大学数学练习题doc.docx
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大学数学练习题doc
大学数学习题及答案
一填空题:
1一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.
2二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.
3方程的基本解组是_________.
4一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.
5方程的常数解是________.
6方程一个非零解为x1(t),经过变换_______
7若4(t)是线性方程组的基解矩阵,则此方程组的任一解4(t)=___________.
8一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.
9满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.
10如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.
11一阶线性方程有积分因子().
12求解方程的解是().
13已知(为恰当方程,则=____________.
14,,由存在唯一性定理其解的存在区间是().
15方程的通解是().
16方程的阶数为_______________.
17若向量函数在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w(x)=____________.
18若P(X)是方程组的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________.
19.方程所有常数解是____________________.
20.方程的基本解组是____________________.
21.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________.
22.函数组在区间I上线性无关的____________________条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零.
23.若是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们____________________共同零点.
二单项选择:
1方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是().
(A)上半平面(B)平面(C)下半平面(D)除y轴外的全平面
2方程()奇解.
(A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个
3在下列函数中是微分方程的解的函数是().
(A)(B)(C)(D)
4方程的一个特解形如().
(A)(B)(C)(D)
5连续可微是保证方程解存在且唯一的( )条件.
(A)必要 (B)充分(C)充分必要(D)必要非充分
6二阶线性非齐次微分方程的所有解().
(A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间
(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间
7方程过点(0,0)有().
(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解
8初值问题x,在区间,上的解是().
(A)(B)(C)(D)
9方程是().
(A)一阶非线性方程(B)一阶线性方程
(C)超越方程(D)二阶线性方程
10方程的通解是().
(A)(B)(C)(D)
11方程的一个基本解组是().
(A)(B)(C)(D)
12若y1和y2是方程的两个解,则(e1,e2为任意常数)
(A)是该方程的通解(B)是该方程的解
(C)不一定是该方程的通解(D)是该方程的特解
13方程过点(0,0)的解为,此解存在().
(A)(B)(C)(D)
14方程是().
(A)可分离变量方程(B)齐次方程(C)全微分方程(D)线性非齐次方程
15微分方程的通解是().
(A)(B)(C)(D)
16在下列函数中是微分方程的解的函数是().
(A)(B)(C)(D)
17方程的一个数解形如().
(A)(B)(C)(D)
18初值问题在区间上的解是().
(A)(B)(C)(D)
19.方程的奇解是().
(A)(B)(C)(D)
20.方程过点共有()个解.
(A)一(B)无数(C)两(D)三
21.阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个.
(A)(B)-1(C)+1(D)+2
22.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差().
(A)不是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解
(C)是其对应齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解
23.如果,都在平面上连续,那么方程的任一解的存在区间().
(A)必为(B)必为(C)必为(D)将因解而定
三求下列方程的解:
1求下列方程的通解或通积分:
(1)
(2)(3)(4)(5)
2求方程的解
3解方程:
并求出满足初始条件:
当x=0时,y=2的特解
4求方程:
5求方程:
的通解
6求的通解.
7求解方程:
8求方程:
的解
9求方程的通解
10求下列方程组的通解
11求初值问题的解的存在区间并求出第二次近似解
12求方程的通解
(1)
(2)(3)(三种方法)(4)
13计算方程的通解
14计算方程
15求下列常系数线性微分方程:
16试求x的基解矩阵
17试求矩阵的特征值和对应的特征向量.
18试求矩阵的特征值和特征向量
19解方程组
20.求下列方程组的通解
.
四名词解释
1微分方程2常微分方程、偏微分方程3变量分离方程
4伯努利方程5条件6线性相关
五证明题
1在方程中已知p(x);q(x)在上连续
求证:
该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.
2设x1(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程
证明:
x1(t)+x2(t)是方程的解。
3设f(x)在[0;+]上连续且f(x)=0求证:
方程的一切解y(x);
均有y(x)=0
4在方程中p(x)、q(x)在()上连续;求证:
若p(x)恒不为零;则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w(x)是()上的严格单调函数。
5证明:
x1(t)+x2(t)是方程的解。
6证明:
函数组(其中当时)在任意区间(a,b)上线性无关。
7.在方程中,已知,在上连续,且.求证:
对任意和,满足初值条件的解的存在区间必为.
8.在方程中,已知,在上连续.求证:
该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切.
练习题答案
一填空题:
1、2
2、线性无关(或:
它们的朗斯基行列式不等于零)
3、ex;xex
4、开
5、
6、
7、,c为常数列向量
8、y=x2+c
9、初始
10、常微分方程
11、ep(x)dx
12、x2+y2=c;c为任意正常数
13、/
14、
15、
16、4
17、0
18、;其中c是确定的n维常数列向量
19.
20.
21.,(或不含x轴的上半平面)
22.充分
23.没有
二单项选择
1、D2、C3、C4、D5、B6、C7、A8、D9、A10、C
11、D12、B13、D14、D15、B16、C17、D18、D19.D20.B21.A22.C23.D
三求下列方程的解
1
(1)解:
当时,分离变量取不定积分,得
通积分为1ny=Cex
(2)解:
令y=xu,则代入原方程,得
分离变量,取不定积分,得
()
通积分为:
(3)解:
方程两端同乘以y-5,得
令y-4=z,则代入上式,得
通解为
原方程通解为
(4)解:
因为,所以原方程是全微分方程。
取(x0,y0)=(0,0)原方程的通积分为
即
(5)解:
原方程是克莱洛方程,通解为:
y=cx+2c3
2解:
设则方程化为,积分后得y=ct即
于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5其中c1,c2,c3,c4,c5为任意常数
=
=f1(t)+f2(t)
故x1(t)+x2(t)为方程=f1(t)+f2(t)的解。
3解:
将变量分离,得到
两边积分,即得
因而,通解为
这里c是任意常数。
以x=0,y=1代入通解中以决定任意常数c,得到
c=-1
因而,所求特解为
4解:
以及代入,则原方程变为
即
将上式分离变量,即有
两边积分,得到
这里是任意函数,整理后,得到
令,得到sinu=cx
5解:
令z=y-1得
代入原方程得到
这是线性方程,求得它的通解为
代回原来的变量y,得到
这就是原方程的通解。
此外,方程还有解y=0。
6解:
这里M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3,这时
因此方程是恰当方程。
现在求u,使它同时满足如下两个方程
由
(1)对x积分,得到
为了确定,将(3)对y求导数,并使它满足
(2),即得
于是
=4y4
积分后可得
=y4
将代入(3),得到
u=x3+3x2y2+y4
因此,方程的通解为
x3+3x2y2+y4=c
这里c是任意常数
7解:
特征方程即特征根i是重根,因此方程有四个实值解cost、tcost、sint、tsint
故通解为x=(c1+c2t)cost+(c3+c4t)sin其中c1;c2;c3;c4为任意常数
8解:
令则方程化为:
积分后得y=ct即于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t1+c5
其中c1;c2…c5为任意常数,这就是原方程的通解。
9解对应齐次方程的特征方程为,
特征根为
齐次方程的通解为y=C1+C2e5x
因为a=0是特征根。
所以,设非齐次方程的特解为
y1(x)=x(Ax2+Bx+C)
代入原方程,比较系数确定出
A=,B=,C=
原方程的通解为
10解:
先解出齐次方程的通解
=C1+C2
令非齐次方程特解为
=C1(t)+C2(t)
满足
=
解得
积分,得
通解为
11解:
M=max=4故解的存在区间为
2)q0(x)=0q1(x)=0
q2(x)=0+
=
12求方程的通解:
1)
解:
变形
(1),将y看作自变量,x为未知函数
解齐线性方程,通解为x=cy
令x=c(y)y…..
(2)微分得,
由
(1)
(2)知
积分得故(是任意常数)
2)
解:
令则,于是
则原方程变为
即
将上式分离变量有
积分得为任意常数。
整理
令得
方程还有解tanu=0即sinu=0,故通解为sinu=cx(c为任意常数)
3)(三种方法)
解:
法一,这里M=y-3x2,N=-(4y-x)=4-4y
因此此方程是恰当方程
现求u使
(1),
(2)
对
(1)中x积分得(3)
对(3)中y
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