欧拉方程的求解.docx
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欧拉方程的求解
欧拉方程的求解
1.引言
在数学研究领域,我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕.但是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢?
他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(LeonhardEuler,1707--1783).
几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字,譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者,例如用表示圆周率、表示自然对数的底、表示函数、表示求和、表示虚数单位
以欧拉命名的数学名词有很多,本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.
在文献[1]中,关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程,然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解,亦即求其形如的解,进而求得欧拉方程的解.
但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上,对欧拉方程进行了简单的分类,并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.
2.几类欧拉方程的求解
定义1形状为
(1)
的方程称为欧拉方程.(其中,,,,为常数)
2.1二阶齐次欧拉方程的求解(求形如的解)
二阶齐次欧拉方程:
.
(2)
(其中,为已知常数)
我们注意到,方程
(2)的左边、和的系数都是幂函数(分别是、和),且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质,我们用幂函数来尝试,看能否选取适当的常数,使得满足方程
(2).
对求一、二阶导数,并带入方程
(2),得
或
消去,有.(3)
定义2以为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程
(2)的特征方程.
由此可见,只要常数满足特征方程(3),则幂函数就是方程
(2)的解.
于是,对于方程
(2)的通解,我们有如下结论:
定理1方程
(2)的通解为
(i),(是方程(3)的相等的实根)
(ii),(是方程(3)的不等的实根)
(iii).(是方程(3)的一对共轭复根)
(其中、为任意常数)
证明(i)若特征方程(3)有两个相等的实根:
,则
是方程
(2)的解,
且设,(为待定函数)也是方程
(2)的解(由于,即,线性无关),将其带入方程
(2),得
约去,并以、、为准合并同类项,得
.
由于是特征方程(3)的二重根,
因此
或
于是,得
或
即,
故.
不妨取,可得方程
(2)的另一个特解
所以,方程
(2)的通解为
.
(其中,为任意常数)
(ii)若特征方程(3)有两个不等的实根:
,则
,是方程
(2)的解.
又不是常数,即,是线性无关的.
所以,方程
(2)的通解为
.
(其中,为任意常数)
(iii)若特征方程(3)有一对共轭复根:
(),则
,是方程
(2)的两个解,
利用欧拉公式,有
,
显然,
和
是方程
(2)的两个线性无关的实函数解.
所以,方程
(2)的通解为
.
(其中,为任意常数)
例1求方程的通解.
解该欧拉方程的特征方程为
,
即,
其根为:
所以原方程的通解为
.
(其中,为任意常数)
例2求方程的通解.
解该欧拉方程的特征方程为
,
即,
其根为:
,,
所以原方程的通解为
.
(其中,为任意常数)
例3求方程的通解.
解该欧拉方程的特征方程为
,
即,
其根为:
所以原方程的通解为
.
(其中,为任意常数)
2.2二阶非齐次欧拉方程的求解(初等积分法)
二阶非齐次欧拉方程:
.(4)
(其中,为已知实常数,为已知实函数)
为了使方程(4)降阶为一阶线性微分方程,不妨设
,,(5)
则方程(4)变为
,
即
(6)
根据韦达定理,由(5)式可知,,是一元二次代数方程
(3)
的两个根.
具体求解方法:
定理2若,为方程
(2)的两个特征根,则方程(4)的通解为
.(7)
证明因为,为方程
(2)的两个特征根,
于是方程(4)等价于方程(6),
令,
代入方程(6)并整理,得
和
解之,得方程(4)的通解为
.
由定理2知,只需要通过两个不定积分(当(7)式中的积分可积时)即可求得方程(4)的通解.为了方便计算,给出如下更直接的结论.
定理3若,为方程
(2)的两个特征根,则
(i)当是方程
(2)的相等的实特征根时,方程(4)的通解为
(ii)当是方程
(2)的互不相等的实特征根时,方程(4)的通解为
(iii)当是方程
(2)的共轭复特征根时,方程(4)的通解为
证明(ii)当是方程
(2)的互不相等的的实特征根时,
将方程
(1)的通解(7)进行分部积分,得
(8)
(iii)当是方程
(2)的共轭复特征根时,,
再由欧拉公式有
将其代入(8)式,整理可得方程(4)的通解为
(i)的证明和(ii)类似.
例1求方程的通解.
解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为,
特征根为,
所以由定理3,原方程的通解为
(其中,为任意常数)
例2求方程的通解.
解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为
,
特征根为,,
所以由定理3,原方程的通解为
(其中,为任意常数)
例3求方程的通解.
解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为
,
特征根为,
所以由定理3,原方程的通解为
(其中,为任意常数)
在定理3中,若令,则得到二阶齐次欧拉方程
(2)的通解.
推论方程
(2)的通解为
(i),(是方程
(2)的相等的实特征根)
(ii),(是方程
(2)的不等的实特征根)
(iii).(是方程
(2)的共轭复特征根)
(其中,为任意常数)
2.3三阶非齐次欧拉方程的求解(常数变易法)
三阶非齐次欧拉方程:
.(9)
(其中,,为常数)
(9)对应的齐次方程为.(10)
特征方程为.(11)
定理4设是方程(11)的根,是方程
的根,则(9)的通解为
.(12)
证明根据条件(为任意常数)是方程(10)的解.
设是方程(9)的解(其中是待定的未知数),
将其代入方程(9),整理得
(13)
因为是(11)的根,则
于是(13)式化为
(14)
这是以为未知函数的二阶欧拉方程.
设为(14)对应的齐次方程的特征方程,(15)
的根,则
.
从而.
故方程
(1)的通解为
.
定理5设是方程(11)的根,是方程(15)的根,则
(i)当是方程(11)的单实根,是方程(15)的单实根,则(9)的通解为(ii)当是方程(11)的单实根,是方程(15)的单虚根,则(9)的通解为(其中,)
(iii)当是方程(11)的单实根,是方程(15)的重实根,则(9)的通解为
(iv)当是方程(11)的三重实根,方程(15)变为,有,则(9)的通解为
.
证明(i)因为是方程(15)的单实根,得(14)的通解为
则(9)的通解为
(ii)因为是方程(14)的单虚根,此时方程(15)有一对共轭虚根
得(14)的通解为则(9)的通解为
(其中,)
(iii)因为是方程(15)的重实根,得(9)的通解为
.
(iv)当是方程(10)的三重实根(),方程(15)变为,有,将,代入(12)式得
对上式分部积分得(9)的通解为
.
例1求三阶欧拉方程的通解.
解原方程对应的齐次方程为
其特征方程为
,
解得其特征根为,,,
取,
将,,,代入方程(15),得
解得
或,
利用定理5(i)的通解公式有
.
(其中,,为任意常数)
例2求三阶欧拉方程的通解.
解原方程对应的齐次方程为
其特征方程为
,
从而解得特征单实根为
,
将,,代入方程(15),得到
,
解得.
令,则,,
利用定理5(ii)的通解公式有
(其中,,为任意常数)
2.4阶齐次欧拉方程的求解(求形如的解)
令是方程
(1)的解,将其求导(需要求出、、)代入方程
(1),并消去,得
.(16)
定义3以为未知数的一元次方程(16)称为阶齐次欧拉方程
(1)的特征方程.
由此可见,如果选取是特征方程(16)的根,那么幂函数就是方程
(1)的解.于是,对于方程
(1)的通解,我们有如下结论:
定理6方程
(1)的通解为
(其中,,为任意常数),且通解中的每一项都有特征方程(16)的一个根所对应,其对应情况如下表:
方程(16)的根
方程
(1)通解中的对应项
单实根:
给出一项:
一对单共轭复根:
给出两项:
重实根:
给出项:
一对重共轭复根:
给出项:
例1求方程的通解.
解该欧拉方程的特征方程为
整理,得
,
其根为
,,
所以原方程的通解为
.
(其中,,,为任意常数)
例2求方程的通解.
解该欧拉方程的特征方程为,
整理,得
,
其根为
,(即一对二重共轭复根),
所以原方程的通解为.
(其中,,,为任意常数)
3.结束语
从前面的讨论过程来看,和教材中的变量变换法相比,本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是,本文中的定理和例题都是在范围内对齐次欧拉方程求解的,如果要在范围内对其求解,则文中的所有都将变为,所得的结果和范围内的结果相似.
4.致谢
经过这好几个月忙碌的学习跟工作,本次毕业论文的写作已经接近尾声了,但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.
首先,自己要有很好的专业知识的储备,这也是写作的基础.
其次,自己要有严谨的思维逻辑.
再次,自己要善于思考,遇到不懂得问题就要勤于思考,查资料,问老师.
最后,自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程,在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程,但我们不能因此就放弃,而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.
在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多,但在我做毕业论文阶段,他都给予了我悉心的指导,细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持,此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外,他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习,并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导,为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康,工作顺利!
5、参考文献
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高等教育出版社,2006:
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[9]卓越科学家
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