精品提分练习高考数学新增分大一轮+第二章 函数 24.docx
- 文档编号:8205769
- 上传时间:2023-01-29
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:174.54KB
精品提分练习高考数学新增分大一轮+第二章 函数 24.docx
《精品提分练习高考数学新增分大一轮+第二章 函数 24.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《精品提分练习高考数学新增分大一轮+第二章 函数 24.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
精品提分练习高考数学新增分大一轮+第二章函数24
§2.4 幂函数与二次函数
考情考向分析
以幂函数的图象与性质的应用为主,常与指数函数、对数函数交汇命题;以二次函数的图象与性质的应用为主,常与方程、不等式等知识交汇命题,着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想,题型一般为填空题,中档难度.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(-∞,0]上单调递减;在(0,+∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0,+∞)上单调递增
在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减
公共点
(1,1)
2.二次函数的图象和性质
解析式
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
单调性
在x∈
上单调递减;
在x∈
上单调递增
在x∈
上单调递增;
在x∈
上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x=-
对称
概念方法微思考
1.二次函数的解析式有哪些常用形式?
提示
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:
y=a(x-m)2+n(a≠0);
(3)零点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),写出f(x)≥0恒成立的条件.
提示 a>0且Δ≤0.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[a,b]的最值一定是
.( × )
(2)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )
(3)函数
是幂函数.( × )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ )
(5)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( × )
题组二 教材改编
2.[P89练习T3]已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点
,则k+α=________.
答案
解析 由幂函数的定义,知
∴k=1,α=
.∴k+α=
.
3.[P40练习T3]已知函数f(x)=x2+4ax在区间(-∞,6)内单调递减,则a的取值范围是________.
答案 (-∞,-3]
解析 函数f(x)=x2+4ax的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是x=-2a,由函数在区间(-∞,6)内单调递减可知,区间(-∞,6)应在直线x=-2a的左侧,
∴-2a≥6,解得a≤-3.
题组三 易错自纠
4.幂函数
(a∈Z)为偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则a=________.
答案 5
解析 因为a2-10a+23=(a-5)2-2,
(a∈Z)为偶函数,
且在区间(0,+∞)上是减函数,
所以(a-5)2-2<0,从而a=4,5,6,
又(a-5)2-2为偶数,所以只能是a=5.
5.已知函数y=2x2-6x+3,x∈[-1,1],则y的最小值是______.
答案 -1
解析 函数y=2x2-6x+3的图象的对称轴为x=
>1,
∴函数y=2x2-6x+3在[-1,1]上单调递减,
∴ymin=2-6+3=-1.
6.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)________0.(填“>”“<”或“=”)
答案 >
解析 f(x)=x2-x+a图象的对称轴为直线x=
,且f
(1)>0,f(0)>0,而f(m)<0,∴m∈(0,1),∴m-1<0,∴f(m-1)>0.
题型一 幂函数的图象和性质
1.已知幂函数
(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为________.
答案 1
解析 由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意.
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是________.(用“>”连接)
答案 a>b>c>d
解析 由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d.
3.若
,则实数a的取值范围是____________.
答案 (-∞,-1)∪
解析 不等式
等价于a+1>3-2a>0或3-2a . 4.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表,则不等式f(|x|)≤2的解集是________. x 1 f(x) 1 答案 [-4,4] 解析 由题意知, = α,∴α= ,∴f(x)= , ∴f(|x|)= ,由 ≤2,得|x|≤4,故-4≤x≤4. 思维升华 (1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. (3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 题型二 求二次函数的解析式 例1 (1)已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对∀x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,则f(x)的解析式为________________. 答案 f(x)=x2-2x+3 解析 由f(0)=3,得c=3, 又f(1+x)=f(1-x), ∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称, ∴ =1,∴b=2, ∴f(x)=x2-2x+3. (2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=________. 答案 x2+2x 解析 设函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a≠0), 所以f(x)=ax2+2ax,由 =-1, 得a=1,所以f(x)=x2+2x. 思维升华求二次函数解析式的方法 跟踪训练1 (1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________. 答案 x2+2x+1 解析 设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a≠0), 又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1, 故f(x)=x2+2x+1. (2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=________. 答案 x2-4x+3 解析 因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),又f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3. 题型三 二次函数的图象和性质 命题点1 二次函数的图象 例2设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是________. 答案 [0,2] 解析 二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,则a≠0, 又由- =1得图象的对称轴是直线x=1,所以a>0. 所以函数的图象开口向上,且在[1,2]上单调递增,f(0)=f (2), 则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2. 命题点2 二次函数的单调性 例3函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是________. 答案 [-3,0] 解析 当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意. 当a≠0时,f(x)的对称轴为x= , 由f(x)在[-1,+∞)上单调递减,知 解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0]. 引申探究 若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调减区间是[-1,+∞),则a=________. 答案 -3 解析 由题意知f(x)必为二次函数且a<0, 又 =-1,∴a=-3. 命题点3 二次函数的最值 例4已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值. 解 f(x)=a(x+1)2+1-a. (1)当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去; (2)当a>0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f (2)=8a+1=4,解得a= ; (3)当a<0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3. 综上可知,a的值为 或-3. 引申探究 将本例改为: 求函数f(x)=x2+2ax+1在区间[-1,2]上的最大值. 解 f(x)=(x+a)2+1-a2, ∴f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-a. (1)当-a< 即a>- 时,f(x)max=f (2)=4a+5, (2)当-a≥ 即a≤- 时,f(x)max=f(-1)=2-2a, 综上,f(x)max= 命题点4 二次函数中的恒成立问题 例5 (1)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,若不等式f(x)>2x+m在区间[-1,1]上恒成立,则实数m的取值范围为____________. 答案 (-∞,-1) 解析 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1,得c=1,又f(x+1)-f(x)=2x,得2ax+a+b=2x,所以a=1,b=-1,所以f(x)=x2-x+1.f(x)>2x+m在区间[-1,1]上恒成立,即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,令g(x)=x2-3x+1-m= 2- -m,x∈[-1,1],g(x)在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=g (1)=1-3+1-m>0,所以m<-1. (2)函数f(x)=a2x+3ax-2(a>1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8恒成立,则a的最大值为________. 答案 2 解析 令ax=t,因为a>1,x∈[-1,1],所以 ≤t≤a,原函数化为g(t)=t2+3t-2,t∈ ,显然g(t)在
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 精品提分练习高考数学新增分大一轮+第二章 函数 24 精品 练习 高考 数学 新增 一轮 第二
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)