专题五圆锥曲线C教师版苏深强.docx

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专题五圆锥曲线C教师版苏深强

圆锥曲线

针对圆锥曲线试题的命题特点，备考中要突出“五种方法”、“两种思想”、“六种题型”。

五个方法：

定义法；韦达法；点差法；相关点法；参数法；

两种思想：

设而不解思想（注意辨析设而求解,以及设的技巧）；转化与化归思想（另作专题展开讲述）；

六种题型：

求轨迹方程；中点问题；定义与最值；弦长与面积；范围问题；定值定点定直线问题。

1、

（1）已知双曲线与椭圆：

有公共的焦点，并且双曲线的c/a与椭圆的c/a之比为，求双曲线的方程．

（2）以抛物线上的点M与定点为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程．

（1）解：

的焦点坐标为由得设双曲线的方程为则解得双曲线的方程为

（2）解：

设点，则，∴．

代入得：

．此即为点P的轨迹方程．

2、

（1）的底边，和两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．

（2）△ABC中，B（-5,0）,C（5,0）,且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程．

解：

（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．设，，则．①由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．

（2）分析：

由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系．

解：

sinC-sinB=sinA2RsinC-2RsinB=·2RsinA

∴

即（*）

∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）

∵2a=6，2c=10

∴a=3，c=5，b=4

所求轨迹方程为（x>3）

点评：

要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

3、如图，两束光线从点M（-4，1）分别射向直线y=-2上两点P（x1，y1）和Q（x2，y2）后，反射光线恰好通过椭圆C：

（a>b>0）的两焦点，已知椭圆的c/a为，且x2-x1=，求椭圆C的方程.

解：

设a=2k，c=k，k≠0，则b=k，其椭圆的方程为.

由题设条件得：

，①

，②

x2-x1=，③

由①、②、③解得：

k=1，x1=，x2=-1，所求椭圆C的方程为.

4、在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程．

∴所求椭圆方程为

解：

以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设．

则∴即∴得

5、已知点P是圆x2+y2=4上一个动点，定点Q的坐标为（4，0）．

（1）求线段PQ的中点的轨迹方程；

（2）设∠POQ的平分线交PQ于点R（O为原点），求点R的轨迹方程．

解：

（1）设线段PQ的中点坐标为M（x，y），由Q（4，0）可得点P（2x-4，2y），代入圆的方程x2+y2=4可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求轨迹为（x-2）2+y2=1.

（2）设点R（x，y），P（m，n），由已知|OP|=2，|OQ|=4，∴，由角平分线性质可得=，又∵点R在线段PQ上，∴|PR|=|RQ|，∴点R分有向线段PQ的比为，由定比分点坐标公式可得，即，∴点P的坐标为，代入圆的方程x2+y2=4可得，

即+y2=（y≠0）.∴点R的轨迹方程为+y2=（y≠0）.

6、已知动圆过定点，且与直线相切.

（1）求动圆的圆心轨迹的方程；

（2）是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？

若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

解：

（1）如图，设为动圆圆心，，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：

，即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，∴动点的轨迹方程为

（2）由题可设直线的方程为，

由得

△，

设，，则，

由，即，，于是，

即，，

，解得或（舍去），

又，∴直线存在，其方程为

7、设双曲线的两个焦点分别为，c/a为2.（I）求此双曲线的渐近线的方程；（II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

解：

（I）

，渐近线方程为4分

（II）设，AB的中点

则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分）

（III）假设存在满足条件的直线

设

由（i）（ii）得

∴k不存在，即不存在满足条件的直线.

8、设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．

解：

设点的坐标

则……1分

………3分由

（1）－

（2）可得…6分又MN⊥MQ，所以直线QN的方程为，又直线PT的方程为从而得所以代入

（1）可得此即为所求的轨迹方程.

9、已知：

直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。

若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程．

分析：

曲线的形状已知，可以用待定系数法．设出它们的方程，L：

y=kx（k≠0）,C:

y2=2px（p>0）.

设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

A/（），B/（）。

因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：

k2-k-1=0.解得：

k=,p=.所以直线L的方程为：

y=x,抛物线C的方程为y2=x.

10、已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：

在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）证法一：

设点P的坐标为

由P在椭圆上，得

由，所以………………………3分

证法二：

设点P的坐标为记

则

由

证法三：

设点P的坐标为椭圆的左准线方程为

由椭圆第二定义得，即

由，所以…………………………3分

（Ⅱ）解法一：

设点T的坐标为

当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

当|时，由，得.

又，所以T为线段F2Q的中点.

在△QF1F2中，，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分

解法二：

设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

当|时，由，得.

又，所以T为线段F2Q的中点.

设点Q的坐标为（），则

因此①

由得②

将①代入②，可得

综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分

③

④

（Ⅲ）解法一：

C上存在点M（）使S=的充要条件是

由③得，由④得所以，当时，存在点M，使S=；

当时，不存在满足条件的点M.………………………11分

当时，，

由，

，

，得

解法二：

C上存在点M（）使S=的充要条件是

③

④

由④得上式代入③得

于是，当时，存在点M，使S=；

当时，不存在满足条件的点M.………………………11分

当时，记，

由知，所以…………14分

11、设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程；

（2）证明∠PFA=∠PFB.

解：

（1）设切点A、B坐标分别为，

∴切线AP的方程为：

切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为，

所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

（2）方法1：

因为

由于P点在抛物线外，则

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：

①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：

即

所以P点到直线BF的距离为：

所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.

②当时，直线AF的方程：

直线BF的方程：

所以P点到直线AF的距离为：

，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.

12、已知椭圆，

（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．

分析：

此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：

设弦两端点分别为，，线段的中点，则

①－②得．

由题意知，则上式两端同除以，有，

将③④代入得．⑤

（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为：

．⑥

将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．

（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：

．（椭圆内部分）

（3）将代入⑤得所求轨迹方程为：

．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得：

，⑦，将③④平方并整理得

，⑧，，⑨

将⑧⑨代入⑦得：

，⑩

再将代入⑩式得：

，即．

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

13、椭圆C:

的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.

解法一：

（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以，a=3.

在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,

从而b2=a2－c2=4,所以椭圆C的方程为＝1.

（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.由圆的方程为（x+2）2+（y－1）2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1,

代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k－27=0.

因为A，B关于点M对称.所以解得，所以直线l的方程为即8x-9y+25=0.（经检验，符合题意）

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）已知圆的方程为（x+2）2+（y－1）2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

设A，B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）.由题意x1x2且

①

②

①-②得③

因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=－4,y1+y2=2,

代入③得＝，即直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意.

14、已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被点平分，求直线l的方程.

解：

（1）由得

即椭圆的方程为

（2）易知直线l的斜率一定存在，设l：

设M（x1,y1），N（x2,y2），由得

∵x1、x2为上述方程的两根，则①

∴

∵MN的中点为，∴∴

∴，解得k=3.

代入①中，

∴直线l：

y=3x+3符合要求.

15、设分别是椭圆C：

的左右焦点，

（1）设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设K是

（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程；（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为 试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论.

解：

（1）由于点在椭圆上，2=4,椭圆C的方程为焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）

（2）设的中点为B（x,y）则点把K的坐标代入椭圆中得线段的中点B的轨迹方程为

（3）过原点的直线L与