有理数培优题有答案解析.docx
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有理数培优题有答案解析
有理数培优题
基础训练题
一、填空:
1在数轴上表示一2的点到原点的距离等于()。
2、若IaI=—a,则a()0.
3、任何有理数的绝对值都是()。
4、如果a+b=O,那么a、b一定是()。
5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次,列式表示厚度是()。
6、已知|a|3,|b|2,|ab|ab,则ab()
7、|x2||x3|的最小值是()。
11
8在数轴上,点AB分别表示-,-,贝懺段AB的中点所表示的数是()。
42
.2010
ab
9、若a,b互为相反数,m,n互为倒数,P的绝对值为3,贝Umnp2()。
P
10、若ab*0,则回単©的值是().
abc
3253
1-下列有规律排列的一列数:
-—、—、-、-、•••,其中从左到右第100个数是()。
4385
二、解答问题:
1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4,z对应的点到-2对应的点的距离是7,求x、y、z这三
个数两两之积的和。
3、若2x|45x||13x|4的值恒为常数,求x满足的条件及此时常数的值
4、若a,b,c为整数,且|ab|2010|ca|20101,试求|ca||ab||bc|的值
5、计算:
-
1
5
7
9
11
13
15
仃
+——
+
+-
+
2
6
12
20
30
42
56
72
6、应用拓展:
将七只杯子放在桌上,使三只口朝上,四只口朝下。
现要求每次翻转其中任意
四只,使它们杯口朝向相反,问能否经有限次翻转后,让所有杯子杯口朝下?
能力培训题
知识点一:
数轴
例1:
已知有理数a在数轴上原点的右方,有理数b在原点的左方,那么()
A.abbB•abbC•ab0D•ab0
拓广训练:
1、如图a,b为数轴上的两点表示的有理数,在ab,b2a,ab,ba中,负数的个数有()“祖
冲之杯”邀请赛试题)
aOb
A.1B.2C.3D.43、把满足2a5中的整数a表示在数轴上,并用不等号连接。
2、利用数轴能直观地解释相反数;
例2:
如果数轴上点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,那么A、B两点的距离为。
拓广训练:
1、在数轴上表示数a的点到原点的距离为3,则a3.
2、已知数轴上有AB两点,AB之间的距离为1,点A与原点0的距离为3,那么所有满足条件的点B
与原点0的距离之和等于。
(北京市“迎春杯”竞赛题)
3、禾U用数轴比较有理数的大小;
例3:
已知a0,b0且ab0,那么有理数a,b,a,b的大小关系是。
(用
号连接)(北京市“迎春杯”竞赛题)拓广训练:
1若m0,n0且mn,比较m,n,mn,mn,nm的大小,并用“”号连接。
例4:
已知a5比较a与4的大小
拓广训练:
1已知a3,试讨论a与3的大小
2、已知两数a,b,如果a比b大,试判断a与b的大小
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
例5:
有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,式子a|babbc化简结果为()
—**»
A.2a3bcB•3bcC•beD•cb-1a01be
拓广训练:
1、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则化简abb1ac1c的结果为
・「a
baOc1
2、已知abab2b,在数轴上给出关于a,b的四种情况如图所示,则成立的是。
a0①bb0②a0a③b0b④a
3、已知有理数a,b,c在数轴上的对应的位置如下图:
则c1acab化简后的结果是()
(湖北省初中数学竞赛选拨赛试题)
-1
A.b1B
.2a
b
1C.
12ab
2cD
.12cb
三、培优训练
1、已知是有理数,
且
x
2
12y
1
2
0,
那以
x
y的值是(
)
1
3
1亠
3
3
A.B
C
或
D
1或
2
.2
2
2
2
2、(07乐山)如图,数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到达点C.若
5-
点C表示的数为1,则点A表示的数为()
B
A.7B.3c.3D.2
0
1
3、如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距
1个单位,点
A、B、C
D对应的数分别是整数a,b,c,d
且d2a10,那么数轴的原点应是()
A
BC
D
A.A点B.B点C.C点D.D点
4、数a,b,c,d所对应的点A,B,C,D在数轴上的位置如图所示,那么ac与bd的大小关系是()
A
D
0
C
B
A.acb
db.acbdC
.a
c
b
d
D
.不确定的
5、不相等的有理数
a,b,c在数轴上对应点分别为
A,B,
C,
若
a
b
bc
ac,那么点B(
)
A.在A、C点右边B.在A、C点左边C
.在A
c点之间
D
.以上均有可能
6、设yx1x1,则下面四个结论中正确的是()(全国初中数学联赛题)
A.y没有最小值B.只一个x使y取最小值
C.有限个x(不止一个)使y取最小值D.有无穷多个x使y取最小值
11
7、在数轴上,点AB分别表示和—,则线段AB的中点所表示的数是
35
9、X是有理数,则X畧X
書的最小值是
8、若a0,b0,则使xaxbab成立的x的取值范围是.
dbOac
10、已知a,b,c,d为有理数,在数轴上的位置如图所示:
且6a6b3c4d6,求3a2d3b2a2bc的值。
11、(南京市中考题)
(1)阅读下面材料:
点A、B在数轴上分别表示实数a,b,A、B两点这间的距离表示为AB,当AB两点中有一点在原点时,
①如图
②如图
③如图
AB都在原点的右边
AB
O
AB都在原点的左边
AB
O
AB在原点的两边AB
OA
AB两点之间的距离
AB
a
OAb
OA
OBab
占
八、、
2,
占
八、、
3,
占
八、、
4,
综上,数轴上
O(A)
②数轴上表示X和-1的两点A和B之间的距离是
,如果AB2,那么x为
上表示1和-3的两点之间的距离是
3当代数式x1x2取最小值时,相应的X的取值范围是
4求x1x2x3x1997的最小值。
聚焦绝对值
一、阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念,引入绝对值概念之后,对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解;绝对值又是初中代数中一个基本概念,在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时,常常遇到含有绝对值符号的问题,理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面:
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
去绝对值符号法则:
aa0
a0a0
aa0
2、恰当地运用绝对值的几何意义
3、灵活运用绝对值的基本性质
拓广训练:
2、若a8,b5,且ab0,那么ab的值是()
A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-13
2、恰当地运用绝对值的几何意义
x1的最小值是(
解法1、分类讨论
2x2;
x1时,
1x1时,
比较可知,
1的最小值是
2,故选Ao
2x
解法2、由绝对值的几何意义知x1表示数x所对应的点与数1所对应的点之间的距离;x1表示数x
所对应的点与数-1所对应的点之间的距离;x1x1的最小值是指x点到1与-1两点距离和的最小
值。
如图易知
11_»
x-1x1x
1x1时,x1x1的值最小,最小值是2故选Ao
拓广训练:
1、已知x3x2的最小值是a,x3x2的最大值为b,求ab的值。
三、培优训练
A.3个B.1个C.4个D.2个
A.零B.非负数C.正数D.负数
3、如果x2x20,那么x的取值范围是(
A.x2B.x2C.
4、a,b是有理数,如果ab
b,那么对于结论
(1)a一定不是负数;
(2)b可能是负数,其中()
(第15届江苏省竞赛题)
9、
5,则代数式
x52x
—的值为
x
10、若ab
竺的值等于
ab
abcabc
11、已知a,b,c是非零有理数,且abc0,abc0,求一一一的值。
|a||b|c|abc|
25,求badc的值。
12、已知a,b,c,d是有理数,ab9,cd16,且abcd
13、阅读下列材料并解决有关问题:
xx0
我们知道|x0x0,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式
xx0
x1
x2
时,可令x10和x20,分别求得x1,x2(称1,2分别为
x
1与
x2的
零点值)
。
在有理数范围内,零点值
x
1和x2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下
3种情况:
(1)当
x
1时,原式=x1
x22x1;
(2)当
1
x2时,原式=x
1
x23;
(3)当
x2时,原式=x1x
2
2x1。
2x1x1
综上讨论,原式=31x2
2x1x2
通过以上阅读,请你解决以下问题:
(1)分别求出x2和x4的零点值;
(2)化简代数式x2x4
14、
(1)当x取何值时,x3有最小值?
这个最小值是多少?
(2)当x取何值时,5x2有最大值?
这个最大值是多少?
(3)求x4x5的最小值。
(4)求x7x8x9的最小值。
15、某公共汽车运营线路AB段上有AD、C、B四个汽车站,如图,现在要在AB段上修建一个加油站M,
为了使加油站选址合理,要求A,B,C,D四个汽车站到加油站M的路程总和最小,试分析加油站M在何
处选址最好?
16、先阅读下面的材料,然后解答问题:
在一条直线上有依次排列的nn1台机床在工作,我们要设置一个零件供应站P,使这n台机床到供应
站P的距离总和最小,要解决这个问题,先“退”至吐匕较简单的情形:
A1A2AtA2(P)DA3
—甲—P乙—甲-乙丙—
①②
如图①,如果直线上有2台机床(甲、乙)时,很明显P设在A1和A2之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P的距离之和等于A1到A2的距离.
如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时,不难判断,P设在中间一台机床A2处最合适,因为如果
P放在A2处,甲和丙分别到P的距离之和恰好为A1到A3的距离;而如果P放在别处,例如D处,那么甲和丙分别到P的距离之和仍是A1到A3的距离,可是乙还得走从A2到D近段距离,这是多出来的,因此P
放在A2处是最佳选择。
不难知道,如果直线上有4台机床,P应设在第2台与第3台之间的任何地方;有
5台机床,P应设在第3台位置。
问题
(1):
有n机床时,P应设在何处?
问题
(2)根据问题
(1)的结论,求x1x2x3x617的最小值。
有理数的运算
、阅读与思考
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算,当引进负数概念后,数集扩大到了有理数范围,我们又学习了有理数的计算,有理数的计算与算术数的计算有很大的不同:
首先,有理数计算每一步要确定符号;其次,代数与算术不同的是“字母代数”,所以有理数的计算很多是字母运算,也就
是通常说的符号演算。
数学竞赛中的计算通常与推理相结合,这不但要求我们能正确地算出结果,而且要善于观察问题的结构特点,将推理与计算相结合,灵活选用算法和技巧,提高计算的速成度,有理数的计算常用的技巧与方法有:
1利用运算律;2、以符代数;3、裂项相消;4、分解相约;5、巧用公式等。
二、知识点反馈
例2:
计算:
c24
9-
25
50
解:
原式=
1
10
25
1
50105050
25
5002
498
拓广训练:
1、计算:
2345
1111
2、裂项相消
(1)
(4)
ab
计算
解:
原式=
拓广训练:
3、以符代数
例4:
计算:
1
2009
2010
2009
2010
334
2009
2009
2010
2010
2010
20072009
27
17
39
17
2739
一7
“34“1
24,37
“76
17-
16,27
26
11
10
27
2717
1739
39
12
「38―
7
1
37“34
“24
“76
8-
5,则17
2711
16
26
10
1727
39
27
17
3927
17
39
17
2A
A
2
解:
分析:
令A=13
538
113713咚
727丄
原式=2A
拓广训练:
1、计算:
2006
2005
2006
2005
4、分解相约
例5:
计算:
1
2
4
2
4
8
2
n2n4n
1
3
9
2
6
18
n3n9n
解:
原式=
12
4
2
1
2
4
2
n124=
12
4
12
2n
13
9
2
1
3
9
n139
13
9
12
n
=124264
139729
2、计算:
(1)
1
19971999
35
三、培优训练
2008
1898a299b2
1997ab
4、计算:
1
1
3
1
3
5
13
97
—
—
—
—
—
—
—
2
4
4
6
6
6
9898
98
5、计算:
2
22
23
24
25
2627
2829210=
3、若a与b互为相反数,则
6、竺,97,鯉,98这四个数由小到大的排列顺序是
199898199999
7、(
“五羊杯”)
计算:
3.14
31.4
628
0.68668.6
6.86=(
)
A.
3140B.
628
C.1000D
.1200
1
23
4
14
15
8、(
“希望杯”)
等于(
)
2
46
8
28
30
A.
1B.
1
-C
.1D
1
4
4
2
2
56
42.53
2
9、(
“五羊杯”)
计算:
=()
29
81
4.5
4
5
10
20
40
A.—
B.
C.
D
2
3
9
9
10、(2009鄂州中考)为了求
122
23
2008
2的值,
可令S=1
2223
22008,则2S=
几2只
3
2009
2009
_2_3
亠2008_2009
22
2
2
,因此2S-S
=2
1,所以1
22
2=2
1仿照以上推理
计算出15253
52009的值是(
A520091
2010„
51
11、a1,a2,a3,
a2oo4都
2009’
C51
严1
D51
4
4
如杲Ma〔
a2a2003
a2a3
)
a2003,那么M,N的大小关系是()
a2004,
Na1a2
a2004
a2
a3
A.MN
12、设三个互不相等的有理数,既可表示为
的值(“希望杯”邀请赛试题)
ND•不确定
1,ab,a的形式,又可表示为0,-,b的形式,求a1999b2000a
13、计算
(1)5.70.00036
0.190.006
57000.000000164
(2009年第二十届“五羊杯”竞赛题)
2
(2)
4
0.25
8
3-
6.5
2
6
3
13
2(北京市“迎春杯”竞赛题)
32
14、已知m,n互为相反数,a,b互为负倒数,
x的绝对值等于3,
求x31mnabx2
2001
mnx
.2003
ab的值
11
15、已知ab2a20,求晶a1b1
1
a2006b
的值
2006
(香港竞赛)
16、(2007,无锡中考)图
1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,
以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了n层•将图1倒置后与原图1拼成图2的形状,这样我们可以
算出图1中所有圆圈的个数为123Ln2•
第1层
第2层
'ttW«■
第n层
00-00
OO…OO
00-00
图1
图2
图3
图4
如果图
1
中的圆圈共有12层,
(1)我们自上往下,在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数
1,2,3,4,L,则最底层最左边这个圆圈中的数是图4的方式填上一串连续的整数
23,22,
;
(2)我们自上往下,在每个圆圈中都按
21,L,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.
【专题精讲】
【例1】计算下列各题
25(厲
3725
33333
(4)343(4)3
⑴(3)30.750.52(3)3
44
12271339
⑵(°125)(13)(8)(5
【例2】计算:
1
789101112L
20052006
20072008
/、1
1
1
1
1
⑴
L
2
6
12
20
30
【例3】计算:
1
9900
1
99101
1
n(n1)
反思说明:
一般地,多个分数相加减,如果分子相同,分母是两个整数的积,且每个分母中因数差相同,
可以用裂项相消法求值。
1
n(nk)
111
1
n(n1)(n2)
1
(n1)(n1)
1
n
2[n(n1)(n1)(n2)]
[例4】(第18届迎春杯)计算:
1111
[例5】计算:
-(-2)(-23)(
2334445
(6060
60
3
L
——L
5859
一一一L
2481024
【例6】(第8届“希望杯”)计算:
(11
1L
11
\(丄
1
1l
—)
(11
1L
11)(丄〕L1)
2
3
20092
3
4
2010
2
3
20092010232009
【例7】请你从下表归纳出1234Ln的公式并计算出:
3^3
12
33
43L
50的值。
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
3
6
9
12
15
4
8
12
16
20
5
10
15
20
25
【实战演练】
1、用简便方法计算:
999998998999
998999999998
2、
(第10届
“希望杯”训练题)(丄
2004
1
1)(20031)
1
L(1002
1
1}(而1}
1
(1000
3、
已知a
199919991999
199819981998,b
20002000
2000
199919991999,C
20012001
2001
200020002000
4、
计算:
1113
5、(“聪明杯”试题)
6、(1
A.
提示:
(n
1)2
7、
8、计算:
9、计算1
15131517
(1242
(1392
七)(1
(1
293133
Ln2n4n218Ln3n9n"
19982000)(1砖而)的值得整数部分为(
.3D
12
2n
22
16
40
1921
23
22010
12123
100
的值•
1)
贝Uabc
)
10、计算:
4
111
(1—)(1—)(1-)
234
11
2
1
2010的值。
111
(1—)(1
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