圆 12节.docx

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圆12节

教师姓名

学生姓名

填写时间

年级

初三

学科

数学

上课时间

阶段

基础（√）提高（√）强化（）

课时计划

第（）次课

共（）次课

教学目标

1、圆的定义及表示方法

2、点与圆的位置关系

3、圆的对称性

4、垂径定理

重难点

1、通过计算判断点与圆的位置关系

2、垂径定理的运用

课后

作业：

教师评语

及建议：

科组长签名：

车轮为什么做成圆形

1．圆的定义及表示方法

（1）圆的定义：

平面上到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形叫做圆

其中定点叫做圆心，定长称为半径的长（通常也称为半径），所有的半径都相等．

（2）圆的表示方法：

以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”

（3）同圆和等圆：

同圆：

是指同一个圆

等圆：

是指能够相互重合的圆，等圆的半径相等

注意：

1）定点（圆心）确定圆的位置，定长（半径）确定圆的大小；

2）圆还可以这样定义：

在一个平面内，线段OA绕着它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转而形成的图形叫做圆．这个定义是作圆的一般方法；

3）圆是一条封闭的曲线（圆周），而不能认为是圆面；

例1：

下面关于圆的叙述正确的是（）

A．圆是一个面B.圆是一条封闭曲线

C．圆是由圆心唯一确定的D.圆是到定点的距离等于或小于定长的点的集合

变式1、下列说法错误的是（）

A．圆上的点到圆心的距离都相等B．过圆心的线段是直径

C．直径是圆中最长的弦D.半径相等的圆是等圆

（提高）变式2、如图，点A,D,G,M在半圆上，四边形ABOC,OEDF,HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式中正确的是（）

A.a>b>cB.a=b=cC.c>a>bD.b>c>a

例2、以已知点O为圆心作圆，可以作（）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

变式1、以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

变式2、以A为圆心的圆能画个，以5cm为半径的圆能画个，以A为圆心，5cm为半径的圆能画个。

变式3、一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是cm．

例3、两个同心圆的直径分别为5cm和3cm，则圆环部分的宽度为_____cm.

变式1、2个同心圆的半径分别为a厘米和b厘米，则圆环的宽度为多少厘米

变式2、作图说明到点O的距离大于2cm而小于3cm的所有点组成的图形.

变式3、操场上站着A、B、C三位同学,已知A、B相离5米,B、C相离3米,试写出A、C两位同学之间距离的取值范围.米

例4、如何在操场上画出一个很大的圆？

说一说你的方法．

例5、生活中许多物品的形状都是圆柱形的．如水桶、热水瓶、罐头、茶杯、工厂里用的油桶、贮气罐以及地下各种管道等等．你知道这是为什么吗？

尽你所知，请说出一些道理．

例6、如图，甲顺着大半圆从A地到B地，乙顺着两个小半圆从A地到B地，设甲、乙走过的路程分别为a、b，则（　　）

A、a=bB、a＜bC、a＞bD、不能确定

例6图变式1图

变式1、如图是公园的路线图，⊙O1，⊙O2，⊙O两两相切，点A，B，O分别是切点，甲乙二人骑自行车，同时从点A出发，以相同的速度，甲按照“圆”形线行驶，乙行驶“8字型”线路行驶．若不考虑其他因素，结果先回到出发点的人是（　　）

A、甲B、乙C、甲乙同时D、无法判定

2、点与圆的位置关系

点与圆有三种位置关系：

点在圆内、点在圆上、点在圆外；

如图所示，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外

（1）点在圆内

点到圆心的距离小于半径

（2）点在圆上

点到圆心的距离等于半径

（3）点在圆外

点到圆心的距离大于半径

例1、已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：

（1）4cm；

（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．

变式1、如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：

①点P在⊙O外，则______；②______则d=r；③______则d

变式2、两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（）

A．甲圆内B．乙圆外C．甲圆外，乙圆内D．甲圆内，乙圆外

变式3、⊙O的半径为10cm，OP=28cm，A为线段OP的中点，则点A在圆________

变式4、P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）

A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径

C．⊙O上有两点到点P的距离最小D．⊙O上有两点到点P的距离最大

例2、如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．

变式1、已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.

（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外.

（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外。

变式2、若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（3，4），点P的坐标是（5，8），你认为点P的位置为（）

A.在⊙A内B.在⊙A上C.在⊙A外D.不能确定

变式3、⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）

A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外

变式4、在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

变式5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，

CM为中线，以C为圆心，

cm为半径作圆，则A、B、C、M

四点在圆外的有，在圆上的有，在圆内的有．

变式6、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是．

（提高）

变式7、已知：

如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．

变式8、菱形的四边中点是否在同一个圆上？

如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径．

例3、设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－2

x＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．

例4、城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？

变式1、由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？

变式2、如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？

请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？

变式3、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=9，AB=12，M为AB的中点，以CD为直径画圆P，判断点M与⊙P的位置关系．

圆的对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

1、

上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A,B两点为端点的弧.记作AB，

读作“弧AB”

2、连接圆上任意两点间的线段叫做弦（如弦AB）.圆心到弦的距离叫做弦心距3、经过圆心的弦叫做直径（如直径AC）.4、直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆（如弧ABC）.5、小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB（用两个字母）.大于半圆的弧叫做优弧,

如记作AmB（用三个字母）

例1、判断下列图形是否具有对称性？

如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

变式1、下列命题中，正确的有（）

A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条

C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴

D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴

变式2、已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是_________.

变式3、已知⊙O的半径为R,弦AB的长也为R，则弦心距是。

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦,并且平分这条弦所的两条弧。

条件：

①CD是直径③AM=BM,

推出结论

④AC=BC,

②CD⊥AB⑤AD=BD.逆定理：

平分弦的直径垂直于弦并且平分这条弦所的两条弧。

条件是：

①平分弦、②直径。

结论是：

垂直

例1、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点M

1）若OC=5，AB=6，则OM=_____，MC=____；

2）若OC=10，OM=6，则AB=______

3）若AB=8，MC=2，则OC=_______

变式1、已知⊙O中，OC⊥弦AB于C,AB=8，OC=3，则⊙O的半径长等于。

变式2、若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高

例2、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，

求证：

AC＝BD

变式1、如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．

变式2、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．

变式3、如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm,求点O到AB的距离及

∠OAB的余弦值。

●O

B

A

例3、在直径为

的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，如果油的最大深度为

，那么油面宽度AB是多少？

变式1、储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．

变式2、“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图

（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图

（2）那么这个圆拱所在圆的直径为米．

例4、如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？

说明理由．

如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？

为什么？

如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？

如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？

变式1、已知：

如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,

直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.

图中相等的线段有.

图中相等的劣弧有.

变式2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.

变式3、已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，

求：

圆心O到弦AB的距离

变式4、已知：

⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两部分,求：

弦AB的长．

变式5、已知：

⊙O弦AB∥CD求证：

变式6、已知：

△ABC内接于⊙O，边AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交⊙O于E、D两点，求证，

变式7、已知：

AB为⊙O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，连结OE，OF求证：

⑴OE＝OF⑵CE＝DF

变式8、已知：

⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：

AB＝2OO＇

1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。

例1、如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？

为什么？

变式1、下列说法中，正确的是（）

A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等

C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等

变式2、如果两条弦相等，那么（）

A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等

C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对

变式3、半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．

变式4、一条弦把圆分成1：

3两部分，则弦所对的圆心角为．

变式5、弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．

变式6、⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．

变式7、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？

为什么？

变式8、如图，已知⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M，

，O1M和O2M相等吗？

为什么？