最新华东师大版八年级数学上册《角平分线》同步练习题及答案解析.docx

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最新华东师大版八年级数学上册《角平分线》同步练习题及答案解析

华师大版数学八年级上册第13章第五节13.5.3角平分线同步练习

一、选择题

1．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（　　）

A．线段CD的中点

B．OA与OB的中垂线的交点

C．OA与CD的中垂线的交点

D．CD与∠AOB的平分线的交点

答案：

D

解答：

利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交P．

故选D．

分析：

利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交点．

2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（　　）

A．6B．5C．4D．3

答案：

A

解答：

如图，

过点P作PE⊥OB于点E，

∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，

∴PE=PD，

∵PD=6，

∴PE=6，

即点P到OB的距离是6．

故选：

A．

分析：

过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解．

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（　　）

A．

B．2C．3D．

+2

答案：

C

解答：

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE=1，

又∵直角△BDE中，∠B=30°，

∴BD=2DE=2，

∴BC=CD+BD=1+2=3．

故选C．

分析：

根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．

4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（　　）

A．

B．2C．3D．2

答案：

C

解答：

过点P作PB⊥OM于B，

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，

∴PB=PA=3，

∴PQ的最小值为3．

故选：

C．

分析：

首先过点P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值．

5．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（　　）

A．4B．5C．6D．7

答案：

A

解答：

∵∠C=90°，AD平分∠BAC，

∴点D到AB的距离等于CD，

∵BC=10，BD=6，

∴CD=BC-BD=10-6=4，

∴点D到AB的距离是4．

故选A．

分析：

由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD，根据已知求得CD即可．

6．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（　　）

A．1：

1：

1B．2：

2：

3C．2：

3：

2D．3：

2：

2

答案：

D

解答：

∵P为三边角平分线的交点，

∴点P到△ABC三边的距离相等，

∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，

∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比=6：

4：

4=3：

2：

2．

故选D．

分析：

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．

7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，

=15，DE=3，AB=6，则AC长是（　　）

A．7B．6C．5D．4

答案：

D

解答：

∵DE=3，AB=6，

∴△ABD的面积为

×3×6=9，

∵

=15，

∴△ADC的面积=15-9=6，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，

∴AC边上的高=DE=3，

∴AC=6×2÷3=4，

故选D．

分析：

先求出△ABD的面积，再得出△ADC的面积，最后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，从而得解．

8．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（　　）

A．点O一定在△ABC的内部

B．∠C的平分线一定经过点O

C．点O到△ABC的三边距离一定相等

D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等

答案：

D

解答：

∵三角形角平分线的性质为：

三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，

∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．

故选D．

分析：

根据角平分线的定义与性质即可判断．

9．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是（　　）

A．10B．15C．20D．30

答案：

B

解答：

过D作DE⊥BC于E，

∵∠A=90°，

∴DA⊥AB，

∵BD平分∠ABC，

∴AD=DE=3，

∴△BDC的面积是

×DE×BC=

×10×3=15，

故选B

分析：

过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．

10．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC的三条中线的交点

B．△ABC三边的中垂线的交点

C．△ABC三条高所在直线的交点

D．△ABC三条角平分线的交点

答案：

D

解答：

∵凉亭到草坪三条边的距离相等，

∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．

故选D．

分析：

由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．

11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处B．二处C．三处D．四处

答案：

D

解答：

如图所示，加油站站的地址有四处．

故选D．

分析：

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．

12．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）

A．M点B．N点C．P点D．Q点

答案：

A

解答：

从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．

所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．

分析：

根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．

13．如图，∠POA=∠POB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若OP=26，PE=10，则OD的长为（　　）

A．12B．18C．20D．24

答案：

D

解答：

∵∠POA=∠POB，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PE=PD，∠PDO=90°，

∵PE=10，

∴PD=10，

∵OP=26，

∴OD=24，

故选D．

分析：

根据角平分线性质求出PE=PD=10，再进一步求解即可．

14．如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　）

A．PD=PEB．OD=OEC．∠DPO=∠EPOD．PD=OD

答案：

D

解答：

A．∵∠POB=∠POA，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PE=PD，正确，故本选项错误；

B．∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PEO=∠PDO=90°，

∵OP=OP，PE=PD，

∴OE=OD，正确，故本选项错误；

C．∵∠PEO=∠PDO=90°，∠POB=∠POA，

∴由三角形的内角和定理得：

∠DPO=∠EPO，正确，故本选项错误；

D．根据已知不能推出PD=OD，错误，故本选项正确；

故选D．

分析：

由已知条件认真思考，首先可得△POE≌△POD，进而可得PD=PE，∠1=∠2，∠DPO=∠EPO；而OD，OP是无法证明是相等的，于是答案可得．

15.如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为（　　）

A．2B．3C．4D．5

答案：

C

解答：

如图，

过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，

∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB，

∴PF=PE，

同理可得PG=PE，

∵AD∥BC，

∴点F、P、G三点共线，

∴EG的长即为AD、BC间的距离，

∴平行线AD与BC间的距离为2+2=4．

故选C．

分析：

过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF=PE，PG=PE，再根据平行线之间的距离的定义判断出EG的长即为AD、BC间的距离．

二、填空题

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=15，且BD：

DC=3：

2，则D到边AB的距离是．

答案：

6

解答：

∵BC=15，BD：

DC=3：

2

∴CD=6

∵∠C=90°

AD平分∠BAC

∴D到边AB的距离=CD=6．

故答案为：

6．

分析：

首先由线段的比求得CD=6，然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离．

17．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD=10，则PE的长度为．

答案：

10

解答：

∵点P在∠AOB的平分线OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，

∴PD=PE，

∵PD=10，

∴PE=10，

故答案为：

10．

分析：

根据角平分线性质得出PE=PD，代入求出即可．

18．如图所示，△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC=10cm，CD=6cm，则DE的长为cm．

答案：

4

解答：

∵∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，

∴DE=AD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

∵AD=AC-CD=10-6=4cm，

∴DE=4cm．

故填4．

分析：

由已知进行思考，结合角的平分线的性质可得DE=AD，而AD=AC-CD=10-6=4cm，即可求解．

19．如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD=7cm，当PE=cm时，点P在∠AOB的平分线上．

答案：

7

解答：

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=7cm，

∴当PE=PD，即PE=7cm时，P在∠AOB的平分线，

故答案为：

7．

分析：

根据角平分线性质得出PD=PE，代入求出即可．

20．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD=．

答案：

5

解答：

∵∠A=90°，

∴DA⊥AB，

∵BD平分∠ABC，点D到BC的距离为3，

∴AD=3，

∵AB=4，

∴BD=5．

分析：

根据角平分线的性质得到AD=3，进一步求得BD．

三、解答题

21.在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：

求证：

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

答案：

解答：

已知：

点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

求证：

PE=PF．

证明：

在△POE和△POF中，

∠POE=∠POF，∠PEO=∠PFO=90°，OP=OP，

∴△POE≌△POF，

∴PE=PF．

分析：

根据题意画出图形，写出已知和求证，根据确定三角形的判定和性质证明结论．

22．现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．

答案：

解答：

作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，

则P为这个中心医院的位置．

分析：

根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．

23．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：

PM=PN．

答案：

解答：

∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中，

AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB=∠CDB，

∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM=PN．

分析：

根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．

24．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．

求证：

AD是△ABC的角平分线．

答案：

解答：

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形．

在Rt△BDE和Rt△DCF中

BD=DC，BE=CF，

∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），

∴DE=DF，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD是角平分线．

分析：

首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．

25．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．

（1）求证：

∠PCD=∠PDC；

答案：

解答：

∠PCD=∠PDC．

理由：

∵OP是∠AOB的平分线，

且PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD，

∴∠PCD=∠PDC；

（2）求证：

OP是线段CD的垂直平分线．

答案：

解答：

OP是CD的垂直平分线．

理由：

∵∠OCP=∠ODP=90°，

在Rt△POC和Rt△POD中，

PC=PD，OP=OP，

∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），

∴OC=OD，

由PC=PD，OC=OD，可知点O、P都是线段CD的垂直平分线上的点，

从而OP是线段CD的垂直平分线．

分析：

∠PCD=∠PDC．由于P点是∠AOB平分线上一点，根据角平分线的性质可以推出PC=PD，然后利用等腰三角形的性质即可得到结论；

根据已知条件首先容易证明Rt△POC≌Rt△POD，从而得到OC=OD，由

（1）有PC=PD，利用线段的垂直平分线的判定即可证明结论．