九年级上册第二十四章圆.docx
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九年级上册第二十四章圆
圆
本章知识结构如下图所示:
1.圆的特征
(1)圆是轴对称图形,它的任意一条直径所在的直线都是对称轴.
(2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任意大小的角度,都能与原图形重合.
2.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
3.圆心角的特征
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
4.圆周角的性质特征
(1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;反之,在同圆或等圆中相等圆周角所对的弧也相等.
(2)半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
(3)一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧度数的一半.
5.圆与点的位置关系、圆与直线的位置关系及圆与圆的位置关系
讨论圆与点的位置关系、圆与直线的位置关系及圆与圆的位置关系时我们通过讨论圆的半径和距离来确定.
6.弧长和扇形的面积
设弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r,扇形的面积为S扇形,有:
7.圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的半径等于圆锥的母线长R,弧长是圆锥底圆的周长l=2πr,扇形的圆心角为α,则:
定义1:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.记作⊙O,读作“圆O”.
定义2:
圆是到定点距离等于定长的点的集合.
点和圆的位置关系
如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则:
点在圆上
d=r;
点在圆内
d 点在圆外 d>r. “数” “形” 知识结构 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的条件和结论: CD为⊙O的直径,CD⊥AB AE=EB, = , = . (1)圆的轴对称性; (2)垂径定理及应用. 方法: (1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形; (2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距; (3)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧. 圆的对称性和旋转不变性; 圆心角定义: 顶点在圆心的角叫圆心角. 弦心距定义: 从圆心到弦的距离叫做弦心距. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理: 在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等. 推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.( 圆周角 定义: 顶点在圆周上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 圆周角定理: 一条弧所对的周角等于它所对圆心角的一半. 知识结构 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形,而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆. 1、边的性质: (1)矩形: 对边相等,对边平行. (2)正方形: 对边相等,对边平行,邻边相等. (3)等腰梯形: 两腰相等,有一组对边平行. 2、角的关系 猜想: 圆内接四边形的对角互补. 知识结构 切线的判定定理: 1、切线的判定定理: 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2、对定理的理解: 引导学生理解: ①经过半径外端;②垂直于这条半径. 切线的判定方法有三种: (1)根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。 (2)根据圆心到直线的距离来判定,即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (3)根据切线的判定定理来判定. 知识结构 1、概念: 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形. 2、类比: 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC; (2)外心不一定在三角形的内部. 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三边的距离相等; (2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB; (3)内心在三角形内部. 3、和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形. 4、概念理解: 理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念,并与三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较. “接”与“切”是说明三角形的顶点和边与圆的关系: 三角形的顶点都在圆上,叫做“接”; 三角形的边都与圆相切叫做“切”. 知识结构 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 切线长定理的基本图形研究 如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点.直线OP交⊙O于点D,E,交AP于C (1)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形; (3)写出图中所有的相似三角形; (4)写出图中所有的等腰三角形. 知识结构 弦切角的定义: 顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角. 弦切角可分为三类: (1)圆心在角的外部; (2)圆心在角的一边上; (3)圆心在角的内部. (Ⅰ)弦切角的识别由三要素构成: ①顶点为切点,②一边为切线,③一边为过切点的弦; (Ⅱ)在使用弦切角定理时,首先要根据图形准确找到弦切角和它们所夹弧上的圆周角; (Ⅲ)要注意弦切角定理的证明,体现了从特殊到一般的证明思路。 知识结构 1、相交弦定理: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. 推论: 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. 知识结构 (1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(图 (1)) (2)外切: 两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图 (2)) (3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这两个圆相交.(图(3)) (4)内切: 两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4)) (5)内含: 两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6)) 设两圆半径分别为R和r.圆心距为d,组织学生研究两圆的五种位置关系: 两圆外切 d=R+r; 两圆内切 d=R-r(R>r); 两圆外离 d>R+r; 两圆内含 d<R-r(R>r); 两圆相交 R-r<d<R+r. 正多边形的概念: (1)概念: 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n(n≥3)条边,就叫正n边形.等边三角形有三条边叫正三角形,正方形有四条边叫正四边形. 多边形和圆的关系的定理 定理: 把圆分成n(n≥3)等份: (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形; (2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 证明思路: 弧相等 归纳: (1)两圆外离与内含时,两圆都无公共点. (2)两圆外切和内切统称两圆相切,即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类: 相离(外离和内含);相交;相切(外切和内切). 1、相切两圆的性质. 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 定理: 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形. 2、理解: 定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化. 由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R,一条直角边是正n边形的边心距rn,另一条直角边是正n边形边长an的一半,一个锐角是正n边形中心角 的一半,即 ,所以,根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题. 已知圆的半径为R,求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积. ; ; ; ; ; 上式六公式看出,只要给定两个条件,则正多边形就完全确定了. 圆周长、弧长 (1)圆周长C=2πR; (2)1°圆心角所对弧长= ; (3)n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍; (4)n°圆心角所对弧长= . 归纳结论: 若设⊙O半径为R,n°圆心角所对弧长l,则 (弧长公式) 扇形: 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. (1)圆面积S=πR2; (2)圆心角为1°的扇形的面积= ; (3)圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍; (4)圆心角为n°的扇形的面积= . 归纳结论: 若设⊙O半径为R,圆心角为n°的扇形的面积S扇形,则 S扇形= (扇形面积公式) 扇形的面积公式与弧长公式联系 S扇形= lR 底面圆周长×圆柱母线 两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义: 和两圆都相切的直线,叫做两圆的公切线. (1)外公切线: 两个圆在公切线的同旁时,这样的公切线叫做外公切线. (2)内公切线: 两个圆在公切线的两旁时,这样的公切线叫做内公切线. (3)公切线的长: 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长. 2、理解概念: (1)公切线的长与切线的长区别与联系 公切线的长与切线的长的概念有类似的地方,即都是线段的长.但公切线的长是对两个圆来说的,且这条线段是以两切点为端点;切线长是对一个圆来说的,且这条线段的一个端点是切点,另一个端点是圆外一点 (2)公切线的长与公切线区别与联系 公切线是直线,而公切线的长是两切点问线段的长,前者不能度量,后者可以度量. 圆 定义: (1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 (2)平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,留下的轨迹叫圆。 圆心: (1)如定义 (1)中,该定点为圆心 (2)如定义 (2)中,绕的那一端的端点为圆心。 (3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。 (4)垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 注: 圆心一般用字母O表示 直径: 通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。 直径一般用字母d表示。 半径: 连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。 半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。 圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。 在同圆或等圆中: 直径是半径的2倍,半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。 圆的周长: 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数(无理数),用字母π表示。 计算时,通常取它的近似值,π≈3.14。 直径所对的圆周角是直角。 90°的圆周角所对的弦是直径。 圆的面积公式: 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 πr^2,用字母S表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。 周长计算公式 1.、已知直径: C=πd 2、已知半径: C=2πr 3、已知周长: D=c\π 4、圆周长的一半: 1\2周长(曲线) 5、半圆的长: 1\2周长+直径 面积计算公式: 1、已知半径: S=πr平方 2、已知直径: S=π(d\2)平方 3、已知周长: S=π(c\2π)平方 24.2点、直线、圆和圆的位置关系 1.点和圆的位置关系 ①点在圆内 点到圆心的距离小于半径 ②点在圆上 点到圆心的距离等于半径 ③点在圆外 点到圆心的距离大于半径 2.过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3.外接圆和外心 经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。 4.直线和圆的位置关系 相交: 直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线。 相切: 直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点。 相离: 直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。 5.直线和圆位置关系的性质和判定 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线 的距离为d,那么 ①直线 和⊙O相交 ; ②直线 和⊙O相切 ; ③直线 和⊙O相离 。 圆和圆 定义: 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆的外离。 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部,叫做两个圆的外切。 两个圆有两个交点,叫做两个圆的相交。 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的内部,叫做两个圆的内切。 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆的内含。 原理: 圆心距和半径的数量关系: 两圆外离<=>d>R+r 两圆外切<=>d=R+r 两圆相交<=>R-r 两圆内切<=>d=R-r(R>r) 两圆内含<=>d 24.3正多边形和圆 1、正多边形的概念: 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形与圆的关系: (1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器),依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。 (2)这个圆是这个正多边形的外接圆。 3、正多边形的有关概念: (1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。 (2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。 (3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。 (4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。 4、正多边形性质: (1)任何正多边形都有一个外接圆。 (2)正多边形都是轴对称图形,当边数是偶数时,它又是中心对称图形,正n边形的对称轴有n条。 (3)边数相同的正多边形相似。 重点: 正多边形的有关计算。 知识讲解 1、正多边形定义: 各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形。 例如: 正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。 如果一个正多边形有n条边,那么,这个多边形叫正n边形。 再如: 矩形不是正多边形,因为它只具有各角相等,而各边不一定相等;菱形不是正多边形,因为,它只具有各边相等,而各角不一定相等。 2、正多边形与圆的关系。 正多边形与圆有密切关系,把圆分成n(n≥3)等份,依次连结分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。 相邻分点间的弧相等,则所对的弦(正多边形的边)相等,相邻两弦所夹的角(多边形的每个内角)都相等,从而得出,所连的多边形满足了所有边都相等,所有内角都相等,从而这个多边形就是正多边形。 如: 将圆6等分,即 ,则AB=BC=CD=DE=EF=FA。 观察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所对的弧可以发现都是相等的弧,所以,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F。 所以,将一个圆6等分,依次连结各分点所得到的是⊙O的内接正六边形。 3、正多边形的有关计算。 (1)首先要明确与正多边形计算的有关概念: 即正多边形的中心O,正多边形的半径Rn——就是其外接圆的半径,正多边形的边心距rn,正多边形的中心角αn,正多边形的边长an。 (2)正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形,等腰三角形的顶角就是正n边形的中心角都等于 ;如果再作出正n边形各边的边心距,这些边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个全等的直角三角形。 如图: 是一个正n边形ABCD……根据以上讲解,我们来分析RtΔAOM的基本元素: 斜边OA——正n边形的半径Rn; 一条直角边OM——正n边形的边心距rn; 一条直角边AM——正n边形的边长an的一半即AM= an; 锐角∠AOM——正n边形的中心角αn的一半即∠AOM= ; 锐角∠OAM——正n边形内角的一半即∠OAM= [(n-2)·180°]; 可以看到在这个直角三角形中的各元素恰好反映了正n边形的各元素。 因此,就可以把正n边形的有关计算归纳为解直角三角形的问题。 4、正多边形的有关作图。 (1)使用量角器来等分圆。 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等,因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆;根据同圆中相等弧所对的弦相等,依次连接各分点就可画出相应的正n边形。 (2)用尺规来等分圆。 对于一些特殊的正n边形,还可以用圆规和直尺作出图形。 ①正四、八边形。 在⊙O中,用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份,从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交 于E)就可作出正八边形、正十六边形等,边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法。 通过简单计算可知,正六边形的边长与其半径相等,所以,在⊙O中,任画一条直径AB,分别以A、B为圆心,以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F,则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然,A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样,在图(3)中平分每条边所对的弧,就可把⊙O12等分……。 5、正多边形的对称性。 正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心,如果正多边形有偶数条边,那么,它又是中心对称图形,它的中心就是对称中心。 如: 正三角形、正方形。 24.4弧长和扇形面积 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2 R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式: , 说明: (1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”,例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成 。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积 ,所以圆心角为1°的扇形面积是 ,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是 。 又因为扇形的弧长 ,扇形面积 ,所以又得到扇形面积的另一个计算公式: 。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义: 由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示, 例: 如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是( )(结果用 表示) 分析: 由图可知 由圆周角定理可知∠ABC= ∠AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以 , 所以 注意: (1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长 弧长 圆面积 扇形面积 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 (2)扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2 ,圆锥的侧面积 ,圆锥的全面积 说明: (1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 (2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,若圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的侧面积 ,圆柱的全面积 知识小结: 圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱 图形 图形的形成过程 由一个直角三角形旋转得到的,如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。 由一个矩形旋转得到的,如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。 图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面 侧面展开图的特征 扇形 矩形 面积计算方法
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