小升初几何题.docx
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小升初几何题
小升初奥数几何专题
【例1】
【分析与解】
(1)用标数法得0+1+2+3+…+9=45,或者排列组合法
(2)因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条,即9+1=10个基本角.总共有角:
10+9+…+2+1=55(个).
(3)①要数多少条线段:
先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点,各分成3条基本线段,再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点,各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是:
(3+2+1)×5+(4+3+2+1)×3=30+30=60(条).②要数有多少个三角形,先看在△AGH中,在GH上有3个分点,分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10(个).在△AMN与△ABC中,三角形有同样的个数,所以在△ABC中三角形个数总共:
(4+3+2+1)×3=10×3=30(个).
(4)AB边上的线段有:
5+4+3+2+1=15.BC边上的线段有:
3+2+1=6.长方形:
15×6=90(个),
含★的长方形有2×2×2×4=32(个)(上下左右的线段数相乘)
(5)长宽高三个方向线段数相乘,分别为=1680(个)
含★的长方体的个数2×6×2×3×1×3=216(个)(上下左右前后的线段数相乘)
(6)几何中的线、面、体计数问题常用组合知识,任意两点可以组成一线段,任意两线段可以组成一矩形,任意三线段可组成一个立方体。
【评析】在几何计数当中也用到了很多排列组合的方法.
【拓展】
【分析与解】若周角中含有n个基本角,那么它上面角的总数是n(n-1)+1.所以为111.
【例2】
【分析与解】长方形个数:
(个)
为叙述方便,我们规定最小正方形的边长为1个长度单位,又称为基本线段,图中共有五类正方形.
①以一条基本线段为边的正方形个数共有:
6×5=30(个).
②以二条基本线段为边的正方形个数共有:
5×4=20(个).
③以三条基本线段为边的正方形个数共有:
4×3=12(个).
④以四条基本线段为边的正方形个数共有:
3×2=6(个).
⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有:
2×1=2(个).
所以,正方形总数为:
6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70(个).
【评析】若一长方形的长被分成m等份,宽被分成n等份,(长和宽上的每一份是相等的)那么正方形的总数为(n<m):
mn+(m-1)(n-1)+…+(m-2)(n-2)+…+(m-n+1)·1
【例3】
【分析与解】分析图中有若干个大小不同、形状各异但有规律的三角形.因此适合分类来数.首先要找出三角形的不同的种类?
每种相同的三角形各有多少个?
根据图中三角形的形状和大小分为六类:
Ⅰ.与△ABE相同的三角形共有5个;
Ⅱ.与△ABP相同的三角形共有10个;
Ⅲ.与△ABF相同的三角形共有5个;
Ⅳ.与△AFP相同的三角形共有5个;
Ⅴ.与△ACD相同的三角形共有5个;
Ⅵ.与△AGD相同的三角形共有5个;
所以图中共有三角形5+10+5+5+5+5=35(个)。
【例4】
【分析与解】利用图形的对称性,可得出以下剪拼方法:
【例5】
【分析与解】从A出发的第一步共有6条路线,每条线有9种方案,共54种方法。
【例6】
【分析与解】应用标数法,可得A到B有10种,B到C有3种,所以A经过B到C有3×10=30种。
B处不能走,则B处标0,由标数法可得26
【例7】
【分析与解】教师要帮助学生理解三天路线有什么不同?
每天的路线有无限制条件?
若有,是什么?
仍然用对角线法求解.第一天(无限制条件)共有16条;第二天(必须经过公园)共有8条;第三天(必须不经过公园)共有8条.
【例8】
【分析与解】
(1)设登上n级楼梯共有an种不同走法,n=1,2,….把上到第n级楼梯的情形分为两种走法.一类是先上到第n-1级楼梯,然后再上一级,共有an-1种走法.另一类是先上到第n-2级楼梯,然后再上两级,共有an-2种走法.由加法原理,上到第n级楼梯的走法an满足下列递推关系式:
an=an-1+an-2。
又∵a1=1,a2=2,故上楼梯方法数an依次为1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….
∴上到第12级楼梯共有233种不同走法。
(2)如果一次可以走1级、2级、3级则依次为1,2,4,7,13,24,……,即前三数的为等于下一个数。
(3)如果有一级坏,就标0处理。
【教师点评】上面的数列叫兔子数列,也叫斐波那契数列.
【例9】
【分析与解】为了便于理解,可以将本题转化为:
上16级楼梯,每次上2级或3级,共有多少种不同方法?
如下图所示,后一级的走法等于前2,前3级的走法数之和,最后得37.
【补充】
【分析与解】图中只有E、D是奇点,从E或D出发可以不重复地走过每条棱,而从B点出发不可能不重复地过每一条棱再到D,至少要多走一条棱,所以从E点出发的蚂蚁获胜.图中只有A与C两个奇点,从A点出发的人可以不重复地走遍每一条路.从B点出发的人至少有一条路要重复走.又两人速度相同,所以从E点出发的人快.
【补充】【考点分析】一笔画问题,三年级★★★★,四年级★★★,五年级★★,六年级★★
【分析与解】
(方法2)胡先友老师推荐方法:
8个奇点,要8÷2=4笔才能画成。
其中3笔最少画3条4分米的线段,所以它最多爬过的距离为(4+5+6)×4-3×4=48分米。
【评析】一笔画问题三大结论的应用。
【补充】
【分析】一层:
周长=(20+12)×2
二层:
三层:
周长=(3×20+3×12)×2………
依此类推,摆好十二层后周长为(12×20+12×12)×2
【解】(12×20+12×12)×2=768(厘米)
答:
摆好后图形的周长是768厘米.
【例10】★★分别求出图中各图形的面积(∷的面积为2).求下右图ABC的面积(∴的面积为3)
【解】(方法一:
图形分割法)图①分解成1个梯形+1个正方形.
图①的面积=梯形面积+正方形面积=(1+3)×1÷2+1=3,3×2=6
图②分解成4个小三角形,2个长方形和一个平行四边形.
图②的面积=三角形面积+长方形面积十平行四边形面积=2+8+1=11,11×2=22
图③分解成4个小三角形,1个长方形和1个平行四边形.
图③的面积=三角形面积+长方形面积+平行四边形面积=2+3+1=6,6×2=12
图④的面积(4÷2+4-1)×6=30
(方法二:
公式法)
【小结】顶点都在格点上的多边形叫格点多边形,有正方形格点多边形和三角形格点多边形。
求格点多边形面积可以统一用:
,表示最小的平行四边形的面积。
(记忆提示:
边2内1。
妈妈配在儿子旁边学奥数的格点面积,好累咽)
【例11】
【分析与解】连结AC,∵AB//CD,∴S△ADE=S△ACE 又∵AD//BC,∴S△ACF=S△ABF
而S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF ∴S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1.
【评析】同时加一块在面积计算中的应用。
或都说梯形蝴蝶定理中双腰相等结论的应用。
【例12】
【解】AD︰BE︰EC=8︰6︰9,,=,-=-,=10,=40
【例13】
【分析与解】方法一:
因为CEFG的边长题中未给出,显然阴影部分的面积与其有关.设正方形CEFG的边长为x,有:
又阴影部分的面积为:
(平方厘米).
方法二:
连接FC,有FC平行与DB,则四边形BCFD为梯形.(梯形蝴蝶定理中两腰相等)
有△DFB、△DBC共底DB,等高,所以这两个三角形的面积相等,显然,△DBC的面积(平方厘米).阴影部分△DFB的面积为50平方厘米.
【拓展】
【分析与解】(方法一)两块阴影部分的面积相等,AM/BC=GM/GB=,所以GB/BM=,而三角形ABG和三角形AMB同高,所以S△BAG=S△ABM=××1÷2=,所以阴影面积为×2=
(方法二)利用梯形蝴蝶定理,设AMG的面积为X,则BCG面积为4X,BGA的面积=MCG的面积=2X,阴影面积=(1-1×0.5÷2)÷9×4=1/3
【补充】
【分析与解】在△A′B′B与△ABC中,∠A′BB′+∠ABC=180°.因为AB=AA′,所以A′B=2AB,又因为B′B=BC,所以S△A′B′B=1×2×S△ABC=2S△ABC=2.同理S△B′C′C=2×1×S△ABC=2.S△A′C′A=2×1×S△ABC=2.所以S△A′B′C′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△A′C′A+S△ABC=2+2+2+1=7。
【补充】
【分析与解】连结AG、CG,如图所示, ∵AF=EC,有S△AGF=S△CGE, 又∵ED=BG,有S△AED=S△ABG,且S△CDE=S△BCG,由此可见:
△EFG的三个部分中S△ABG补到了S△EAD,S△AFG补到了S△CEG之后,又将其中的S△BCG补到了S△CDE而S△AEG的位置不变,由此一来相当于将△EFG等积变形到了四边形ABCD,两者面积相同,即:
S△EFG=1.
【评析】见到线段相等或者成倍数关系,应该立刻想到“线段关系转化为面积关系”。
【例14】
【解】连结对角线AE(如图),三角形AEC的面积16÷2—4=4.因为△ACF与△AEC有相同的高线AF,且它们的面积都等于4,所以CF=CE.同理,△ABE的面积是16÷2—3=5,所以BD/BE=3/5,即BE=5/8DE=5/8AF.又因为△BCE与△ACF有相等的高(CE=CF),故△BCE的面积是△ACF面积的5/8,即为4×5/8=2.5从而△ABC的面积等于16-(3+4+2.5)=6.5.
【点评】本题还可以从长方形的宽一定,通过面积比确定长的比。
如图,DB︰BE=长方形ADBM︰长方形MBFE=(3×2)︰(16-3×2)=3︰5,所以长方形OBEC的面积=长方形NDEC的面积×=(16-4×2)×=5
所以三角形BCE的面积为5÷2=2.5,所以三角形ABC的面积为16-(3+4+2.5)=6.5.
【例15】
【分析与解】阴影面积=R2-r2=50,环形面积=π(R2-r2)=50π=157
【例16】
【分析与解】从图中可以看出△PBC和△ABC是同底的两个三角形,它们的面积之比等于它们对应高的比,所以同理可得,,
所以。
又,
因此
【例17】
【分析】题目中给出的已知条件都是边的倍比关系,其余的条件中只有一个三角形ABC的面积已知,要想办法使已知条件能够相互关联,使边的倍比关系可以转化为面积之比。
【分析与解】连结AE、BF、CD如下图所示.由EB=2BC,得=2,同理可得=2,
=6,=3,所以=1+2+3+1+2+6+3=18.
【评析】解题过程中通过连接AE、BF、CD,使题目中所给的边的倍比关系可以构造模型一相互关联,再通过共高三角形面积与相应底边之间的对应比例关系求解.
【例18】
【分析与解】∴S阴影=(S正方形ABCE+S半圆-S△ADE)÷2=32.125
【拓展】
【解】解法1:
下图中,阴影面积=整个面积一空白面积=(正方形ABCD+半圆)一()
=(10×10+π×5×5×2一[15×5÷2+(5+15)×5÷2]
=51.75.
解法2:
下图中=一圆=5×5一×π×5×5,
上面阴影面积=三角形APE一=15×5÷2一5×5+×π×5×5,
下面阴影面积=三角形QPF一=10×5÷2一(5×5一×π×5×5).
所以阴影面积=(15×5÷2一5×5+×π×5
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