高中数学不等式解题漫谈.docx
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高中数学不等式解题漫谈
高中数学不等式解题漫谈
一、活用倒数法则巧作不等变换——不等式的性质和应用
不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.
倒数法则:
若ab>0,则a>b与<等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。
如:
(1998年高考题改编)解不等式loga(1-)>1.
分析:
当a>1时,原不等式等价于:
1->a,即<1-a,∵a>1,∴1-a<0,<0,从而1-a,同号,由倒数法则,得x>;当00,>0,从而1-a,同号,由倒数法则,得1 综上所述,当a>1时,x∈(,+∞);当0 注: 有关不等式性质的试题,常以选择题居多,通常采用特例法,排除法比较有效。 二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用 绝对值不等式: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。 这里a,b既可以表示向量,也可以表示实数。 当a,b表示向量时,不等式等号成立的条件是: 向量a与b共线; 当a,b表示实数时,有两种情形: (1)当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|,|a-b|=||a|-|b||; (2)当ab≤0时,|a+b|=||a|-|b||,|a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b同号或异号时,不等式就可转化为等式(部分地转化),这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。 如: 若1<<,则下列结论中不正确的是() A、logab>logbaB、|logab+logba|>2C、(logba)2<1D、|logab|+|logba|>|logab+logba| 分析: 由已知,得0 [答案]D 注: 绝对值不等式是一个十分重要的不等式,其本身的应用价值很广泛,但在高考或其他试题中常设计成在等号成立时的特殊情况下的讨论,因此利用等号成立的条件(a,b同号或异号)是解决这一类问题的一个巧解。 三、“抓两头看中间”,巧解“双或不等式”——不等式的解法 (1)解不等式(组)的本质就是对不等式(组)作同解变形、等价变换。 (2)多个不等式组成的不等式组解集的合成——先同向再异向 不等式组的解法最关键的是最后对几个不等式交集的确定。 常用画数轴的方法来确定,但毕竟要画数轴.能否不画数轴直接就可得出解集呢? 下面的方法就十分有效。 可以“先同向再异向”的原则来确定,即先将同向不等式“合并”(求交集),此时“小于小的,大于大的”;最后余下的两个异向不等式,要么为空集,要么为两者之间。 如解不等式组: 先由③④(同>)得x>0(大于大的);再由①②(同<)得x<1(小于小的);再将x>0与x<1分别与⑤作交集,由x>0与⑤得0 (3)双或不等式组的解集合成 形如的不等式组称为“双或”型不等式组(实际上包括多个“或”型不等式组成的不等式组也在此列),这是解不等式组中的一个难点。 解决这类不等式组时常借用数轴来确定,但学生在求解时总会出现一些错误。 这里介绍一种不通过数轴的直接方法: “抓两头看中间”! 如: 先比较a,b,c,d四个数的大小,如ad(即抓两头);再看x>b与x 四、巧用均值不等式的变形式解证不等式 均值不等式是指: a2+b2≥2ab(a,b∈R)①;a+b≥2(a,b∈R+)②. 均值不等式是高考的重点考查内容,但其基本公式只有两个,在实际解题时不是很方便。 若能对均值不等式进行适当变形,那么在解题时就能达到事半功倍的效果。 下面的一些变形式在解题时就很有用,不妨一试。 当然你也可以根据需要推导一些公式。 如: (1)a2≥2ab-b2③; 是将含一个变量的式子,通过缩小变为含两个变量的式子,体现增元之功效,当然反过来即是减元; (2)≥2a-b④;(a,b>0) 是将分式化为整式,体现分式的整式化作用;试试下面两个问题如何解: 求证: (1)a2+b2+c2≥ab+bc+ac; (2)++≥a+b+c.(a,b,c>0) (析: (1)由a2≥2ab-b2得b2≥2bc-c2,c2≥2ac-a2,三式相加整理即得; (2)∵≥2a-b∴同样可得另两式,再将三式相加整理即得)。 (3)ab≤()2⑤; 利用不等关系实现两数和与两数积的互化; (4) ⑥;(a,b>0) 利用不等关系实现两数和、两数的平方和及两数积之间的转化; 注: 涉及两数和、两数的平方和及两数积的问题是一个十分常见的问题,利用⑤、⑥两式可以使其中的关系一目了然。 从解题分析上看,对解题有很好的导向作用。 (5)若a,b∈R+,则+≥⑦(当且仅当=时取等号); 此式在解题中的主要作用表现在: 从左向右看是“通分”(不是真正的通分)或“合并”,化多项为一项,项数多了总不是好事;从右向左看,是“分解”或“拆项”,实现“一分为二”的变形策略。 这在解不等式相关问题中就很有作为! 请看下例: 例: 已知-1 +≥. 分析: 由上不等式,立即得到+≥≥=。 ⑦式还可推广到三个或更多字母的情形,即++≥(a,b,c>0); ++…+≥(a1,a2,…,an>0) (6)ax+by≤.(柯西不等式) 此不等式将和(差)式与平方和式之间实现了沟通,灵活应用此式可以很方便地解决许多问题.如下例: 例: 使关于x的不等式+≥k有解的实数k的取值范围是【】 A-BC+D 分析: 所求k的范围可以转化为求不等式左边的最大值即可,由柯西不等式得+≤==.∴k≤,∴k的最大值是.填D. 五、不等式中解题方法的类比应用 1、三种基本方法: 比较法、分析法、综合法。 其中比较法可分为作差比较法和作商比较法,不仅在不等式的证明和大小比较中有广泛的应用,同时在其他方面也有很大的作用。 如分析法就是一种重要的思维方法,在数学的其他章节中也有广泛的应用。 2、放缩法: 是不等式证明中一种十分常用的方法,它所涉及的理论简单,思维简单,应用灵活,因而在解题时有着十分重要的应用。 如果能灵活应用放缩法,就可以达到以简驭繁的效果。 活题巧解 例1若1<<,则下列结论中不正确的是【】 Alogab>logbaB|logab+logba|>2C(logba)2<1D|logab|+|logba|>|logab+logba| 【巧解】特例法、排除法 由已知,可令a=,b=,则logab=log23>1,0 [答案]D。 例2不等式组的解集为【】(A)(0,);(B)(,2);(C)(,4);(D)(2,4)。 【巧解】排除法 令x=3,符合,舍A、B;令x=2,合题,舍D,选C。 [答案]C。 例3已知y=f(x)是定义在R上的单调函数,实数x1≠x2,λ≠-1α=,β=,若|f(x1)-f(x2)|<|f(α)-f(β)|,则【】 A.λ<0B.λ=0C.0<λ<1D.λ≥1 【巧解】等价转化法 显然λ≠0,β==,∴α、β分别是以x1,x2为横坐标的点所确定的线段以λ和为定比的两个分点的横坐标.由题意知,分点应在线段两端的延长线上,所以λ<0,故选A。 【答案】A。 例40 (A)|log(1+a)(1-a)|+|log(1-a)(1+a)|>2(B)|log(1+a)(1-a)|<|log(1-a)(1+a)| (C)|log(1+a)(1-a)+log(1-a)(1+a)|<|log(1+a)(1-a)|+|log(1-a)(1+a)| (D)|log(1+a)(1-a)-log(1-a)(1+a)|>|log(1+a)(1-a)|-|log(1-a)(1+a)| 【巧解】换元法、综合法 由于四个选项中只涉及两个式子log(1+a)(1-a)和log(1-a)(1+a),为了简化运算看清问题的本质,不妨设x=log(1+a)(1-a),y=log(1-a)(1+a),由0 A|x|+|y|>2B|x|<|y|C|x+y|<|x|+|y|D|x-y|<|x|-|y| 这样选A就是极自然的事了。 ()x [答案]A。 例5已知实数a,b满足等式()a=()b,下列五个关系式: ①0 (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 【巧解】数形结合法 在同一坐标系内同时画出两个函数图象: y1=()x,y2=()x,(如图)作直线y=m(m>0图中平行于x轴的三条虚线),由图象可以看到: 当0 [答案]B。 例6如果数列{an}是各项都大于0的等差数列,且公差d≠0,则【】. (A)a1+a8 【巧解】特例法、排除法 取an=n,则a1=1,a4=4,a5=5,a8=8,∴a1+a8=a4+a5,故选B。 x [答案]B。 例7条件甲: x2+y2≤4,条件乙: x2+y2≤2x,那么甲是乙的【】 A、充分不必要条件B、必要不充分条件 C、充分必要条件D、既非充分也非必要条件 【巧解】数形结合法 画示意图如图。 圆面x2+y2≤2x(包括圆周)被另一个圆面x2+y2≤4包含,结论不是一目了然了吗? [答案]B 例8已知a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+与2的关系是【】 A、都不小于2B、至少有一个不小于2 C、都不大于2D、至少有一个不大于2 【巧解】整体化思想 将a+,b+,c+“化整为零”,得a++b++c+=a++b++c+≥6,故已知的三个数中至少有一个不小于2。 故选B。 [答案]B 例9解不等式–1<<1. 【巧解】数轴标根法、等价转化法 原不等式等价于(3x+x2-4)(3x-x2+4)<0,即(x+4)(x-1)(x+1)(x-4)>0, 由数轴标根法,知解集为{x|x<-4或-1 [答案]{x|x<-4或-1 注: 可以证明不等式m< 例10不等式|x+2|≥|x|的解集是______. 【巧解】数形结合法 由数轴上点的意义知,上述不等式的意义是数轴上的点x到-2的距离不小于到原点的距离。 由图形,易知,x≥-1。 [答案]{x|x≥-1} 例11已知c>0,不等式x+|x-2c|>1的解集是R,求c的取值范围。 【巧解】等价转化法 要使原不等式的解集为R,只需不等式中不含x即可,故有x-x+2c>1∴c>。 [答案]c> 注: 这里将|x-2c|中去绝对值的讨论简化为符合题意的一种,显然简捷、精彩! 例12已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a n (m 【巧解】数形结合法 令g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=g(x)-2,由f(x)=0得g(x)=2,因此f(x)=0的两根m,n可看成直线y=2与y=g(x)交点的横坐标,画出f(x),g(x)的图象,由图象容易得到m [答案]m 例13若0 a+d 【巧解】综合法 由0c-b,∴(d-a)2>(b-c)2,又(a+d)2+(a-d)2=(b+c)2+(b-c)2, 两式相减,得(a+d)2<(b+c)2,∴a+d [答案]见证明过程 注: 本题的几何意义是: 在RtΔABC与RtΔABD中,其中AB为公共的斜边。
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