第3部分 考前增分策略 专题1 3三角函数与平面向量 Word版含答案.docx
- 文档编号:822526
- 上传时间:2022-10-13
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:301.96KB
第3部分 考前增分策略 专题1 3三角函数与平面向量 Word版含答案.docx
《第3部分 考前增分策略 专题1 3三角函数与平面向量 Word版含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第3部分 考前增分策略 专题1 3三角函数与平面向量 Word版含答案.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第3部分考前增分策略专题13三角函数与平面向量Word版含答案
3.三角函数与平面向量
■要点重温…………………………………………………………………………·
1.三角函数的定义:
在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r=>0,那么sinα=,cosα=,tanα=(x≠0).
特别地,当r=1时,sinα=y,cosα=x,tanα=.
[应用1] 已知角α的终边经过点P(3,-4),则sinα+cosα的值为________.
[答案] -
2.弧长公式:
l=|α|R,扇形面积公式:
S=lR=|α|R2,1弧度(1rad)=≈57.3°.
[应用2] 已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,求该扇形的面积.
[解] 设扇形的半径为r,弧长为l,则有,解得.
故扇形的面积为S=rl=4cm2.
3.关于函数y=Asin(ωx+φ),(A,ω>0)
①五点法作图;
[应用3] 函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈(0,2π)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是________.
[答案] (1,3).(要作出y=f(x)的图象,运用数形结合的思想求解.)
②周期T=.一般来说,周期函数加绝对值或平方,其周期减半.如y=sin2x,y=|cosx|,但y=|tanx|的周期是π,y=|sinx|+|cosx|的周期是;函数y=sin(x2),y=sin|x|都不是周期函数.
[应用4] 函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值分别为________.
【导学号:
07804168】
[解析] y=作出其图象(图略)知原函数的最小正周期为2π,最大值为-.
[答案] 2π;-
③单调性和对称性:
y=sinx的单调递增区间为(k∈Z);单调递减区间为(k∈Z);
对称轴为x=kπ+(k∈Z);对称中心为(kπ,0)(k∈Z).
y=cosx的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ](k∈Z);单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
对称轴为x=kπ(k∈Z);对称中心为(kπ+,0)(k∈Z).
y=tanx的单调递增区间为(k∈Z);对称中心为(k∈Z).
[应用5] 函数f(x)=2sin,x∈[-π,0]的单调递减区间为________.
[解析] ∵x∈[-π,0],∴x-∈,令z=x-,则z∈,
∵正弦函数y=sinz在上单调递增,
∴由-≤x-≤-得:
-≤x≤0.
∴函数f(x)=2sin在x∈[-π,0]的单调递增区间为.
∴函数f(x)=2sin在x∈[-π,0]的单调递减区间为.
[答案]
[应用6] 求函数y=sin4x+2sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.
[解] ∵函数y=sin4x+2sinxcosx-cos4x=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+sin2x
=sin2x-cos2x=2sin(2x-).
故该函数的最小正周期是π.
当2x-=2kπ-时,即x=kπ-时,y有最小值.
由于函数y=2sin,∴ymin=-2,
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z.
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
令k=0时,-≤x≤.
又∵0≤x≤π,∴0≤x≤,k=1时,π≤x≤π
又∵0≤x≤π.∴π≤x≤π.
故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;单调递增区间是,.
④变换:
y=sinxy=siny=sin
y=sinxy=sin(2x)y=sin
你知道上述两种变换过程的区别吗?
[应用7] 要得到函数y=cosx的图象,只需将函数y=sin的图象上所有的点( )
A.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
B.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
[解析] 将函数y=sin(2x+)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得函数y=sin(x+)的图象;再向左平行移动个单位长度后便得y=sin(x++)=cosx的图象.故选C.
[答案] C
[应用8] 将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为________.
【导学号:
07804169】
A. B.
C.0D.-
[解析] y=sin(2x+φ)y=sin=sin,
由于所得函数为偶函数,则
f(0)=sin=±1,
φ+=kπ+⇒φ=kπ+,k∈Z,取k=0得φ=,故选A.
[答案] A
⑤用待定系数法求函数y=Asin(ωx+φ)解析式.
由图中的最大值或最小值确定A,再由周期确定ω,由图象上“特殊点”的坐标来确定φ.
特别提醒:
将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点.“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0+φ=0+2kπ(k∈Z),其他依次类推即可.
[应用9] 已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图4所示,则φ=________.
图4
[解析] 由图象可得T=2=π=,解之得ω=.将代入y=sin,得sin=-1,则π+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.
又∵φ∈[-π,π),∴φ=π.
[答案] π.
4.三角恒等变换的切入点
(1)角的变换:
可利用和、差、倍、半角公式;
(2)名的互换:
诱导公式、正切化正余弦公式;
(3)次的变换:
利用升、降幂公式;
(4)形的变换:
统一函数形式.
值得注意的是:
①在三角恒等变换中,要特别注意角的各种变换.如:
β=(α+β)-α,α=(α-β)+β,=-;
[应用10] 已知sin(-α)=,则sin(π+2α)=________.
[解] -.(提示:
设-α=β)
②注意sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ三者间的关系.
[应用11] 已知θ∈,sinθ-cosθ=,求的值.
[解] ===,
因为θ∈,sinθ-cosθ=,所以sinθcosθ=,sinθ+cosθ=,所以原式=.
③在三角函数的求值问题中,要特别关注角的范围,通常需要结合已知的三角函数值进一步缩小角的范围,以确定所求值的符号,这是此类问题中的难点.
[应用12] 设α为第四象限的角,若=,则tan2α=________.
【导学号:
07804170】
[解析] ∵===cos2α+2cos2α=2cos2α+1=∴cos2α=.又∵α为第四象限角,即2kπ+<α<2kπ+2π,k∈Z,
∴4kπ+3π<2α<4kπ+4π,k∈Z,即2α为第三、四象限角.
∴sin2α=-=-=-.
∴tan2α===-.
[答案] -
④注意二倍角公式的变形,如:
sin2α=,cos2α=.
辅助角公式:
asinx+bcosx=sin(x+φ),其中tanφ=.
[应用13] 已知函数f(x)=sincos+cos2.
(1)将f(x)写成Asin(ωx+φ)+k的形式.并求其图象对称中心的横坐标;
(2)如果△ABC的三边,a,b,c成等比数列,且边b所对的角为x,试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域.
[解]
(1)f(x)=sin+,
由sin=0,即x+=kπ(k∈Z).
得x=π,k∈Z.
即对称中心的横坐标为π,k∈Z.
(2)由已知b2=ac,cosx==
=-≥,
又x=B∈(0,π),
∴0<x≤,
∴x+∈(,].
∴sin<sin≤1.
∴ 即f(x)的值域为. 5.解三角形 (1)正弦定理: 2R===; (2)余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA,cosA=; (3)内切圆半径: r=; 面积公式: S=absinC=bcsinA=casinB; 注意: 你要会证明正弦定理和余弦定理. [应用14] 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=,cosAsinB+(c-sinA)cos(A+C)=0. (1)求角B的大小; (2)若△ABC的面积为,求sinA+sinC的值. [解] (1)由cosAsinB+(c-sinA)cos(A+C)=0, 得cosAsinB-(c-sinA)cosB=0, 即sin(A+B)=ccosB,sinC=ccosB,=cosB, 因为=,所以=cosB, 即tanB=,B=. (2)由S=acsinB=,得ac=2, 由b=及余弦定理得()2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,所以a+c=3,所以sinA+sinC=(a+c)=. (4)解三角形时,可能会出现多解的情况,一定要注意检验.比如,在已知两边a,b及一边的对角A的情况下,如果A为锐角,那么可能出现以下情况(如图5). 图5 a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b 无解 一解 两解 一解 [应用15] 在△ABC中,已知b=6,c=10,B=30°,则解此三角形的结果有( ) 【导学号: 07804171】 A.无解B.一解 C.两解D.一解或两解 [解析] 由正弦定理知sinC==,又由c>b>csinB知,C有两解.也可依已知条件,画出△ABC(图略),由图知有两解.故选C. [答案] C 6.向量共线基本定理: a∥b⇔存在实数λ,使得b=λa(a≠0)⇔x1y2-x2y1=0 [应用16] 若a=(2,-2),则与a平行的单位向量的坐标为________. [答案] , 7.平面向量基本定理: 如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 特别地,=λ1+λ2,则λ1+λ2=1是三点P,A,B共线的充要条件. [应用17] 如图6,在△ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=________. 图6 [解析] 由B,H,C三点共线,可令=x+(1-x).又M是AH的中点,所以==x+(1-x).又=λ+μ,所以λ+μ=x+(1-x)=. [答案] 8.夹角与数量积的关系 (1)当θ为锐角时,a·b>0,且a、b不同向,a·b>0是θ为锐角的必要不充分条件; (2)当θ为直角时,a·b=0,但由a·b=0,不能得到a⊥b,还可能a=0或b=0. (3)当θ为钝角时,a·b<0,且a、b不反向,a·b<0是θ为钝角的必要不充分条件. [应用18] 已知a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是________. [解析] 由θ为锐角,得a·b>0,且a、b不同向. ∴0<≠1,∴,解得 ∴λ的取值范围是{λ|λ>-且λ≠2}. [答案] {λ|λ>-且λ≠2} 9.解决向量问题有两条途径: 数的角度: ①利用平面向量基本定理,用两个基向量表示所求向量;②建系,利用坐标运算. 形的角度: 利用向量运算的几何意义. [应用19] 如图7在△ABC中,∠BAC=120°,AB=1,AC=2,D为BC边上一点,=2,则·=________. 图7 [答案]
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第3部分 考前增分策略 专题1 3三角函数与平面向量 Word版含答案 部分 考前 策略 专题 三角函数 平面 向量 Word 答案