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集合与关系

第三章集合与关系

3.1第2题

（2）（3）（5）,

第3题

（2）（4）,（广义并，广义交）

第4题

（1）（4）（5）,

第5题

（1）

（2）（3）,

第8题

（2）（4），

3.2第11题，第12题

3.3第19题,第20题，第23题，

第26题，第27题，

第31题

（2）（5）

3.4第33题，第37题,

3.5第47题，第49题

（2）

3.6第53题，第54题，第57题

3-1

2.设有集合A={x|x是小于等于6的质数}B={x|4≤x≤12，x是偶整数}

C={x|x=1,4,5,7,8},并设全集为A∪B∪C。

求下列集合表达式的结果。

解:

根据题目所给的集合,先求得集合

A={2,3,5},B={4,6,8,10,12},C={1,4,5,7,8}

（2）（B∩C）–（A∪B）

=（{4,6,8,10,12}∩{1,4,5,7,8}）–（{2,3,5}∪{4,6,8,10,12}）

={4,8}-{2,3,4,5,6,8,10,12}

=φ

（3）（A⊕B）–（A⊕C）

=（{2,3,5}⊕{4,6,8,10,12}）–（{2,3,5}⊕{1,4,5,7,8}）

={2，3，4，5，6，8，10，12}-{1，2，3，4，7，8}

={5，6，10，12}

（5）A∪～（C∩B）

={2,3,5}∪～（{1,4,5,7,8}∩{4,6,8,10,12}）

={2,3,5}∪～{4，8}

={1，2，3，5，6，7，10，12}

3.设A={{1,2}，{1}，{1，0}},B={{1,3}，{2,3}，{1，0}}，计算下列并集和交集。

（2）∩∪A

（4）∩∪B

解：

（2）

∩∪A

=∩{0，1，2}

=φ

（4）

∩∪B

=∩{}

=φ

4.求下列集合的幂集，并用下标子集表示。

（1）φ

（4）2φ

（5）{x,y,z}

解：

（1）设A=φ，A的幂集为{φ}，ρ（A）的下标子集表示为{A0}。

（4）设A=2φ，A是空集的幂集{φ}，A的幂集ρ（A）为{φ，{φ}}，

ρ（A）的下标子集表示为{A0，A1}。

（5）设A={x,y,z}，A的幂集ρ（A）为{φ,{x},{y},{z},{x,y},{x,z},{y,z},{x,y,z}}，

ρ（A）的下标子集表示为{A0,A4,A2,A1,A6,A5,A3,A7}。

5.设集合A有5个元素，根据子集的下标，写出子集的列举表示。

（1）A12

（2）A23

（3）A0

解：

设A={a,b,c,d,e}，则

A12=A01100={b,c}

A23=A10111={a,c,d,e}

A0=A00000=φ

8.设A,B,C都是集合，证明下列命题。

（2）如果对一切集合A都有A∪B=A,那么必有B=φ

（3）如果A⊆B那么ρ（A）⊆Aρ（B）

（4）ρ（A）∩ρ（B）=ρ（A∩B）

证明：

（2）反证法：

∵已知B⊆A∪B，A∪B=A∴B⊆A对一切集合A成立，假定B不等于φ，

那么必有B的非空真子集C,C⊂B⊆A,由于C是集合，满足

C∪B=C（替换已知条件中的A）,由定理六可得B⊆C,此与C⊂B矛盾。

由反证法可得B=φ。

直接证法：

构造式子（A∪B）∩（～A∪B）由已知A∪B=A可得：

=A∩～A

=φ

而（A∪B）∩（～A∪B）=（A∩～A）∪B,由已知条件得

=B

所以：

（A∪B）∩（～A∪B）=（A∩～A）∪B=B=φ

（3）任取α∈ρ（A），得α⊆A，

由于A⊆B，则α⊆A⊆B，由包含关系的传递性知α是B的子集，可得α∈ρ（B），

故ρ（A）⊆ρ（B）。

（4）一方面，由（3）的结果可得：

如果A∩B⊆A和A∩B⊆B

那么有ρ（A∩B）⊆ρ（A）和ρ（A∩B）⊆ρ（B）

（由A⊆B,C⊆D可得A∩C⊆B∩D）

于是得ρ（A∩B）⊆ρ（A）∩ρ（B）

另一方面，任取α∈ρ（A）∩ρ（B）,得α∈ρ（A）且α∈ρ（B），

即α⊆A且α⊆B,于是得α⊆A∩B，α∈ρ（A∩B），故得

ρ（A）∩ρ（B）⊆ρ（A∩B）

综合此两方面

∴ρ（A）∩ρ（B）=ρ（A∩B）

3-2

11．200名学生中有120人选网络课程，130名选人工智能课程，110人选多媒体制作课程。

已知同时选网络课程和人工智能课程的有80人，同时选媒体制作课程与网络课的有90人，同时选人工智能和多媒体制作的人有70人，同时选三门课的学生有60人。

是否能算出一门课都没有选的人数？

解:

根据包含排斥原理,

设选网络课程的同学组成A集合，|A|=120

设选人工智能课程的同学组成B集合，|B|=130

设选多媒体制作课程的同学组成C集合，|C|=110

设没选任何课程的同学组成D集合，|D|=y

|A∩B|=80

|C∩B|=70

|A∩C|=90

|A∩B∩C|=60

如果200人中有y个人没选课

200=120+130+110-80-70-90+60+y

y=20

12．证明：

任意n个连续的整数中，必存在一个整数能被n整除。

证明：

反证法：

设a1,a2,…,an是任意n个连续的整数，每个数被n整除的余数只能是

0，1，2，…，n-1中之一。

如果这n个数中不存在任何数被n整除，那么余数的选择

范围就在1，2，…，n-1之中。

根据鸽巢原理则必有两个数被n除时余数相同，不妨设

为ai,aj,1≤ian,

此与aj≤an矛盾，

所以必存在一个整数能被n整除。

3-3

19.设A={0,1},求A×A,A3。

A×A={<0,0>，<0,1>，<1,0>，<1,1>},

A3={<0,0,0>，<0,0,1>，<0,1,0>，<0,1,1>，<1,0,0>，<1,0,1>，<1,1,0>，

<1,1,1>}

20.设有A={0，1，2}，构造一个所有两位三进制码的集合。

解：

根据

A×A={<0,0>，<0,1>，<0,2>，<1,0>，<1,1>，<1，2>，<2,0>，<2,1><2,2>}

构造所有两位三进制码的集合为{00，01，02，10,11,12,20,21,22}

23.设集合A={0,1,…，9},A上的二元关系R={|x,y∈A,x=y+2n,n∈I}

写出关系R的关系集合，关系矩阵，画出R的关系图

关系矩阵MR=

关系图GR

24.设A={a，b}，R={|x，y∈ρ（A），x⊆y}写出关系R的关系集合，关系矩阵，画出R的关系图。

25.设A={1，2，…，26}，B={a，h，j，p，t}，R={|x∈A，y∈B，x是y在字母表中的次序}

写出关系R的关系集合，关系矩阵，画出R的关系图。

求出dom（R），ran（R），fld（R）。

解：

R={<1,a>,<8,h>，<10,6>，<16,p,>，<20,t>}

dom（R）={1,8,10,16,20}，ran（R）=B，fld（R）={1,8,10,16,20,a,h,j,p,t}。

矩阵是26行5列阵

图是从A到B的对射图。

略

26.集合A={0,1,…，6},A上的二元关系R={|x,y∈A,x是y的质因子}

写出关系R的关系集合，关系矩阵，画出R的关系图。

解:

根据R的入集条件，写出关系R如下：

R={<2,2>,<2,4>，<2,6>，<3,3,>，<3,6>，<5,5>}

27.对习题23，24，25，26所述的关系R讨论其关系性质。

解：

23题是等价关系，R具有自反性，对称性，传递性。

24题诗篇序关系，R具有自反性，反对称性，传递性。

25题的R关系是A到B的关系，且A与B不相等，所以不能讨论R的

关系性质。

26题从关系集合可以看出，R不是自反的，不是反自反的，不是对称的，是反

对称的，是传递的，不是反传递的。

31.设A是给定的集合，R是A上的二元关系，证明以下命题。

（2）如果R既是对称的又是反对称的，那么R是恒等关系IA的子集。

（5）如果R满足对传递性，那么

是传递的。

证明：

（2）已知R既是对称的又是反对称的，那么

由对称性知对任取∈R必有∈R,由反对称性知a=b,

即任取∈R必得a=b,所以R⊆IA。

（5）已知R具有传递性，即对任意取的∈R，∈R,有

∈R。

根据逆关系的定义，可以得到

对任意取的∈R-1，∈R-1,有∈R，∈R,,

由R是传递的可得任取∈R,于是得到∈R-1

可见R-1具有传递性。

3-4

33.设A={1,2,3},B={a,b,c,d}，C={4,5,6},对下列关系，求复合关系R◦S的关系集合与关系矩阵。

（1）R={<1,b>,<2,d>,<3,c>,<2,b>};S={,,}

（2）R={<1,a>,<2,d>,<3,c>};S={,,,}

（3）R={<1,c>,<2,b>,<3,c>,<2,d>,<1,a>};S={,,,}

解：

（1）R◦S={<1,5>,<2,6>,<2,5>}

（2）R◦S={<1,4>,<2,4>,<3,6>}

（3）R◦S={<1,6>,<2,6>,<3,6>,<2,5>,<1,4>}

37.设A是给定的集合，R，S，T是A上的二元关系，举出反例说明以下事实。

（1）如果R◦S⊆IA,那么，未必有S=R-1。

（2）如果R,S都是对称的，那么R◦S未必是对称的。

（3）如果R,S都是反对称的，那么R◦S未必是反对称的。

（4）如果R,S都是传递的，那么R◦S未必是传递的。

（5）如果R◦S=R那么S未必是恒等关系。

（6）如果R◦R=R，那么R未必是自反的。

解：

设A={a,b,c}

（1）R={};S={},R◦S={}

R◦S⊆IA但S≠R-1

（2）R={};S={},R,S都对称，

R◦S={},R◦S不是对称的。

（3）R={};S={,}R,S都反对称，

R◦S={,,},R◦S不是反对称的。

（4）R={};S={,},R,S都传递，

R◦S={,<.b,a>,}R◦S不传递

（5）R={};S={},R◦S=R,但S不是恒等关系。

（6）R={}，R◦R=R,但S不是自反的。

3-5

47.举出反例说明下列事实。

（1）如果R,S是集合A上的等价关系，那么R◦S未必是等价关系。

（2）如果R，S是集合A上的等价关系，那么R∪S未必是等价关系。

（3）如果R,S是集合A上的相容关系，那么R◦S未必是相容关系。

（4）如果R，S是集合A上的相容关系，那么R-S未必是相容关系。

解:

设集合A={1,2,3}

（1）R={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>，}；

S={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<2,3>，<3,2>}

R◦S={<1,1>，<2,2>，<3,3>,<1,3>}，不对称，不是等价关系。

（2）R={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>}；

S={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<2,3>，<3,2>}

R∪S={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>，<2,3>，<3,2>}

不传递，不是等价关系。

（3）R={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>}；

S={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<2,3>，<3,2>}

R◦S={<1,1>，<2,2>，<3,3>,<1,3>}不对称，不是相容关系。

（4）R={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>}；

S={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<2,3>，<3,2>}

R-S={<1,2>，<2,1>}不自反，不是相容关系。

49.设有集合A={1,2,3,4},对以下完全覆盖给出其对应的相容关系图。

（2）B={{1,2,4},{3,2,4}}

解：

根据三结点的完全多边形图可以划出对应相容关系的简图：

3-6

53.设有一个偏序集合的HASS图如下图所示,对给出的子集填写表格。

集合

最大元

最小元

极大元

极小元

上界

上确界

下界

下确界

{e,d}

无

无

e,d

e,d

h,f

f

b

b

{d,f,h}

h

d

h

d

h

h

b,c,d

d

{e,f,g}

无

无

f,g

e

h

h

b

b

{a,b,c}

无

无

a,b,c

a,b,c

f,h

f

无

无

54.根据下列偏序关系图，画出其HASS图。

解：

根据（a）,（b）,（c）,（d）图中的盖住关系。

分别划出对应的HASSE图如下：

57.设A={0,1,···8}，D={[x]a|x,y∈A，y∈[x]a，x≡y（moda），a是9的整因子}∪{φ}，其中[x]a是模a同余的等价类。

画出的HASS图。

解：

先把关系D中的元素搞清楚，再根据包含关系划出HASSE图。

9的因子有1，3，9，D集合中有三个等价类和一个空集。

D={[x]1，[x]3，[x]9,φ}，其中φ是空集。

[x]1=A

[x]3={3，6}

[x]9={0}

根据包含关系，科的hasse图如下：

58.证明：

良序关系一定是全序关系。

证：

设为任意给定的良序集，任取x,y∈A，x≠y，{x,y}是A的子集。

由良序集的定义，知必有x≤y或y≤x之一成立，故良序关系一定是全序关系。

59.证明：

设有良序集，对任意的S⊆A,S是非空子集，则仍是良序集合。

证：

取S的任意子集C，C⊆S，C⊆S⊆A。

由A的任一子集总是存在最小元素，所以C作为A和S的任意子集也存在最小元，根据良序集的定义知仍是良序集合。