中继站的协调定稿.docx
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中继站的协调定稿.docx
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中继站的协调定稿
2011空军工程大学数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):
A
所属学院(请填写完整的全名):
工程学院
参赛队员(打印并签名):
1.王加林
2.张力
3.吴锐佳
日期:
2011年8月18日
评阅编号(由训练部教务处评阅前进行编号):
2011空军工程大学数学建模竞赛
编号专用页
评阅编号(由训练部教务处评阅前进行编号):
评阅记录(评阅时使用):
评阅
人
评
分
备
注
中继站的协调
摘要
本文利用中继器可以用地理隔离与频段隔离的方法来阻止中继器间的信号干扰,并使用CTCSS技术扩充中继器的容量。
本文建立了三个模型,分别讨论了在直径为40英里的区域内,使1000个用户同时通信需要使用的中继器的最少个数;使10000个用户同时通信需要使用的中继器的最少个数;以及在山区进行无线电链路建设的方案。
针对问题一,我们假设在平坦地区中继器覆盖区域半径相同,根据某型号中继器的技术参数,利用无线电波传输损耗工程实用公式求得中继器的覆盖半径约为8.7英里。
然后,用正六边形近似圆形,建立蜂巢结构模型,计算出完全覆盖这个区域最少需要37个中继器。
再用频率隔离的方法,通过对37个中继器的频率进行三色填充分配频段,最终可以使1369个用户同时在线工作,满足题设中1000个在线用户的要求。
针对问题二,我们经过认真地分析,对潜在的通信资源进行充分的挖掘,通过改变模型一中蜂窝形状和增加可用频段来扩充小区域的容量,达到满足有10000个同时在线用户需求的目的。
我们对每个区域的中继器分布及其天线的朝向、个数问题给出了详细完备的结果,并利用CTCSS系统,为中继站分配PL值增加服务数量。
最终我们求得,用188个中继器就可以实现使10044个用户同时工作而不会产生干扰。
针对问题三,我们根据地图信息,分析信号在传递过程中的衰减情况:
通过寻找绕射山峰,计算出高峰到次高山峰信号的衰减情况;利用反射原理,计算次高山峰到高峰的信号衰减情况。
分析比较各个中继站信号发射衰减的情况,利用Dijkstra算法找出信号衰减最弱的传播路径,使这条线路上的中继器尽量把山区的绝大部分覆盖。
而未被覆盖到的地方山区边缘,我们可以利用城市的未完全利用的中继站来实现覆盖。
这样,我们就能使用数量最少的、信号最好的中继站来满足山区用户的需求。
关键词:
蜂巢结构模型三色填充模型CTCSS系统Dijkstra算法
一、问题重述
在无线电通信中,我们通常使用中继器放大和还原信号来避免信号在传递过程中的衰减,并且使两个中继器相隔足够远或中继器发送的信号频率足够大来避免干扰。
为了提高频率利用效率,通常使用CTCSS系统使两个相邻的中继器使用相同频率工作。
已知:
在一个半径为40英里的圆形区域,无线电的频率范围是145MHZ到148MHZ,中继器的发射频差为600KHZ,在CTCSS系统中有54条PL专用线路可以使用。
问题一:
设置最少的中继器使1000个用户在这个区域里同时工作;
问题二:
设置最少的中继器使10000个用户在这个区域里同时工作;
问题三:
讨论在视距传播会产生缺陷的山区中建设中继站的情况。
二、模型的假设
1)每个中继站的覆盖半径相同;
2)可以通过调节中继器的功率改变中继器的覆盖半径;
3)用户设备使用越区切换技术,即不考虑相邻中继器辐射重叠区域的信号干扰情况;
4)人口服从泊松分布;
5)所查询到的相关数据真实可靠。
三、符号说明
R:
整个服务区域的半径
SG:
中继台与对讲机的系统增益
r:
每个中继站的服务半径
LM:
无线电传输损耗(db)
F:
通讯工作频率(MHz)
h1:
通讯对象A点天线高度(m)
h2:
通讯对象B点天线高度(m)
d:
A点和B点的通讯距离(km)
Pt:
对讲机发射功率
PA:
对讲机天线增益
RA:
中继台天线增益
CL:
同轴电缆损耗
RR:
中继台接收灵敏度
A、B、C、D、E:
分别是145到148MHz内以600KHz为间距的五个频段
Inf:
表示频段相同时不使用中继器
四、问题分析
1)当两个移动设备相邻较近时,可以直接通信。
2)两个移动设备相隔足够远时,必须使用中继器,但这两个中继器不会相互干扰。
3)当两个移动设备处在两个相邻的中继器覆盖区内,通常使用CTCSS系统使这两个中继器可以使用相同的频率工作,中继器通过PL值来区分发送请求服务信号的移动设备处于哪个中继器的覆盖范围内。
4)当两个中继器相邻,但频率相差大于600KHZ时,也不会产生干扰。
五、模型的建立与求解
5.1模型一
5.1.1模型一的建立
针对问题一,我们先查询某一型号的中继器,根据它的技术参数,算出中继器的覆盖半径,再用正六边形近似替代中继器信号覆盖的圆面积,建立蜂巢样的图形将整个区域覆盖住,然后根据频差隔离和地理隔离,使该区域的任何中继器都不会产生干扰,从而设置最少的中继器使1000个用户同时通信。
由于中继器的覆盖半径是由中继器的高度和发射机功率、馈线衰减天线增益、驻波比、太阳活动等决定的,而中继器的高度又是主要决定因素。
也就是说每个中继器的覆盖半径都是不同的。
我们不妨设这个区域是平原地带,每个中继器的覆盖半径也相同。
采用六边形近似中继器覆盖圆域的合理性:
用最小的小区数就能覆盖整个地理区域,最接近于全向的基站天线和自由空间传播的全向辐射模式。
现在计算中继器的覆盖半径:
1.在网上搜索资料得,无线电波传输损耗工程实用公式:
LM(dB)=88.1+20lgF-20lgh1h2+40lgd
(1)
式中:
F——通讯工作频率(MHz)
h1——通讯对象A点天线高度(m)
h2——通讯对象B点天线高度(m)
d——A点和B点的通讯距离(km)
上述实用公式仅限于VHF145MHz和UHF400~470MHz频段,并且地形起伏高度在15m左右,通讯距离在65km范围内。
2.系统无线设备通讯距离的计算
(1)假设已知条件
a.系统工作频率:
TX145MHzRX148MHz
b.中继台参数和架设数据:
发射功率:
20W(43dBm)
接收灵敏度:
-116dBm
同轴电缆损耗:
2dB(1/2″馈管40m长、5dB/100m)
全向天线增益:
9.8dbi
天线架设高度:
30m
c.对讲机参数
发射功率:
4W(36dBm)
接收灵敏度:
-116dBm
对讲机天线增益:
0dBi
对讲机高度:
1.5m
(2)中继台与对讲机的系统增益
在本题中,所谓系统增益就是对讲机发射信号给中继台接收机允许衰减的最大值,若不考虑电缆损耗和天线增益的条件下:
系统增益(dB)=发射功率(dBm)-接收灵敏度(dBm)
(2)
若考虑电缆损耗、天线增益的条件下,本例系统增益为:
SG(dB)=Pt+PA-(RA+CL+RR)=36+0-(9.8-2-116)=144.2(dB)(3)
式中:
Pt——对讲机发射功率
PA——对讲机天线增益
RA——中继台天线增益
CL——同轴电缆损耗
RR——中继台接收灵敏度
3.如果系统增益等于电波传输的损耗,则说明通讯距离的电波能量已达极限,若系统增益小于传输损耗则表明通讯可能建立不起来。
将系统增益代入电波传输损耗工程公式:
144.2=88.1+201g145-201g1.5×30+401gr(4)
解得,r=14.07km(1英里=1.609344千米),约为8.7英里。
得出覆盖半径后,我们现在从覆盖整个区域需要的中继器入手,利用蜂窝网络,提出如下三种覆盖方案。
图1.19个正六边形区域覆盖圆
图2.27个正六边形区域覆盖圆
图3.37个正六边形区域覆盖圆
在图1.中,共有19个正六边形区域,我们利用内切圆半径为40英里计算出正六边形的边长,从而得出正六边形的边长约为13.3(>8.7)英里,超出中继器的覆盖范围,不满足题意要求。
在图2.中,共有27个正六边形区域,我们利用内切圆半径为40英里计算出正六边形的边长,从而得出正六边形的边长为10(>8.7)英里,超出中继器的覆盖范围,不满足题意要求。
在图3.中,共有37个正六边形区域,我们利用内切圆半径为40英里计算出正六边形的边长,从而得出正六边形的边长为8(<8.7)英里,符合中继器的覆盖范围,满足题意要求。
然后我们讨论在每个中继器覆盖区里最多能为多少用户服务,才能使1000个移动用户同时工作。
由于只有两个中继器覆盖区域有重叠,并且频率相差小于600KHZ时,中继器才会互相干扰;我们制定优化方案,使这两个条件在任意相邻的中继器覆盖区域内不能同时成立,那么整个区域里的中继器就不会产生干扰了。
这个区域的频段为145.0—145.6MHZ、145.6—146.2MHZ、146.2—146.8MHZ、146.8—147.4MHZ、147.4—148.0MHZ五个频段,我们将其分别设为A、B、C、D、E五个频段。
由于两个中继器相邻,但发射频率相差大于600KHZ时,中继器不会产生干扰。
这样我们就只使用A、C、E三个频段,那么中继器相邻也不会产生干扰。
现我们对37个正六边形区域进行填色,如图4.所示。
这样,我们就将问题转化成三色填充模型求解的问题了。
图4.三色填充模型图
这样分布后,就使得区域上的37个中继器都不会产生干扰。
5.1.2模型一的求解
对于模型一的求解,首先要讨论用户之间如何交流。
当两个用户在一个中继器的覆盖范围内时,他们不需要使用中继器。
当两个用户不在同一个中继器的覆盖范围内时,需要通过中继器进行连接,两个用户才能交流。
而中继器只有频率相同时,两个用户才能通信。
我们对中继器进行定义:
中继器与中继器间是通过光纤连接的,可以互相传递任何频率的信号,但只有用户发送的信号与中继器的接收信号相同时,才会开启一个专用通道(没有干扰),让两个用户相互通信。
所以只要一个中继器的覆盖区域内能满足28(1000/37=27.027)个用户向外部通信,我们就可以满足1000个用户同时通信。
通过上图,我们发现37个中继器覆盖区域内有13个A频段,12个C频段,12个E频段。
所以我们只要制定规则让每个中继器覆盖范围内的用户使用覆盖区域外A、C、E的频段不得超过13,12,12个。
每个频段的用户通信情况如下表。
表1.每个频段的用户通信情况表
与A频段的中继器区域通信的最大用户数目
与C频段的中继器区域通信的最大用户数目
与E频段的中继器区域通信的最大用户数目
使用A频段的中继器区域
Inf
12
12
使用C频段的中继器区域
13
Inf
12
使用E频段的中继器区域
13
12
Inf
这样,我们就可以让1000个用户同时工作了。
当每个中继器覆盖区内可以使37个用户同时使用时,事实上可以让1369个用户同时工作。
5.2模型二的建立与求解
针对问题二,我们在模型一的基础上,建立模型通过增加中继站的个数和可用频谱,来扩充系统的容量,使10000个用户能同时工作。
由于区域内用户密度分布满足泊松分布,即越靠近区域中心,用户密度就越大,这就要求我们在中心区域设置更多的中继站,才能满足用户的需求。
当在原来边长为8.7英里的正六边形区域内放置更多的中继器时,由于频率相同,中继器间会产生信号干扰。
这时,我们可以利用CTCSS系统,为每个中继站分配一个PL值,中继器就可以识别出相同频率的信号来源,从而决定是否提供通信服务。
为了充分利用CTCSS系统,我们在模型一的基础上增添足够的中继器,为A,C,E三个频段分别分配54个PL。
在模型一中,蜂窝共分四层,如图5.所示。
图5.蜂窝分层示意图
各层中使用ACE频段的中继器数目如表2.所示。
表2.各层中使用A,C,E频段的中继器数目表
A
C
E
第四层
6
6
6
第三层
6
3
3
第二层
0
3
3
第一层
1
0
0
现我们在原有中继器分布基础上,提出蜂窝裂变方案,见表3.
表3.蜂窝裂变方案表
A
C
E
第四层
6
6×3
6×3
第三层
6×6
3×6
3×6
第二层
0
3×6
3×6
第一层
1×12
0
0
总计
54
54
54
也就是在第四层的C,E频段的中继器覆盖范围的正六边形区域内放置三个中继器,这三个中继器都使用120°天线进行信号的接收和发送,中继器放置如图6.所示。
在第三层以及第二层的18个正六边形区域内分别放置六个中继器,这六个中继器都使用60°天线进行信号的接收和发送中继器放置方案如图7.所示。
图6.在一个中继器覆盖区域设置三个120°天线的中继器
图7.在一个中继器覆盖区域设置六个60°天线的中继器
而第一层的一个正六边形区域的中继器要经过两次扩充,将这个区域分成六个五边形和六个正三角形,五边形边长为的正六边形的一半,即4.35英里,正三角形是边长亦为4.35英里,在这十二个区域内放置12台中继器,中继器的放置方案见图8.这样,裂变之后各区域的边长为4.35英里。
图8.第一层中继器覆盖区域放置示意图
但这样扩充后,原来边长为8.7英里的正六边形区域都存在同频干扰现象,为此我们采用CTCSS系统,为A,C,E三个频段分别分配54个PL值,这样就保证了每个中继器的识别信息都是唯一的,这样中继器间将不存在干扰了。
也就是说本文在模型一的基础上将中继站扩充到162个,每个频段又有54个PL值,这样每个中继器覆盖区域都可以同时为54个用户服务,总共可以为162×54=8748个用户服务。
这还不能为10000个用户服务,还差10000-8748=1252个服务数量。
由于每个中继站都有54个PL值,即可提供54个用户,那么至少还需要1252/54=24个中继器。
接下来讨论这24个中继站点的分布情况。
至此,我们还没完全挖掘出潜在的通信资源,因此我们可以将剩余的两个频段145.6—146.2MHZ与146.8—147.4MHZ利用起来,在某一区域内设置更多的中继器。
我们将第四层的使用A频段的每个中继器区域分成六个四边形和一个正六边形,四边形是边长为4.35英里的正六边形的一半,正六边形的边长也为4.35英里。
我们在这六个四边形区域内放置六个中继器,让这六个中继器使用D频段,而中心处的正六边形区域依然使用A频段,中继器分布方案见图9.
图9.改进后第四层中继器覆盖区域放置示意图
在这个裂变区域中,外面的六个中继器是带有180°天线的中继器,并且使用了D频段的频率工作(也可以使用B频段)。
若再给这六个中继器分别分配54个PL,那么分裂后的七个区域内的用户通信时,中继器间也不会产生干扰。
这样第四层可以增加36个中继站,由于再加24个中继站就满足要求了,所以我们在第四层中使用A频段的6个中继站中任选其中4个,在这4个中级站周围添加6个使用D或B频段的中继站。
而这样做后,我们增添了24个中继器,可以再为24×54=1296个用户提供服务。
通过分裂,我们建立的模型使用了188个中继器,并且充分利用CTCSS系统和频段,就可以为8747+1296=10044个用户服务,而不会产生干扰。
5.3模型三
5.3.1模型三的建立
在视距传播会产生缺陷的山区中,我们首先查询了在山区中进行无线电通信的特点:
山区无线电通信比在平原地区困难,主要原因是山脉、山峰等地形不规则、地表和植被对所需传播的电磁波的反射、散射和吸收,造成了能量的衰减。
因此我们考虑问题时将地形作为首要因素,认为中继站应当建立在山峰上,并找出对信号衰减小的情况来建立中继站,方案如下:
先根据地图信息,在山区的中心处向四周扩散寻找建立基站的山峰,并且要求山峰数目足够多。
第一步:
在区域内海拔最高处建立中继站;
第二步:
分析信号在传递过程中的衰减情况
1)寻找绕射山峰,计算出高峰到次高山峰信号的衰减情况;
2)利用反射原理,计算次高山峰到高峰的信号衰减情况;
第三步:
比较各个中继站信号发射衰减的情况,最后找出信号衰减少的传播路径,并且这条线路上的中继器要把山区的绝大部分覆盖,而未被中继器覆盖的区域要接近城市,这样可以利用城市未被完全利用的中继站对山区边缘进行覆盖。
这样,按照这种方案,我们就使用最少的、信号最好的中继站来满足山区用户的需求。
5.3.2模型三的求解
无线电波在山区传播时,遇到最多为山峰绕射传播,我们按刃形山峰的模式来计算。
我们从网上查得资料,一般情况下刃形绕射分为三种类型:
(1)电波射线不受阻挡,这种情况可以忽略不考虑;
(2)电波射线与障碍物相切,若直射波射线恰好从障碍物顶点通过,接收点场强低于自由空间场强6dB,即有6dB的损耗;
(3)电波射线受刃形障碍物阻挡,在电波射线直射路径上有山峰阻挡,引起绕射损耗。
无线电越过刃形山峰的无线电波场强可以表示为:
(5)
则电波绕射引起的损耗为:
(dB)(6)
式中:
(7)
(8)
而C和S是费涅尔积分,其表达式为
(9)
(10)
上述两式中v为绕射参量,定义为
(11)
式中:
为传播余隙,
和
分别为路径某点到发射点和接受点的距离。
因此我们判断绕射山峰,可以设X座标为地面距离,Y座标为地形海拔高度,连结发射点与另一山峰的顶点,如图所示,由解析几何得:
图10.判断绕射山峰示意图
(12)
则
(13)
式中:
i=0,1,2,……,n
—第i点地球凸起高度
—第i点地图上读取的地形高度
—第i点位置上的障碍高度
如果
>O,表示有山峰阻挡,
=0表示电波射线与山峰相切。
在判断过程中,若得到一个
>O,则要继续判断有否其他山峰
>O,逐点比较,可用地形剖面图上发射点到各个山峰顶构成的仰角来确定,其仰角为:
(14)
逐点比较
.得到最大的
,此仰角对应的山峰为起绕射作用的山峰。
然后我们对电波在传播路径的损耗进行分析:
1.自由空间传播损耗
在研究无线电通信的电波传播中,自由空间传播是最简单的,其计算公式为:
(15)
式中:
D——距离(km)
F——工作频率(MHz)
2.电波传播的绕射损耗
我们找出费涅尔积分的近似公式,对刃形山峰绕射,在计算中使用了下列三个程式:
(16)
如果在路径中遇到多个山峰,山峰之间的距离较远,分别研究每个障碍物的绕射,可近似认为衰减是每个障碍物单独引入的衰减乘积
即
(dB)(17)
其中:
n是路径中障碍物个数,
是第i个障碍物在没有其他障碍物时引入的衰减的值。
最后,可以根据上面得出的山峰和衰减分析,利用Dijkstra算法找出衰减最弱的路径合适的建立中间站,而没有覆盖到的地方山区边缘,我们可以利用城市的未完全利用的中继站来实现覆盖。
六、模型的评价
优点:
1)算法简单,易于实现和推广;
2)具有一定的创新性。
将145到148MHz等分成五个频段,从而转化成三色填图模型,成功解决相邻中继站的干扰问题;
3)具有较强的实践性。
考虑了信号传输衰减和人口分布特点等因素,中继站布局合理,具有较强实践性。
不足:
1)模型一中是利用资料、数据来得到中继器的覆盖半径,有欠科学性和普遍性;
2)模型二中的蜂巢裂变A、C、E频段的扩充可以有些欠妥,最后D频段的加入和划分也有些强硬;
3)模型三中只提供解了决方案,具体结果需要根据当地地形来求解。
七、参考文献
[1]陈光亭,裘哲勇,数学建模,北京:
高等教育出版社,2010年。
[2]王正林,刘明,精通MATLAB7,北京:
电子工业出版社,2006年。
[3]XX百科,中继台,
[4]陈占荣,山区超短波无线电通信链路的设计,
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