双曲线的渐近线和离心率.docx
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双曲线的渐近线和离心率
第34练双曲线的渐近线和离心率
题型一双曲线的渐近线问题例1(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C:
ax2-yb2=1(a>0,b>0)的离心率为25,则C的渐近线
方程为(
答案C
b1
由b2=c2-a2=k2,知b=k.所以a=2.
即渐近线方程为y=±12x.故选C.
题型二双曲线的离心率问题
例2已知O为坐标原点,双曲线xa2-yb2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A,B,若(A→O+A→F)·O→F=0,则双曲线的离心率e为()
A.2B.3
C.2D.3破题切入点数形结合,画出合适图形,找出a,b间的关系.
答案C
解析如图,设OF的中点为T,
由(AO+AF)·OF=0可知AT⊥OF,
cc
又A在以OF为直径的圆上,∴A2,2,
b
又A在直线y=bx上,
a
∴a=b,∴e=2.
题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题
例3已知A(1,2),B(-1,2),动点P满足A→P⊥B→P.若双曲线ax2-yb2=1(a>0,b>0)的渐近线与
动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是.
破题切入点先由直接法确定点P的轨迹(为一个圆),再由渐近线与该轨迹无公共点得到不
等关系,进一步列出关于离心率e的不等式进行求解.
答案(1,2)
解析设P(x,y),由题设条件,得动点P的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)·y-
(2)=0,即x2+(y-2)2=1,它是以(0,2)为圆心,1为半径的圆.又双曲线xa2-yb2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±abx,即bx±ay=0,
由题意,可得
2a2a
>1,即>1,22ca+b
所以e=ca<2,
a
又e>1,故1 总结提高 (1)求解双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a,c的关系,a,c关系的建立方 法直接反映了试题的难易程度,最后在求得e之后注意e>1的条件,常用到数形结合. (2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由 y=±bax? xa±by=0? xa2-yb2=0,所以可 x2y2 以把标准方程xa2-by2=1(a>0,b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.双曲线的离 =e2-1,当e逐渐增大时, 心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据,由于ba=c2a-a2ba的值就逐渐增大,双曲线的“张口”就逐渐增大. 1.已知双曲线ax2-by2=1(a>0,b>0)以及双曲线ay2-bx2=1的渐近线将第一象限三等分,则双x2y2 曲线ax2-by2=1的离心率为() A.2或233B.6或233 C.2或3D.3或6 答案A 解析由题意,可知双曲线ax2-yb2=1的渐近线的倾斜角为30°或60°, x2y2 F1,F2,过F2作双曲线C的一 2.已知双曲线C: a2-b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为条渐近线的垂线,垂足为H,若F2H的中点M在双曲线C上,则双曲线C的离心率为() A.2B.3C.2D.3答案A ba 解析取双曲线的渐近线y=abx,则过F2与渐近线垂直的直线方程为y=-ba(x-c),可解得 可得a4+a2cc2-4ac2bb2=1,整理得c2=2a2,即可得e=ca=2,故应选A. 4ac4cba 圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4, ∴圆心为C(3,0). 又渐近线方程与圆C相切, 即直线bx-ay=0与圆C相切, x2 又∵ax2- by2=1的右焦点F2(a2+b2,0)为圆心C(3,0),∴a2+b2=9.②由①②得a2=5,b2=4.∴双曲线的标准方程为x-y=1. 54x2y2 4.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在 A.(1,2+1)B.(1,3) C.(3,+∞)D.(2+1,+∞)答案A ac 由sin∠PF1F2=sin∠PF2F1, ac|PF1|c 可得|PF2|=|PF1|,即|PF2|=a=e,所以|PF1|=e|PF2|. 因为e>1,所以|PF1|>|PF2|,点P在双曲线的右支上. 又|PF1|-|PF2|=e|PF2|-|PF2|=|PF2|(e-1)=2a, 2a 解得|PF2|= e-1 0,无意义), 因为|PF2|>c-a(不等式两边不能取等号,否则题中的分式中的分母为 2a2所以>c-a,即>e-1, e-1e-1 即(e-1)2<2,解得e<2+1. 又e>1,所以e∈(1,2+1). 5.(2014·湖北)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠ =3π,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为() A.B.23 A.3B.3 C.3D.2 答案A 解析设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2), |F1F2|=2c,椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆、双曲线的离心率分别为 由(2c)2=r21+r22-2r1r2cos3π, 得4c2=r21+r22-r1r2. r1+r2=2a1,r1=a1+a2, 由得 r1-r2=2a2,r2=a1-a2, F1PF2 e1,e2, 11a1+a2r1所以e11+e12=a1+ca2=rc1 r214r12 令m=c2=r12+r22-r1r2=1+ 4r2123, 2r1-22+4 椭圆C1的方程为ax2+by2=1,双曲线C2的方程为xa2-yb2 abab 与C2的离心率之积为23,则C2的渐近线方程为() A.x±2y=0B.2x±y=0 C.x±2y=0D.2x±y=0答案A 解析由题意知e1=ca1,e2=ca2, 又∵a2=b2+c21,c22=a2+b2, ∴c12=a2-b2, ca1c42=a4b=1-(ab)4, 4 b) 令xa22-yb22=0,解得bx±ay=0, ∴x±2y=0. 答案(0,1) 所以e12+e22=2>2e1e1? 0 x2y2a2 8.过双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=4的切线,切点为E,延长FE交双曲线的右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为. 答案210 解析设双曲线的右焦点为F′,由于E为PF的中点,坐标原点O为FF′的中点,所以 a EO∥PF′,又EO⊥PF,所以PF′⊥PF,且|PF′|=2×2=a,故|PF|=3a,根据勾股定理 于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 答案25x2y2b 解析双曲线a2-b2=1的渐近线方程为y=±ax. aba b (, ), 3b-a 3b-a -am bm (a+3b, a+3b) a2m, 3b2m 9b2-a2, 9b2-a2 bm am ). 得 由y=bax, x-3y+m=0, b y=-ax,由a x-3y+m=0, 设直线l: x-3y+m=0(m≠0), 因为|PA|=|PB|,所以PC⊥l,所以kPC=-3,化简得a2=4b2.在双曲线中,c2=a2+b2=5b2, 所以e=ca=25. a2 10.(2013湖·南)设F1,F2是双曲线C: xa2-by2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若 |PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则双曲线C的离心率为. 答案3 解析不妨设|PF1|>|PF2|, 则|PF1|-|PF2|=2a,又∵|PF1|+|PF2|=6a, ∴|PF1|=4a,|PF2|=2a. 又在△PF1F2中,∠PF1F2=30°, 由正弦定理得,∠PF2F1=90°, ∴|F1F2|=23a, 线上一点,满足O→C=λ→OA+O→B,求λ的值. 解 (1)点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线xa2-yb2=1上, x20y20 有xa02-yb20=1. 可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2, (2)联立 设A(x1, y1),B(x2, y2). 5cx1+x2=2,则22 35b2x1x2=. 4 →→→→设OC=(x3,y3),OC=λO+AOB x3=λ1x+x2,即 y3=λ1y+y2.又C为双曲线上一点,即x23-5y32=5b2,有(λ1x+x2)2-5(λ1y+y2)2=5b2. 化简得λ2(x12-5y12)+(x22-5y22)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2. 又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上, 所以x12-5y12=5b2,x22-5y22=5b2. 由 (1)可知c2=6b2, 由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2. 得λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=-4. x2 12.(2014江·西)如图,已知双曲线C: 2-y2=1(a>0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条a 渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB, (1)求双曲线C的方程; x0x3 (2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l: 02-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相a2 交于点N.证明: 当点P在C上移动时,||MNFF||恒为定值,并求此定值.解 (1)设F(c,0), 1 直线OB方程为y=-ax, a 1cc 直线BF的方程为y=a(x-c),解得B(2,-2a). 1 又直线OA的方程为y=ax, a cc ca--2a3 则A(c,a),kAB=c=a. c-2 31又因为AB⊥OB,所以·-()=-1, aa 解得a2=3, x2 故双曲线C的方程为3-y=1. (2)由 (1)知a=3,则直线l的方程为 x0xx0x-3 3-y0y=1(y0≠0),即y=3y0 因为c=a2+b2=2,所以直线 AF的方程为x=2, 所以直线l与AF的交点为M(2, 2x0-3 3y0); 3 直线l与直线x=2的交点为 N(32, 3 2x0-3 3y0). 2x0-32 3y02 |MF| 则|NF|2=3x0-32 12x0-3 4+3y02 2x0-32 2x0-32 代入上式得||MNFF||22=43·x2-3+3x-22 |NF|3x20-3+3x0-22 42x0-324 34x02-12x0+93即||MNFF||=23=233为定值. x2-5y2=5b2, 得4x2-10cx+35b2=0. y=x-c,
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- 关 键 词:
- 双曲线 渐近线 离心