相交线与平行线专题复习.docx
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相交线与平行线专题复习
2017年08月15日sun****chun的初中数学组卷
一.选择题(共10小题)
1.如图,三条直线AB,CD,EF相交于点O,若∠AOD=3∠FOD,∠AOE=120°,则∠FOD的度数为( )
A.30°B.40°C.50°D.60°
2.如图,已知AO⊥OB,CO⊥DO,∠BOC=β°,则∠AOD的度数为( )
A.β°﹣90°B.2β°﹣90°C.180°﹣β°D.2β°﹣180°
3.在下列4个判断中:
①在同一平面内,不相交也不重合的两条线段一定平行;②在同一平面内,不相交也不重合的两条直线一定平行;③在同一平面内,不平行也不重合的两条线段一定相交;④在同一平面内,不平行也不重合的两条直线一定相交.正确判断的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
4.如图所示,下到说法错误的是( )
A.∠A与∠B是同旁内角B.∠1与∠3是同位角
C.∠2与是∠B同位角D.∠2与∠3是内错角
5.已知:
如图所示,∠1=∠B,则下列说法正确的是( )
A.AB与CD平行B.AC与DE平行
C.AB与CD平行,AC与DE也平行D.以上说法都不正确
6.如图,直线l1∥l2,∠2=65°,∠3=60°,则∠1为( )
A.65°B.60°C.55°D.50°
7.如图,AB∥CD,直线EF分别与直线AB和直线CD相交于点P和点Q,PG⊥CD于G,若∠APE=48°,则∠QPG的度数为( )
A.42°B.46°C.32°D.36°
8.下列画图语句中正确的是( )
A.画射线OP=5cmB.画射线OA的反向延长线
C.画出A、B两点的中点D.画出A、B两点的距离
9.如图,已知∠1=30°,下列结论正确的有( )
①若∠2=30°,则AB∥CD
②若∠5=30°,则AB∥CD
③若∠3=150°,则AB∥CD
④若∠4=150°,则AB∥CD.
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.如图,AB∥CD,AB与EC交于点F,如果EA=EF,∠C=110°,那么∠E等于( )
A.30°B.40°C.70°D.110°
二.填空题(共8小题)
11.观察如图图形,并阅读图形下面的相关文字.像这样的十条直线相交最多的交点个数有 .
12.如图,设P是直线l外的一点,取细线一根,一端用图钉固定在P点,将细线拉直使它与l垂直,在垂足O处作一标志,然后拉紧细线左右旋转至PA,PB等位置,比较PO,PA,PB的长度,你从实验中得到的结论是 .
13.如图,能与∠α构成同旁内角的有 对.
14.如图,直线MN、PQ交于点O,OE⊥PQ于O,OQ平分∠MOF,若∠MOE=45°,则∠NOE= ,∠NOF= ,∠PON= .
15.如图,过直线AB外一点O,画射线OM,ON,OP,OF,分别交AB于点M,N,P,F,其中ON⊥AB于点N,则能表示点O到直线AB的距离的是线段 的长度.
16.如图,AB∥CB,EF⊥CD于F,∠1=40°,则∠2= .
17.如图,AB∥DE,若∠B=30°,∠D=140°,则∠C的大小是 .
18.如图,已知EF⊥EG,GM⊥GE,∠1=35°,∠2=35°,EF与GM的位置关系是 ,AB与CD的位置关系是 .
三.解答题(共4小题)
19.已知:
如图,DG⊥BC,AC⊥BC,EF⊥AB,∠1=∠2,求证:
CD⊥AB.
20.如图,已知∠1=∠2,∠MAE=45°,∠FEG=15°,∠NCE=75°,EG平分∠AEC,
求证:
AB∥EF∥CD.
21.如图,已知:
OE平分∠AOD,AB∥CD,OF⊥OE于O,∠D=50°,求∠BOF的度数.
22.如图1,AB∥CD,EOF是直线AB、CD间的一条折线.
(1)说明:
∠O=∠BEO+∠DFO.
(2)如果将折一次改为折二次,如图2,则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系,证明你的结论.
(3)若将折线继续折下去,折三次,折四次…折n次,又会得到怎样的结论?
请写出你的结论.
2017年08月15日sun****chun的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.如图,三条直线AB,CD,EF相交于点O,若∠AOD=3∠FOD,∠AOE=120°,则∠FOD的度数为( )
A.30°B.40°C.50°D.60°
【分析】首先,根据邻补角的性质求得∠AOF=60°;然后由已知条件“∠AOD=3∠FOD”来求∠FOD的度数.
【解答】解:
如图,∵∠AOE+∠AOF=180°,∠AOE=120°,
∴∠AOF=60°.
又∵∠AOD=3∠FOD,∠AOF+∠FOD=∠AOD,
∴60°+∠FOD=3∠FOD
∴∠FOD=30°,
故选:
A.
【点评】本题考查了对顶角、邻补角,角的计算.解题时,要注意数形结合.
2.如图,已知AO⊥OB,CO⊥DO,∠BOC=β°,则∠AOD的度数为( )
A.β°﹣90°B.2β°﹣90°C.180°﹣β°D.2β°﹣180°
【分析】首先根据垂直定义可得∠COD=90°,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等可得∠BOD=∠AOC,再由条件∠BOC=β,可表示出∠BOD=∠AOC的度数,进而得到答案.
【解答】解:
∵AO⊥BE,CO⊥DO,
∴∠COD=90°,∠AOB=90°,
即:
∠AOD+∠BOD=∠AOD+∠AOC=90°,
∴∠BOD=∠AOC,
∵∠BOC=β°,
∴∠BOD=∠AOC=(β﹣90)°,
∴∠AOD=90°﹣β°+90°=180°﹣β°.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了余角和补角,关键是掌握余角:
如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角.补角:
如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补角.
3.在下列4个判断中:
①在同一平面内,不相交也不重合的两条线段一定平行;②在同一平面内,不相交也不重合的两条直线一定平行;③在同一平面内,不平行也不重合的两条线段一定相交;④在同一平面内,不平行也不重合的两条直线一定相交.正确判断的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
【分析】根据平面内两条直线的三种位置关系:
平行或相交或重合进行判断.
【解答】解:
在同一平面内,不相交也不重合的两条直线一定平行,故①错误,②正确;
在同一平面内,不平行也不重合的两条直线一定相交故,③错误,④正确.
故正确判断的个数是2.
故选C.
【点评】本题考查了平行线和相交的定义.
同一平面内,两条直线的位置关系:
平行或相交或重合,对于这一知识的理解过程中要注意:
①前提是在同一平面内;②对于线段或射线来说,指的是它们所在的直线.
4.如图所示,下到说法错误的是( )
A.∠A与∠B是同旁内角B.∠1与∠3是同位角
C.∠2与是∠B同位角D.∠2与∠3是内错角
【分析】根据同旁内角、同位角、内错角的意义,可得答案.
【解答】解:
由图可知:
∠1与∠3是内错角,故B说法错误,
故选:
B.
【点评】本题考查了同旁内角、同位角、内错角,根据同位角、内错角、同旁内角的意义,可得答案.
5.已知:
如图所示,∠1=∠B,则下列说法正确的是( )
A.AB与CD平行B.AC与DE平行
C.AB与CD平行,AC与DE也平行D.以上说法都不正确
【分析】∠1与∠B是直线AB、CD被直线BE所截形成的同位角,所以能得出AB与CD平行.
【解答】解:
∵∠1=∠B,∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).故选A.
【点评】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键,不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行.
6.(2015•瑶海区三模)如图,直线l1∥l2,∠2=65°,∠3=60°,则∠1为( )
A.65°B.60°C.55°D.50°
【分析】先根据平行线的性质求出∠6,再根据三角形内角和定理即可求出∠4的度数,由对顶角的性质可得∠1.
【解答】解:
如图所示:
∵l1∥l2,∠2=65°,
∴∠6=65°,
∵∠3=60°,
在△ABC中,
∠3=60°,∠6=65°
∴∠4=180°﹣60°﹣65°=55,
∴∠1=∠4=55°
故选C.
【点评】本题重点考查了平行线的性质、对顶角相等及三角形内角和定理,是一道较为简单的题目.
7.(2015•重庆模拟)如图,AB∥CD,直线EF分别与直线AB和直线CD相交于点P和点Q,PG⊥CD于G,若∠APE=48°,则∠QPG的度数为( )
A.42°B.46°C.32°D.36°
【分析】求出∠PGC=90°,根据平行线的性质求出∠APG=90°,即可求出答案.
【解答】解:
∵PG⊥CD,
∴∠PGC=90°,
∵AB∥CD,
∴∠APG=180°﹣∠PGC=90°,
∵∠APE=48°,
∴∠QPG=180°﹣90°﹣48°=42°,
故选A.
【点评】本题考查了邻补角,垂直定义,平行线的性质的应用,注意:
两直线平行,同旁内角互补.
8.(2014秋•海陵区校级月考)下列画图语句中正确的是( )
A.画射线OP=5cmB.画射线OA的反向延长线
C.画出A、B两点的中点D.画出A、B两点的距离
【分析】利用射线的定义,线段中点及距离的定义判定即可.
【解答】解:
A、画射线OP=5cm,错误,射线没有长度,
B、画射线OA的反向延长线,正确.
C、画出A、B两点的中点,错误,中点是线段的不是两点的,
D、画出A、B两点的距离,错误,画出的是线段不是距离.
故选:
B.
【点评】本题主要考查了射线及线段的中点,距离,解题的关键是熟记射线的定义,线段中点及距离的定义.
9.如图,已知∠1=30°,下列结论正确的有( )
①若∠2=30°,则AB∥CD
②若∠5=30°,则AB∥CD
③若∠3=150°,则AB∥CD
④若∠4=150°,则AB∥CD.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据∠1=30°求出∠3=∠2=150°,推出∠2=∠4,∠3=∠4,根据平行线的判定推出即可.
【解答】解:
∵∠1=30°,∴∠2=150°,∴①错误;
∵∠4=150°,
∴∠2=∠4,
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),∴④正确;
∵∠1=30°,
∴∠3=150°,
∵∠5=30°,
∴∠4=150°,
∴∠3=∠4,
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),∴②正确;
根据∠1=30°,∠3=150°不能推出AB∥CD,∴③错误;
即正确的个数是2个,
故选B.
【点评】本题考查了平行线的判定的应用,注意:
平行线的判定定理有:
①同位角相等,两直线平行,②内错角相等,两直线平行,③同旁内角互补,两直线平行.
10.(2015•阜新二模)如图,AB∥CD,AB与EC交于点F,如果EA=EF,∠C=110°,那么∠E等于( )
A.30°B.40°C.70°D.110°
【分析】先根据平行线的性质求出∠BFC的度数,再由对顶角的性质求出∠AFE的度数,根据EA=EF可得出∠A的度数,由三角形内角和定理即可得出结论.
【解答】解:
∵AB∥CD,∠C=110°,
∴∠BFC=180°﹣110°=70°.
∵∠BFC与∠AFE是对顶角,
∴∠AFE=70°.
∵EA=EF,
∴∠A=∠AFE=70°,
∴∠E=180°﹣∠A﹣∠AFE=180°﹣70°﹣70°=40°.
故选B.
【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:
两直线平行,同旁内角互补.
二.填空题(共8小题)
11.观察如图图形,并阅读图形下面的相关文字.像这样的十条直线相交最多的交点个数有 45 .
【分析】根据直线两两相交且不交于同一点,可得答案.
【解答】解:
十条直线相交最多的交点个数有
=45,
故答案为:
45.
【点评】本题考查了相交线,n每条直线都与其它直线有一个交点,可有(n﹣1)个交点,n条直线用n(n﹣1)个交点,每个交点都重复了一次,n条直线最多有
个交点.
12.如图,设P是直线l外的一点,取细线一根,一端用图钉固定在P点,将细线拉直使它与l垂直,在垂足O处作一标志,然后拉紧细线左右旋转至PA,PB等位置,比较PO,PA,PB的长度,你从实验中得到的结论是 垂线段最短 .
【分析】根据垂线段的性质:
垂线段最短进行解答即可.
【解答】解:
由题意得:
PA>PB>PO,由此可得:
垂线段最短,
故答案为:
垂线段最短.
【点评】此题主要考查了垂线段的性质.
13.如图,能与∠α构成同旁内角的有 2 对.
【分析】根据同旁内角的定义结合图形找出∠α的同旁内角,即可得出答案.
【解答】
解:
能与∠α构成同旁内角的角有∠1,∠2,共2对,
故答案为:
2.
【点评】本题考查了同旁内角的应用,注意:
两条直线被第三条直线所截,如果有两个角在第三条直线的同旁,并且在两条直线之间,那么这两个角叫同旁内角.
14.如图,直线MN、PQ交于点O,OE⊥PQ于O,OQ平分∠MOF,若∠MOE=45°,则∠NOE= 135° ,∠NOF= 90° ,∠PON= 45° .
【分析】首先根据垂直的定义,即可求得∠MOQ的度数,根据对顶角相等求得∠PON的度数,然后根据∠NOE=∠EOP+∠PON,∠NOF=180°﹣∠PON﹣∠QOF即可求解.
【解答】解:
∵OE⊥PQ于O,
∴∠EOQ=∠EOP=90°,
又∵∠MOE=45°,
∴∠MOQ=90°﹣45°=45°,则∠QOF=∠MOQ=45°,
∴∠PON=∠NOQ=45°,∠NOE=∠EOP+∠PON=90°+45°=135°,
∠NOF=180°﹣∠PON﹣∠QOF=180°﹣45°﹣45°=90°.
故答案是:
135°;90°;45°.
【点评】本题考查了角度的计算,以及对顶角相等,理解垂直的定义,以及图形中角之间的关系是关键.
15.如图,过直线AB外一点O,画射线OM,ON,OP,OF,分别交AB于点M,N,P,F,其中ON⊥AB于点N,则能表示点O到直线AB的距离的是线段 ON 的长度.
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂足间的线段长,可得答案.
【解答】解:
过直线AB外一点O,画射线OM,ON,OP,OF,分别交AB于点M,N,P,F,其中ON⊥AB于点N,则能表示点O到直线AB的距离的是线段ON的长度.
故答案为:
ON.
【点评】本题考查了点到直线的距离,利用了点到直线的距离的定义.
16.(2014•重庆模拟)如图,AB∥CB,EF⊥CD于F,∠1=40°,则∠2= 50° .
【分析】由平行线的性质推知∠1=∠3=40°,然后根据“直角三角形的两个锐角互余”来求∠2的度数.
【解答】解:
如图,∵AB∥CB,
∴∠1=∠3=40°.
又∵EF⊥CD,
∴∠EFC=90°,
∴∠2=90°﹣∠3=50°.
故答案是:
50°.
【点评】本题考查了平行线的性质:
两直线平行,同位角相等.
17.(2014•碑林区校级模拟)如图,AB∥DE,若∠B=30°,∠D=140°,则∠C的大小是 70° .
【分析】过C作CF∥AB,根据平行线的性质可得到∠BCF和∠DCF,可求得答案.
【解答】解:
如图,过C作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴CF∥DE,
∴∠BCF=∠B=30°,∠DCF+∠D=180°,
∴∠DCF=180°﹣∠D=180°﹣140°=40°,
∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=30°+40°=70°,
故答案为:
70°.
【点评】本题主要考查平行线的性质,掌握两直线平行,内错角相等、同旁内角互补是解题的关键.
18.如图,已知EF⊥EG,GM⊥GE,∠1=35°,∠2=35°,EF与GM的位置关系是 EF∥GM ,AB与CD的位置关系是 AB∥CD .
【分析】根据垂直的定义以及同位角相等两直线平行得出即可.
【解答】解:
∵EF⊥EG,GM⊥GE,
∴EF∥GM,
∵EF⊥EG,GM⊥GE,∠1=35°,∠2=35°,
∴∠AEG=∠CGN,
∴AB∥CD.
故答案为:
EF∥GM,AB∥CD.
【点评】此题主要考查了垂直的定义以及平行线的判定,根据同位角相等两直线平行得出是解题关键.
三.解答题(共4小题)
19.(2017春•自贡期末)已知:
如图,DG⊥BC,AC⊥BC,EF⊥AB,∠1=∠2,求证:
CD⊥AB.
【分析】由已知条件结合图形再灵活运用垂直的定义,注意由垂直可得90°角,由90°角可得垂直,结合平行线的判定和性质,只要证得∠ADC=90°,即可得CD⊥AB.
【解答】证明:
∵DG⊥BC,AC⊥BC,
∴DG∥AC,
∴∠2=∠3,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴EF∥DC,
∴∠AEF=∠ADC;
∵EF⊥AB,
∴∠AEF=90°,
∴∠ADC=90°,
∴DC⊥AB.
【点评】利用垂直的定义除了由垂直得直角外,还能由直角判定垂直,判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法.
20.如图,已知∠1=∠2,∠MAE=45°,∠FEG=15°,∠NCE=75°,EG平分∠AEC,
求证:
AB∥EF∥CD.
【分析】首先根据平行线的判定得出AB∥EF,进而利用已知角度之间的关系得出∠FEC=∠ECN,进而得出EF∥CD,即可得出答案.
【解答】证明:
∵∠1=∠2,
∴AB∥EF(同位角相等,两直线平行),
∴∠MAE=∠AEF=45°,
∵∠FEG=15°,
∴∠AEG=60°,
∴∠GEC=60°,
∴∠FEC=∠FEG+∠GEC=75°,
∵∠NCE=75°,
∴∠FEC=∠ECN,
∴EF∥CD,
∴AB∥EF∥CD.
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质得出∠FEC=∠ECN是解题关键.
21.(2013春•鼓楼区校级期中)如图,已知:
OE平分∠AOD,AB∥CD,OF⊥OE于O,∠D=50°,求∠BOF的度数.
【分析】利用平行线的性质首先得出∠D=∠DOB=50°,即可得出∠AOD的度数,再利用角平分线的性质得出∠AOE的度数,最后利用邻补角关系求出∠BOF的度数.
【解答】解:
∵AB∥CD,
∴∠D=∠DOB=50°,
∴∠AOD=180°﹣∠DOB=130°,
∵OE平分∠AOD,
∴∠AOE=
AOD=65°,
∵OF⊥OE于点O,
∴∠EOF=90°,
∴∠BOF=180°﹣∠EOF﹣∠AOE=25°.
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质等知识,根据已知得出∠AOE的度数是解题关键.
22.(2013春•滨江区校级期中)如图1,AB∥CD,EOF是直线AB、CD间的一条折线.
(1)说明:
∠O=∠BEO+∠DFO.
(2)如果将折一次改为折二次,如图2,则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系,证明你的结论.
(3)若将折线继续折下去,折三次,折四次…折n次,又会得到怎样的结论?
请写出你的结论.
【分析】
(1)过O作OM∥AB,根据平行线性质推出∠BEO=∠MOE,∠DFO=∠MOF,相加即可求出答案;
(2)过O作OM∥AB,PN∥AB,根据平行线性质求出∠BEO=∠EOM,∠PFC=∠NPF,∠MOP=∠NPO,代入求出即可;
(3)根据
(1)
(2)总结出规律,即可得出当折点是1,2,3,4,…,n时∠BEO+∠2+∠4+…=∠1+∠3+∠5+…+∠PFC.
【解答】
(1)证明:
过O作OM∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥OM∥CD,
∴∠BEO=∠MOE,∠DFO=∠MOF,
∴∠BEO+∠DFO=∠EOM+∠FOM,
即∠EOF=∠BEO+∠DFO.
(2)∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足的关系式是:
∠BEO+∠P=∠O+∠PFC,
解:
过O作OM∥AB,PN∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥OM∥PN∥CD,
∴∠BEO=∠EOM,∠PFC=∠NPF,∠MOP=∠NPO,
∴∠EOP﹣∠OPF=(∠EOM+∠MOP)﹣(∠OPN+∠NPF)=∠EOM﹣∠NPF,
∠BEO﹣∠PFC=∠EOM﹣∠NPF,
∴∠BEO﹣∠PFC=∠EOP﹣∠OPF,
∴∠BEO+∠OPF=∠EOP+∠PFC.
(3)解:
令折点是1,2,3,4,…,n,
则:
∠BEO+∠2+∠4+…=∠1+∠3+∠5+…+∠PFC.
【点评】本题考查了平行线的性质的应用,解此题的关键是正确作辅助线,并根据证出的结果得出规律,题目比较典型,但是有一定的难度.
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