1213二微分几何期末复习题.docx
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1213二微分几何期末复习题
一,填空
1.若曲线C能与另一条曲线的点之间建立一一对应关系,而且在对应点,C
的主法线与的副法线重合,则曲线C称为孟恩哈姆曲线.
2.曲线C在正则点邻近的近似曲线为x¤(s)=s;y¤(s)=k(0)2s2;z¤(s)=k(0)¿(0)6s3;
3.曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的曲率和挠率.
4.“采柴罗"不动条件是dx¤ds=ky¤¡1,dy¤ds=¡kx¤+¿z¤dz¤=¡¿y¤.
5.空间曲线C:
r=r(s)是球面曲线的充要条件是:
曲率k(s)和挠率¿(s)满足.
6.设C:
r=r(s)是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线,则C的曲率与挠率有固定比值.
7.半径为R的圆的曲率为___________.
8.圆柱螺线x=3acost;y=3asint;z=4at从它与xy平面的交点到意点M(t)的弧长是5at.
9.曲率和挠率均为非零常数的曲线是圆柱螺线。
10,曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________,坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________.
11,距离单位球面球心距离为的平面与球面的交线的法曲率为,
12.距离单位球面球心距离为的平面与球面的交线的测地曲率为.
13.全脐点曲面(即曲面上的点全部是脐点)只有两个,它们是平面,球面.
14,沿渐近曲线的切方向,法曲率=____0___________;沿曲率线的切方向,法曲率=_________N/G_____________;沿测地线的切方向,法曲率=_____________________.
15.曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为.
16.曲面上曲线的曲率K,测地曲率Kg,法曲率Kn之间的关系是K2=K2g+K2n。
17.下列关于特殊曲线的论断,不正确的是(A)
A.若曲线上有无穷多个点处曲率为零,则曲线必为直线
B.平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身
C.沿渐近曲线,曲面的切平面与该渐近曲线的密切平面重合
D.沿测地线,曲面的切平面与该测地线的密切平面垂直
18,下列曲面不是可展曲面的是(A)
A.
B.曲线的切线曲面
C.高斯曲率恒为0的无平点曲面
D.与平面等距等价的曲面
19,下面各量中,不是内蕴量的是(C)
A.曲面上曲线的曲率B.曲面上曲线的测地曲率
C.曲面上测地三角形的内角和D.曲面的高斯曲率
20,下面关于曲面上主方向的说法,不正确的一项是【C】
A.脐点处,任何方向都是主方向B.非脐点处,主方向垂直
C.脐点处,无主方向D.非脐点处,有且仅有两个主方向
二,计算题
1.曲线,求
(1)基本向量、、;
(2)曲率和挠率.
答案,习题P608题
2.求自然方程为的曲线的参数方程
答案,课件PDFP50例题6
3.计算单位球面r(θ,φ)={cosθsinφ,sinθsinφ,cosφ}上曲线θ=logcot(π/4-t/2),
φ=π/2-t0≤t≤π/2,
的弧长。
答案,课件PDFP69例题6
4.求环面r(θ,φ)={(b+asinφ)cosθ,(b+asinφ)sinθ,acosφ}的面积,其中a,b(b>a)是正常数,参数0≤θ≤2π,0≤φ≤2π.
答案,课件PDFP73例题9
5.求曲面的渐进网。
答案,习题P1468题
6.试求双曲面的曲率线。
答案,习题P14612题
7.试求双曲面,在点处的平均曲率和Gauss曲率。
.
答案,习题P14621题
8.试求下列曲面上的测地线
(1)平面;
(2)圆柱面。
答案,课件PDFP136例题2,例题4,例题5
9.求位于半径为R的球面上半径为a的圆周曲线的测地曲率(a 答案,习题P2023题 10.求半径为R的球面上测地三角形三内角之和。 {球面参数方程为} 答案,习题P20216题 四,证明 1.如果曲线: r=r(s)为一般螺线,;为的切线向量和主法向量,R为的曲率半径.证明: 也是一般螺线. 答案,习题P878题 2.证明具有常曲率的曲线是贝特朗曲线,且的侣线是的曲率中心的轨迹,并证明的曲率=,挠率 答案,习题P8712题
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