如何证明等差数列精选多篇.docx
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如何证明等差数列精选多篇
如何证明等差数列(精选多篇)
第一篇:
如何证明等差数列
如何证明等差数列设等差数列an=a1+(n-1)d
最大数加最小数除以二即
/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均数为
sn/n=/n=a1+(n-1)d/2
得证
1三个数abc成等差数列,则c-b=b-a
c_(a+b)-b_(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)
b_(c+a)-a_(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a,则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c_(a+b)-b_(c+a)=b_(c+a)-a_(b+c)
所以a_(b+c),b_(c+a),c_(a+b)成等差数列
等差:
an-(an-1)=常数(n≥2)
等比:
an/(an-1=常数(n≥2)
等差:
an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)
等比:
an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).
2
我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4
下面用数学规纳法来证明:
1)容易验证a1=5*1-4=4,a2=5*2-4=6,a3=5*3-4=11,推测均成立
2)假设当n≤k时,推测是成立的,即有aj=5(j-1)-4,(j≤k)
则sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
于是s(k+1)=a(k+1)+sk
而由题意知:
(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8
即:
(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8
即:
(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k_-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1时,推测仍成立。
3
在新的数列中
an=s
=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)
a(n-1)=s
=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+差数列
5
那么你就设直角三角形地三条边为a,a+b,a+2b
于是它是直角三角形得到
a²+(a+b)²=(a+2b)²
所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²
化简得a²=2ab+3b²
两边同时除以b²
解得a/b=3即a=3b
所以三边可以写为3b,3b+b。
3b+2b
所以三边之比为3:
4:
5
6
设等差数列an=a1+(n-1)d
最大数加最小数除以二即
/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均数为
sn/n=/n=a1+(n-1)d/2
得证
第二篇:
等差数列的证明
等差数列的证明1三个数abc成等差数列,则c-b=b-a
c_(a+b)-b_(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)
b_(c+a)-a_(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a,则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c_(a+b)-b_(c+a)=b_(c+a)-a_(b+c)
所以a_(b+c),b_(c+a),c_(a+b)成等差数列
等差:
an-(an-1)=常数(n≥2)
等比:
an/(an-1=常数(n≥2)
等差:
an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)
等比:
an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).
2
我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4
下面用数学规纳法来证明:
1)容易验证a1=5*1-4=4,a2=5*2-4=6,a3=5*3-4=11,推测均成立
2)假设当n≤k时,推测是成立的,即有aj=5(j-1)-4,(j≤k)
则sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
于是s(k+1)=a(k+1)+sk
而由题意知:
(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8
即:
(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8
即:
(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k_-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1时,推测仍成立。
3
在新的数列中
an=s
=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)
a(n-1)=s
=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
=4d+4d+4d+4d+4d
=2+a1+an-1
(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1
(1)
同理
(n-1)*(an+1)=nan-a1
(2)
(1)-
(2)
得到
(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)
2an=an-1+an+1
所以an+1-an=an-an-1
所以数列{an}是等差数列
那么你就设直角三角形地三条边为a,a+b,a+2b
于是它是直角三角形得到
a²+(a+b)&su(感谢访问好:
)p2;=(a+2b)²
所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²
化简得a²=2ab+3b²
两边同时除以b²
解得a/b=3即a=3b
所以三边可以写为3b,3b+b。
3b+2b
所以三边之比为3:
4:
5
6
设等差数列an=a1+(n-1)d
最大数加最小数除以二即
/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均数为
sn/n=/n=a1+(n-1)d/2
得证
第三篇:
等差数列证明
设数列{an}的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n(a1+an)/2,求证:
{an}是等差数列
解:
证法一:
令d=a2-a1,下面用数学归纳法证明an=a1+(n-1)d(n∈n*)①当n=1时,上述等式为恒等式a1=a1,
当n=2时,a1+(2-1)d=a1+(a2-a1)=a2,等式成立.
②假设当n=k(k∈n,k≥2)时命题成立,即ak=a1+(k-1)d由题设,有sk?
k(a1?
ak)(k?
1)(a1?
ak?
1)
sk?
1?
,22
(k?
1)(a1?
ak?
1)k(a1?
ak)
?
+ak+1
22
又sk+1=sk+ak+1,所以
将ak=a1+(k-1)d代入上式,
得(k+1)(a1+ak+1)=2ka1+k(k-1)d+2ak+1整理得(k-1)ak+1=(k-1)a1+k(k-1)d∵k≥2,∴ak+1=a1+[(k+1)-1]d.即n=k+1时等式成立.
由①和②,等式对所有的自然数n成立,从而{an}是等差数列.证法二:
当n≥2时,由题设,sn?
1?
(n?
1)(a1?
an?
1)n(a1?
an)
sn?
22
所以an?
sn?
sn?
1?
n(a1?
a2)(n?
1)(a1?
an?
1)
?
22
(n?
1)(a1?
an?
1)n(a1?
an)
?
同理有an?
1?
22
从而an?
1?
an?
(n?
1)(a1?
an?
1)(n?
1)(a1?
an?
1)
?
n(a1?
an)?
22
整理得:
an+1-an=an-an-1,对任意n≥2成立.
从而{an}是等差数列.
评述:
本题考查等差数列的基础知识,数学归纳法及推理论证能力,教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式,本题逆向思维,由数列的求和公式去推数列的通项公式,有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证,却不知用数学归纳法证什么,这里需要把数列成等差数列这一文字语言,转化为数列通项公式是an=a1+(n-1)d这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.
第四篇:
等差数列的证明
一、等差数列的证明利用等差(等比)数列的定义
在数列{an}中,若an?
an?
1?
d
二.运用等差中项性质
an?
an?
2?
2an?
1?
{an}是等差数列
三.通项与前n项和法
若数列通项an能表示成an?
an?
b(a,b为常数)的形式,则数列?
an?
是等差数列;若数列?
an?
的前n项和sn能表示成sn?
an2?
bn(a,b为常数)的形式,则数列?
an?
等差数列;
例1.若sn是数列?
an?
的前n项和,sn?
n2,则?
an?
是().
a.等比数列,但不是等差数列b.等差数列,但不是等比数列c.等差数列,而且也是等比数列d.既非等比数列又非等差数列
练习:
已知数列前n项和sn?
n2?
2n,求通项公式an,并说明这个数列是否为等差数列。
练习:
设数列?
an?
的前n项的和sn?
n2?
2n?
4,?
n?
n?
?
,
⑴写出这个数列的前三项a1,a2,a3;
⑵证明:
数列?
an?
除去首项后所成的数列a2,a3,a4?
是等差数列。
例2:
已知数列?
an?
满足a1?
1,an?
2an?
1?
2
(ⅰ)求证:
数列?
n?
n?
2?
,?
an?
是等差数列;n?
2?
?
(ⅱ)求数列?
an?
的通项公式。
练习:
已知数列?
an?
满足a1?
2,an?
1?
an,1?
2an(ⅰ)求证:
数列?
?
1?
?
是等差数列;a?
n?
(ⅱ)求数列?
an?
的通项公式。
第五篇:
已知数列{an}是等差数列,设bn=a2n1-a2n证明:
数列{bn}是等差数列
已知数列{an}是等差数列,设bn=a2n+1-a2n证明:
数列{bn}是等差数列
思路:
这个题的方法和上课讲的方法是一致的,你没有做出来,是因为忽略了数列{an}是等差数列这个条件,这个条件就以为着对于{an}来说,前后两项的差为常数
证明:
设等差数列{an}的公差为d
bn?
1?
bn
2222?
(an?
2?
an?
1)?
(an?
1?
an)
?
(an?
2?
an?
1)(an?
2?
an?
1)?
(an?
1?
an)(an?
1?
an)
?
d(an?
2?
an?
1)?
d(an?
1?
an)
?
d(an?
2?
an?
1?
an?
1?
an)
?
d(an?
2?
an)
?
d?
2d
?
2d2
⊙已知函数f﹙x)=x3+x,g(x)=(x2+ax+4)÷x(1)若对任意的x1属于【1,3】,存在x2属于【1,3】,使得f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围。
(2)若对任意的x1,x2属于【1,3】都有f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围。
思路:
第2问是恒成立问题,你说的对,第一个问不是。
因为是“存在x2”,所
以应该满足的条件是f(x)的最大值大于等于g(x)的最大值,f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值,
解:
f(x)通过求导可求得值域为f(x1)?
[2,30],g(x2)?
x?
4?
a?
[4?
a,5?
a]x
?
30?
5?
a所以
(1)解不等式?
,解不等式即可2?
4?
a?
(2)2?
5?
a,解不等式即可
⊙设m属于r,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),向量a⊥向量b,动点m(x,y)的轨迹为e。
已知m=1/4,证明:
存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹e恒有两个交点a,b,且oa⊥ob(o为坐标原点),并求出该圆的方程。
思路:
该题就是一个“直线和圆锥曲线相交”的问题,方法是韦达定理法。
关于解析几何的大题,我会在寒假的时候,重点训练大家的,这种题的特点是运算量大,思路倒是没有什么问题。
先根据向量垂直,求出m的轨迹方程为椭圆。
然后在根据圆的性质:
切点与圆心的连线与切线垂直,切点与圆心的距离等于半径,再加上向量垂直,即可求解。
?
12x2
222?
y2?
1解:
?
b?
x?
y?
1?
0?
x?
4y?
4?
44
设圆的切线的切点坐标为p(x0,y0),则k0p?
y0x,因为op和ab垂直,所以kab?
?
0,x0y0则设直线ab的方程:
y?
y0?
?
x0(x?
x0)带入到椭圆方程中,得:
y0
2(y0?
4x0)x?
8x0rx?
4r?
4y0?
0?
x1?
x2?
222248x0r2
y0?
4x022,x1x2?
4r4?
4y0y0?
4x0222
r2?
x0x1r2?
x0x2又因为0a?
0p?
x1x2?
y1y2?
0?
x1x2?
()()?
0y0y0
?
x1x2?
r2?
x0(x1?
x2)?
0
将上面求得的x1?
x2?
8x0r2
y0?
4x022,x1x2?
4r4?
4y0y0?
4x0222带入到上式中,整理可求得
r2?
4422,即圆的方程为x?
y?
55
⊙设a>1,则双曲线x2÷a2-y2÷(a+1)2=1的离心率e的取值范围是?
a2?
(a?
1)21解:
e?
?
2a?
?
2?
5aa
总结;最后求范围是根据对勾函数求的,如果不懂,可以参考函数课程中的“分式函数”这节课。
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