C的速度大小; (2)设木块A足够长,求小物块C的最终速度. 答案 (1)1m/s 0 (2) m/s 方向水平向右 解析 (1)木块A与B相碰瞬间C的速度为0,A、B木块的速度相同,由动量守恒定律得 mAv=(mA+mB)vA,vA= =1m/s. (2)C滑上A后,摩擦力使C加速,使A减速,直至A、C具有共同速度,以A、C整体为系统,由动量守恒定律得mAvA=(mA+mC)vC,vC= m/s,方向水平向右. 题组三 综合应用 10.以初速度v0与水平方向成60°角斜向上抛出的手榴弹,到达最高点时炸成质量分别是m和2m的两块.其中质量大的一块沿着原来的方向以2v0的速度飞行.求质量较小的另一块弹片速度的大小和方向. 答案 2.5v0 与爆炸前速度方向相反 解析 手榴弹爆炸过程中,爆炸产生的作用力是内力,远大于重力,因此爆炸过程中各弹片组成的系统动量守恒.斜抛的手榴弹在水平方向上做匀速直线运动,在最高点处爆炸前的速度v1=v0cos60°= v0.设v1的方向为正方向,如图所示,由动量守恒定律得3mv1=2mv1′+mv2.其中爆炸后大块弹片的速度v1′=2v0,小块弹片的速度v2为待求量,解得v2=-2.5v0,“-”号表示v2的速度方向与爆炸前速度方向相反. 11. 图17 如图17所示,质量分别为m1和m2的两个等半径小球,在光滑的水平面上分别以速度v1、v2向右运动,并发生对心正碰,碰后m2被墙弹回,与墙碰撞过程中无能量损失,m2返回后又与m1相向碰撞,碰后两球都静止,求第一次碰后m1球的速度. 答案 方向向右 解析 设m1、m2碰后的速度大小分别为v1′、v2′,则由动量守恒定律知m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′ m1v1′-m2v2′=0,解得v1′= ,方向向右. 12. 图18 质量为M=2kg的小平板车静止在光滑水平面上,车的一端静止着质量为mA=2kg的物体A(可视为质点),如图18所示,一颗质量为mB=20g的子弹以600m/s的水平速度射穿A后,速度变为100m/s,最后物体A相对车静止,若物体A与小车间的动摩擦因数μ=0.5,取g=10m/s2,求平板车最后的速度是多大. 答案 2.5m/s 解析 子弹击穿A后,A在水平方向上获得一个速度vA,最后当A相对车静止时,它们的共同速度为v.子弹射穿A的过程极短,因此车对A的摩擦力、子弹的重力作用可略去,即认为子弹和A组成的系统水平方向动量守恒,同时,由于作用时间极短,可认为A的位置没有发生变化,设子弹击穿A后的速度为v′,由动量守恒定律有mBv0=mBv′+mAvA,得 vA= = m/s=5m/s A获得速度vA相对车滑动,由于A与车间有摩擦,最后A相对车静止,以共同速度v运动,对于A与车组成的系统,水平方向动量守恒,因此有: mAvA=(mA+M)v,所以v= = m/s=2.5m/s. 13. 图19 光滑水平轨道上有三个木块A、B、C,质量分别为mA=3m、mB=mC=m,开始时B、C均静止,A以初速度v0向右运动,A与B碰撞后分开,B又与C发生碰撞并粘在一起,此后A与B间的距离保持不变.求B与C碰撞前B的速度大小. 答案 v0 解析 设A与B碰撞后,A的速度为vA,B与C碰撞前B的速度为vB,B与C碰撞后粘在一起的速度为v,由动量守恒定律得 对A、B木块: mAv0=mAvA+mBvB① 对B、C木块: mBvB=(mB+mC)v② 由A与B间的距离保持不变可知 vA=v③ 联立①②③式,代入数据得 vB= v0④ 14. 图20 如图20所示,滑块A、C的质量均为m,滑块B的质量为 m.开始时A、B分别以v1、v2的速度沿光滑水平轨道向固定在右侧的挡板运动,现将C无初速地放在A上,并与A粘合不再分开,此时A与B相距较近,B与挡板相距足够远.若B与挡板碰撞将以原速率反弹,A与B碰撞将粘合在一起.为使B能与挡板碰撞两次,v1、v2应满足什么关系? 答案 v2 v1≤v2< v1 解析 设向右为正方向,A与C粘合在一起的共同速度为v′,由动量守恒定律得mv1=2mv′ 为保证B碰挡板前A未能追上B,应满足v′≤v2 设A与B碰后的共同速度为v″, 由动量守恒定律得 2mv′- mv2= mv″ 为使B能与挡板再次碰撞应满足v″>0 联立以上各式解得 v2 v1≤v2< v1.
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