浅谈立体图形计算错误.docx
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浅谈立体图形计算错误.docx
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浅谈立体图形计算错误
浅谈立体图形计算错误
在小学阶段,我们除了学习平面图形外,还认识了一些简单的立体图形,如长方体、正方体(立方体)、直圆柱体,直圆锥体、球体等,并且知道了它们的体积、表面积的计算公式,归纳如下(见下图(
在数学竞赛中,有许多几何趣题,解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计,把形象思维和抽象思维结合起来(
例1下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的,求它的表面积(
分析与解答求这个长方体的表面积,如果一面一面地去数,把结果累计相加可以得到答案,但方法太繁(如果仔细观察,会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等(因此列式为:
(9,8,7)×2,48(平方厘米)(
答:
它的表面积是48平方厘米(
例2一个圆柱体底面周长和高相等(如果高缩短了2厘米,表面积就减少12.56平方厘米(求这个圆柱体的表面积(
分析一个圆柱体底面周长和高相等,说明圆柱体侧面展开是一个正方形(解题的关键在于求出底周长(根据条件:
高缩短2厘米,表面积就减少12.56平方厘米,用右图表示,从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分,值是12.56平方厘米,所以底面周长C,12.56?
2,6.28(厘米)(这个问题解决了,其它问题也就迎刃而解了(
解:
底面周长(也是圆柱体的高):
12.56?
2,6.28(厘米)(
侧面积:
6.28×6.28,39.4384(平方厘米)
两个底面积(取π,3.14):
表面积:
39.4384,6.28,45.7184(平方厘米)
答:
这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米(
例3一个正方体形状的木块,棱长为1米(若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份,如下图,共得到大大小小的长方体60块,这60块长方体的表面积的和是多少平方米,
分析如果将60个长方体逐个计算表面积是个很复杂的问题,更何况锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事(如果换一个角度考虑问题:
每锯一次就得到两个新的切面,这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积,也就是,每锯一次表面积增加1,1,2平方米,这样只要计算一下锯的总次数就可使问题得到解决(
解:
原正方体表面积:
1×1×6,6(平方米),
一共锯了多少次:
(次数比分的段数少1)
(3,1),(4,1),(5,1),9(次),
表面积:
6,2×9,24(平方米)(
答:
60块长方体表面积的和是24平方米(
例4一个酒精瓶,它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),如下图(已知它的容积为26.4π立方厘米(当瓶子正放时,瓶内的酒精的液面高为6厘米(瓶子倒放时,空余部分的高为2厘米(问:
瓶内酒精的体积是多少立方厘米,合多少升,
分析由题意,液体的体积是不变的,瓶内空余部分的体积也是不变的,因此可知液体体积是空余部分体积的3倍(6?
2)(
62.172立方厘米,62.172毫升
0.062172升(
答:
酒精的体积是62(172立方厘米,合0(062172升(
例5一个稻谷囤,上面是圆锥体,下面是圆柱体(如下图)(圆柱的底面周长是9.42米,高2米,圆锥的高是0.6米(求这个粮囤的体积是多少立方米,
分析按一般的计算方法,先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积(但我们仔细想一想,如果把圆锥形的稻谷铺平,把它变成圆
圆柱体,高是(2,0.2)米(这样求出变化后直圆柱的体积就可以了(
解:
圆锥体化为圆柱体的高:
底面积:
体积:
7.065×(2,0.2),15.543(立方米)(
答:
粮囤的体积是15.543立方米(
例6皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中(皮球的直径为12厘米,水桶底面直径为60厘米(皮球有2/3的体积浸在水中(下图)(问皮球掉进水中后,水桶的水面升高多少厘米,
分析皮球掉进水中后排挤出一部分水,使水面升高(这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积,再用这个体积除以圆柱形水桶底面积,就得到水面升高的高度(
解:
球的体积:
288π(立方厘米)(
2水桶的底面积:
π×30,900π(平方厘米)(
例7下图所示为一个棱长6厘米的正方体,从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体,求剩下的体积是原正方体的百分之几,(保留一位小数)(
分析直圆锥底面直径是正方体的棱长,高与棱长相等(
剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积(
3解:
正方体体积:
6,216(立方厘米)(
56.52(立方厘米)(
剩下体积占正方体的百分之几(
(216,56.52)?
216?
0.738?
73.8,(
答:
剩下体积占正方体体积的73.8,(
例8有一个圆柱体的零件,高10厘米,底面直径是6厘米,零件的一端有一个圆柱形的直孔,如下图(圆孔的直径是4厘米,孔深5厘米(如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆,一共需涂多少平方厘米,
分析解题时,既要注意圆柱体的外表面积,又要注意圆孔内的表面,同时还要注意到零件的底面是圆环(由于打孔的深度与柱体的长度不相同,所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆,这一点不能忽略(但是,我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆,即原圆柱体的底面(
解:
涂漆面积:
3.14×(18,60,20)
3.14×98,307.72(平方厘米)(
答:
涂油漆面积是307(72平方厘米(
立体图形中关于计算方面的
错例研究
1、对象分析
关于立体图形方面的知识?
大致有两大部分?
一部分是关于长方体、正方体方面的知识?
一部分是关于圆柱、圆锥方面的知识。
第一部分长方体、正方体方面的知识一般在五年级学习?
而第二部分圆柱、圆锥方面的知识一般在六年级学习。
2、错例、原因分析与解决策略
?
、长方体的面积计算
?
、已知一个长方体的长是15厘米?
宽是8厘米、高是10厘米。
求这个长方体的表面积。
15×8?
15×10?
8×10?
350?
平方厘米?
。
?
15×8?
15×10?
8×10?
×2?
350?
平方厘米?
。
原因分析?
第一个算式只算了三个面的面积和?
而表面积是要六
个面的面积的和。
第二个算式虽然正确?
但计算时漏乘了2。
解决策略?
在教学表面积的计算时?
既要充分关注到表面积的概念?
又要用实际的例子加以说明?
强调计算的步骤与准确性。
?
、已知一个长方体的长是15厘米?
宽是8厘米、高是1分米。
求这个长方体的表面积。
15×8?
15×1?
8×1?
143?
平方厘米?
。
原因分析?
学生在计算的时候?
没有转换单位就进行计算了。
解决策略?
这种类型的错误?
因为不只是在这里会出现?
所以?
要多举几个例子加以说明?
一定要让学生建立起这样的观念?
计算时?
一定要统一单位。
?
、已知一个长方体的长是15厘米?
宽是8厘米、高是1分米。
求这个长方体上面的面积。
错例1、15×8×2?
240?
平方厘米?
。
错例2、15×8?
15×10?
10×8?
350?
平方厘米?
。
错例3、?
15×8?
15×10?
10×8?
×2?
700?
平方厘米?
。
原因分析?
都是没有理解题意?
把求上面的面积当成了求上下两国面?
上、左、前三个面?
整个表面的面积了。
解决策略?
在学习表面积或学习长方体的认识的时候?
就要和学生一起建立各个面的观念、位置关系的清晰认识。
上、下、左、右、
在实前、后六个面要用实物看、摸?
对照数据的去理解长、宽、高?
际问题的解决中?
还有一个占地面积的计算?
也有一些学生没能清楚的认识。
所以?
要和学生共同探讨?
水池的占地、沙池的占地是指哪个面。
?
、已知一个长方体的饼干盒长是25厘米?
宽是18厘米、高是30厘米。
要在饼干盒的四周贴上一层说明、宣传贴纸?
求这张说明、贴纸的面积?
不计算接口部分?
。
错例1、?
25×18?
25×30?
18×30?
×2?
1740?
平方厘米?
。
错例2、?
25×<0210><66F18?
25×30?
18×30?
×2?
3480?
平方厘米?
。
错例3、还有可能使用的数据不对的?
如?
25×18?
18×30?
×2等。
原因分析?
不理解在四周贴说明、宣传贴纸是求什么。
解决策略?
对于解决实际问题?
有部分学生是比较模糊的。
一方面?
不知求什么面的面积?
另一方面?
不知四周的含义?
所以?
教师上课时?
必须用实际的教具和学生共同去探讨?
把四周的意义弄清楚。
?
、一个教室的长是8米?
宽是7米?
高是3.5米?
门窗和黑板的面积共有30平方米。
现在要在教室内的墙壁粉刷一层彩色颜料?
求粉刷的面积。
?
8×7?
8×3.5?
7×3.5?
×2?
30?
187?
平方米?
。
原因分析?
学生对现实生活中的一些事件并不理解?
所以?
计算的时候就出了笑话。
解决策略?
对于学生不一定理解的生活事件?
如粉刷房间不用粉刷地板这个事件?
在计算的时候?
学生不一定想起?
如果上课的时候有和学生讨论过类似的题目?
可能就不存在这种错误了。
?
、正方体的表面积计算错例
?
、已知一个正方体的总棱长是60厘米?
求这个正方体的表面
积。
错例1、60?
6?
10?
厘米?
10×10×6?
600?
平方厘米?
。
错例2、60?
12?
5?
厘米?
5×5?
25?
平方厘米?
。
原因分析?
第一个错例是学生对正方体的总棱长、棱长的认识不明确?
导致棱长的求法不对?
第二个错例是只求一个面的面积而表面积包括了六个面。
解决策略?
这一方面的知识必须抓住三点?
第一?
总棱长即12条棱的长度的总和?
正方体的12条棱都是一样长的?
第二?
正方体的六个面都是一样的?
面积都相等?
所以?
求表面积是求一个面的六倍是多少?
第三?
要正确区别棱长与总棱长?
面积与表面积这两对概念。
?
、圆柱的侧面积与表面积计算错例
?
、已知一个圆柱的底面半径是5厘米?
高是10厘米。
求这个圆柱的侧面积。
3.14×5×10?
157?
平方厘米?
。
原因分析?
学生把底面周长的计算漏乘了2?
这有多方面的原因。
解决策略?
关于求侧面积?
还有很多学生在学完这一节新课后?
弄不清侧面积是什么?
怎样求侧面积。
虽然在课堂上能机械的去按公式求出侧面积?
但不一定能记牢?
因为不理解。
如果有一个模型或在多媒体中有一个操作?
侧面积是如何得来的?
那么?
学生就不会在这样的基础计算中列式漏掉了乘2。
另外?
这也可能和学生学习圆的周长学的不够扎实?
所以?
在计算的时候?
就恍惚了。
因此?
在学习圆的知识的时候?
还要注意有可能出现这方面的错例。
?
、已知一个圆柱的侧面展开图是正方形?
圆柱的高是3.14厘米。
求这个圆柱的底面积。
3.14?
3.14?
1?
厘米?
3.14×1×1?
3.14?
平方厘米?
。
原因分析?
第一步求出的是直径?
第二步用直径的平方进行计算就错了?
这主要是学生还没能明白?
第一步计算的依据?
计算的结果是什么。
解决策略?
对于这样的题目?
课堂接触到的不多?
所以?
老师和学生探究侧面展开的时候?
必须让学生明晰底面周长在侧面展开中是长或宽?
而周长和直径的关系、和半径的关系也必须复习?
因为有一些学生的记忆不一定被很快的唤起?
特别是当一些数字接近容易混淆的数字时?
更容易因为数字的混淆忽略了对学过的知识的清晰回忆。
所以?
五年级及其前期?
清晰的数字培养是十分重要的。
?
、已知一个圆柱的底面半径是1厘米?
高是2分米。
求这个圆柱的表面积。
底面积?
3.14×1×1?
3.14?
平方厘米?
?
侧面积?
2×3.14×1×2?
12.56?
平方厘米?
?
表面积?
3.14?
12.56?
15.7?
平方厘米?
。
原因分析?
一方面?
因为数字简单?
1、2连续的出现?
造成部
分同学忽略了单位名称的不同?
另一方面?
表面积必须是两个底面加上侧面积?
而有的同学就因为简单而忽视了。
解决策略?
在表面积的认识上?
必须和学生分清楚?
侧面积和表面积的区别和联系?
要能很清楚的把握半径、直径、底面周长、底面面积、高、侧面积、表面积这些概念。
?
、一节圆柱体形的铁皮通风管底面周长为31.4厘米?
长1.5米。
求这一节通风管铁皮的面积。
错例1、31.4?
3.14?
2?
5?
厘米?
?
3.14×5×5×2?
31.4×150?
628?
平方厘米?
。
错例2、31.4×1.5?
47.1?
平方米?
。
原因分析?
出现错例1的同学?
主要是没有认识好通风管是没有上下底面的?
出现错例2的同学只是少数对单位名称不敏感的同学。
解决策略?
这是解决实际问题中的基础题。
上课的时候?
要和学生共同建立通风管的没有上下底的观念。
因为解决实际问题是学生的弱项?
有关的如无盖金鱼池?
无上底的沙池、游泳池?
无上下底的柱子、通风管等?
都要和学生交流?
避免出现一些低级的错误。
?
、圆锥的底面积计算错例
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