圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系.docx

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圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线位置关系

一、基础知识：

（一）直线与椭圆位置关系

1直线与椭圆位置关系：

相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）

2

F面以直线ykxm和椭圆：

冷

a

（1）联立直线与椭圆方程:

ykxm

22222「2

bxayab

y（或x），代入椭圆

（2）确定主变量x（或y）并通过直线方程消去另一变量

（3）

通过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置

关系

①

0

方程有两个不同实根

直线与椭圆相交

②

0

方程有两个相同实根

直线与椭圆相切

③

0

方程没有实根直线与椭圆相离

a2b2，整理可得:

方程得到关于主变量的一兀二次方程：

b2x2a2kxm2

3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交

（二）直线与双曲线位置关系

1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离

2、直线与双曲线位置关系的判定：

与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定

22

以直线ykxm和椭圆：

^2^21ab0为例：

ab

ykxm

■222222

bxayab

（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为a2k2b20,所以消元后的方程一定是二次

方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为b2a2k2，有可能为零。

所以要

分情况进行讨论

当b2a2k20k-且m0时，方程变为一次方程，有一个根。

此时直线与

a

双曲线相交，只有一个公共点

当b2a2k20bkb时，常数项为a2m2a2b20，所以0恒成立,

aa

此时直线与双曲线相交

当b2a2k20kb或kb时，直线与双曲线的公共点个数需要用判断：

aa

10方程有两个不同实根直线与双曲线相交

20方程有两个相同实根直线与双曲线相切

30方程没有实根直线与双曲线相离注：

对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。

尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切

（3）直线与双曲线交点的位置判定：

因为双曲线上的点横坐标的范围为

aUa,，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：

当xa

时，点位于双曲线的右支；当xa时，点位于双曲线的左支。

对于方程：

b2a2k2x22a2kxma2m2a2b20，设两个根为论公2

222匚2

1当b2a2k20—k—时，则xix2旦厂0，所以为必异号，即

aabak

交点分别位于双曲线的左，右支

2222

2当b2a2k20k-或k一，且0时，x1x2——2^~0，所以为公2

aa-ak

同号，即交点位于同一支上

（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：

通过

（2）可发现直线与双曲线的位

置关系与直线的斜率相关，其分界点一刚好与双曲线的渐近线斜率相同。

所以

a

可通过数形结合得到位置关系的判定

1k一且m0时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平

a

移过程中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一

个交点

2一k一时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如

aa

何平移直线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，

右支上。

3一2a2k20k-或k一时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察

aa

可得：

直线不一定与双曲线有公共点（与的符号对应），可能相离，相切，相

交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。

（三）直线与抛物线位置关系：

相交，相切，相离

1、位置关系的判定：

以直线ykxm和抛物线：

y22pxp0为例

联立方程：

y?

kxmkxm$2px，整理后可得：

y22px

（1）当k0时，此时方程为关于x的一次方程，所以有一个实根。

此时直线为

水平线，与抛物线相交

（2）当k0时，则方程为关于x的二次方程，可通过判别式进行判定

①0方程有两个不同实根直线与抛物线相交

②0方程有两个相同实根直线与抛物线相切

30方程没有实根直线与抛物线相离

2、焦点弦问题：

设抛物线方程：

y22px,

于AXi,yi,BX2,y2

1、直线与圆锥曲线问题的特点:

早晚利用条件消掉）

（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角,

（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设Ax,,%,Bx2,y2，至于A,B坐标

是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂

（3）通过联立方程消元，可得到关于x（或y）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出知％2,%,丫2（所谓“设而不求”）

（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。

则可简化运算的过程

这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点

AXi,yi,BX2,y2为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式

（xiX2,xix2$y2,y”2，坚持数形结合，坚持整体代入。

直至解决解析几何问

题“

2、韦达定理：

是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何

中得到广泛使用的原因主要有两个：

一是联立方程消元后的二次方程通常含有

参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后

面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。

进而在思路上就想利用韦达定理，绕幵繁杂的求根结果，通过整体代入的方式

得到答案。

所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并

不是每一道解析题必备的良方。

如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应

对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。

3、直线方程的形式：

直线的方程可设为两种形式：

（1）斜截式：

ykxm，此直线不能表示竖直线。

联立方程如果消去y则此形

式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件

（2）xmyb，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。

经常

在联立方程后消去x时使用，多用于抛物线y22px（消元后的二次方程形式简

单）。

此直线不能直接体现斜率，当m0时，斜率k-

m

4、弦长公式：

（已知直线上的两点距离）设直线l:

ykxm，l上两点

Ax1,y1,Bx2,y2两点，则该两点满足椭圆方程，有:

之间的联系:

于直线AB的斜率与AB中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。

同时由①可得在涉及A,B坐标的平方差问题中也可使用点差法

二、典型例题

2

例1:

不论k为何值，直线ykx1与椭圆冬

7

2

£1有公共点，则实数m的取值

m

0,7

范围是（

题，解出m即可

思路二：

从所给含参直线ykx1入手可知直线过定点0,1，所以若过定点的直

0,1后

线均与椭圆有公共点，贝y该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入

即厶1m1，因为是椭圆，所以m7,故m的取值范围是

m

1,7U7,

答案：

C

小炼有话说:

（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定

直线与椭圆位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。

在思路二中，从含参直线能发现定点是关键

（2）本题还要注意细节，椭圆方程中x2,y2的系数不同，所以m7

22

若过点F的直线与双曲线的右支有

例2:

已知双曲线—y1的右焦点为F

124

且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）

有一个交点，则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即

k仝辽k乜

333

答案：

C

小炼有话说：

本题是利用“基础知识”的结论直接得到的答案，代数的推理如

下：

22

由-

y_

1可知F

4,0，

设直线1:

ykx4，联立方程可得：

12

4

2x

3y2

122

x

3k2x

2

412，

整理后可得：

y

kx

4

当1

3k2

0k

乜时,

8x28

0x-，即位于双曲线右支，符合题意

3

2

当1

3k2

0时，

2

24k2

2

413k

222

•48k21248k210

直线与双曲线必有两个交点，设为X1,y1,X2,y2

因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点

2

x1x20，即

48k12

2

13k2

综上所述：

k—

33

1

例3:

已知抛物线C的方程为x2丄y,过点A0,1和点Bt,3的直线与抛物线C

2

没有公共点，则实数t的取值范围是（）

A.,1U1,B.—U—

11JJ

22

C.,2、、2U2,2,D.,.2U、2,

思路：

由A,B两点可确定直线AB的方程（含t），再通过与抛物线方程联立，利用0即可得到关于t的不等式，从而解得t的范围

解：

若t0,则直线AB:

x0与抛物线有公共点，不符题意

44

若t0，则kAB-AB:

y-x1，与椭圆联立方程：

2tx24xt0Q直线与抛物线无公共点

168t20t2或tx2

答案：

D

2

例4:

过双曲线x2L1的右焦点F作直线I交双曲线于A,B两点，若实数使

2

得AB|的直线恰有3条，则

思路：

由双曲线方程可知F.3,0，当I斜率不存在时，可知AB为通径，计算可得：

AB4，当I斜率存在时，设直线l:

ykx43，与椭圆方程联立，利

k22―4或k224。

若2―40或-—40，即2时，可得k0，仅

4444

有一解，不符题意。

若2—40且2—40，则每个方程只能无解或两解。

所

44

意，所以4

2

解：

由双曲线X2-1可得a1,b'、2,c,3F,3,0,

2

若直线I斜率存在，不妨设为k

则设I:

ykx.3，Ax-!

y!

Bx2,y2

得：

可得：

k224或k224①

44

当2—40时，即2，则方程①的解为k0，只有一解，不符题意

4

同理，当2__40，即2，则方程①的解为k0，只有一解，不符题意

4

当2—40且-—40时，则每个方程的解为0个或两个，总和无法达到3个,

44

不符题意

所以若AB的直线恰有3条，只能4，方程①解得：

k—

2

满足条件的直线AB的方程为：

x3，y—x-.3，y-x-.3

22

答案：

4

22

例5:

已知椭圆—壬1

43

由中点问题想到点差法，则有

3x,2

3x|

4y：

i2

4y；i2

3Xi2x|4yi2y|o，变形可

得:

3xx2x

X2

4yi

y2yi

y2

o

①由对称关系和对称轴方程可得，

直

线AB的

斜

率

k

iyi

y2

所以方程①转化为：

4x

X2

6xo

8yo\

o

yo

3xo

，由对称性可知

AB中点xo,yo在对称轴上，所以

C.上m竺

i3i3

以有3x04y012，代入可得：

3

m243m2i2，解得：

二m/

i3i3

答案：

D

2

例6：

过点M2,0的直线m与椭圆］y2i交于p,P2两点，线段pp2的中点为

P，设直线m的斜率为k1k1

o，直线OP的斜率为k2，则kik2的值为（）

A.2

B.

C.

D.

2

思路一：

已知

m与椭圆交于

R,F2两个基本点，从而设PiXi,yi,F2X2,y2，可知

XiX2yi

业，即k2

yiy2

xix2

，从结构上可联想到韦达定理，设

所以k,k2

答案：

D

小炼有话说

:

两类问题适用于点差法，都是围绕着点差后式子出现平方差的特点。

（1）涉及弦中点的问题，此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐

标与直线斜率的联系

（2）涉及到运用两点对应坐标平方差的条件，也可使用点差法

例7:

已知点A1,2在抛物线C:

y24x上,过点A作两条直线分别交抛物线于点

D,E，直线AD,AE的斜率分别为kAD,kAE，若直线DE过点P1,2，贝UkADkAE

思路：

设DXi,yi,EX2,y2,进而所求kADkAE凶上竺4，所以可从

XjX2xx21

可化简kADkAE2

解：

设Dx1,y1,Ex2,y2

代入①可得:

答案：

C

例8:

已知抛物线C:

y2

4x的焦点为F,

过点F的直线I交抛物线于M,N两点,

且MF2NF，则直线

I的斜率为（

B.

2.2

C.

D.

思路一：

从点的坐标出发，因为M,F,N

三点共线，从而MF

2NF可转化为

uuurLULT,,「，八

MF2NF，考虑将向量坐标化，

F1,0，设M%,%

Nx2,y2，有

UULTUJU

MF1冷y1,NF1x?

y?

，所以％2y?

，设直线

I:

xmy1，联立抛物

线方程消元后可得：

y24my40,利用韦达定理可得:

y1y24m，再结合

yy4

」，消去心即可得m辽，直线l:

x刍

44

可考虑M,N向准线引垂线，垂足分别为P,Q，便可得到直角梯形PMNQ，由抛

物线定义可知:

PMF。

不妨设

NTMP于

TM||PM

PT

用勾股定理可得:

MP

MF,NQ

NF，将所求斜率转化为直线的倾斜角，即为

M在第一象限。

考虑将角放入直角三角形,

从而可过

PM

TN

则tanNMTTN，因|TM|

为|MF

2NF|而

QN

MN

MF

MT

NF

NF，且MN

即k2.2，当M在第四象限时，同理，可得k

综上所述：

k2「2

答案：

B

2

例9:

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆—

2

设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线

BF2平行，AF2与BFi交于点P，

线AF!

的斜率是（

，从而

2.2

MFNF

tanNMT禺|TM|

A..3

B.

1的左、右焦点分别为

AF1

bf2

—，__

3

\幷°

Fl,F2，

C.

_2

2

D.

思路：

先设出直线AF1:

xmy1,BF2:

xmy

只需一个等量条件即可求出m，

进而求出斜率。

考虑与椭圆联立方程，分别解出

A,B的纵坐标，然后利用弦长公

AFi,BF2

AFi

2m21mm2

m22

1

-,BF2

2m21m.m21

―m^—，可将已知等式转化为

关于m的方程，从而解出m1,所以斜率为—1

m

解：

由椭圆方程可得：

Fi1,0,F21,0

联立AF1与椭圆方程可得:

2o2.

x2y1

xmy1

my122y21，整理可得:

同理可得：

^2m21mjm21

BF22

m22

2mm212、一2

即2，解得：

m1

m23

直线AF1的斜率k11

m

答案：

D小炼有话说：

（1）在运用弦长公式计算AF1,BF2时，抓住焦点的纵坐标为0的

特点，使用纵坐标计算线段长度更为简便，因此在直线的选择上，本题采用

xmyb的形式以便于消去x得到关于y的方程

（2）直线方程xmyb，当m0时，可知斜率k与m的关系为：

k丄

m

例10:

过椭圆

y2

1的右焦点F

作两条相互垂直的直线分别交椭圆于

4

3

A,B,C,D四点，

则-

1

丄的值为（

）

AB

cd|

A.-

B.

1

C.

1

D.

8

6

7

12

思路：

首先先考虑特殊情况，即|AB斜率不存在。

则IAB为通径，|AB3；CD焦点弦，所以考虑拆成两个焦半径的和，如设Ax1,y1,Bx2,y2,则

AB2aex1x2,从而想到联立直线与椭圆方程并使用韦达定理整体代入，同理CD也为焦半径。

设AB的斜率为k，则CD的斜率为丄，所以AB,CD均

k

11

可用k进行表示，再求出—二的值即可

AB|CD|

解：

若AB,CD分别与坐标轴平行，不妨设ABx轴，

2b

a2,b3,c1

联立方程可得:

答案：

D

小炼有话说：

（1）本题的亮点在于处理CD，因为发现CD与AB的直线方程结

构基本相同（只有斜率不同），并且用的是相同的步骤（联立方程，消元，韦达定理，代入焦半径公式），所以在解决|CD的问题时就可参照|AB的结果，进行对应字母的替换，即可得到答案。

所以在处理两条直线与同一曲线的问题时，可观察两直线处理过程的异同，进而简化运算步骤

（2）本题是选择题，通过题意可发现尽管过焦点相互垂直的直线有无数多对，

但从选项中暗示结果是个常数，所以就可以利用特殊情况（通径与长轴长）求出结果，从而选择正确的选项