高考数学一轮复习 82 双曲线教案.docx
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高考数学一轮复习82双曲线教案
2019-2020年高考数学一轮复习8.2双曲线教案
●知识梳理
定义
1.到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长(<|F1F2|)的点的轨迹
2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e(>1)的点的轨迹
方程
1.-=1,c=,焦点是F1(-c,0),F2(c,0)
2.-=1,c=,焦点是F1(0,-c)、F2(0,c)
性质
H:
-=1(a>0,b>0)
1.范围:
|x|≥a,y∈R
2.对称性:
关于x、y轴均对称,关于原点中心对称
3.顶点:
轴端点A1(-a,0),A2(a,0)
4.渐近线:
y=x,y=-x
5.离心率:
e=∈(1,+∞)
6.准线:
l1:
x=-,l2:
x=
7.焦半径:
P(x,y)∈H,
P在右支上,
r1=|PF1|=ex+a,
r2=|PF2|=ex-a;
P在左支上,
r1=|PF1|=-(ex+a),
r2=|PF2|=-(ex-a)
思考讨论
对于焦点在y轴上的双曲线-=1(a>0,b>0),其性质如何?
焦半径公式如何推导?
●点击双基
1.(xx年春季北京)双曲线-=1的渐近线方程是
A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x
解析:
由双曲线方程可得焦点在x轴上,a=2,b=3.∴渐近线方程为y=±x=±x.
答案:
A
2.过点(2,-2)且与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
解析:
可设所求双曲线方程为-y2=λ,把(2,-2)点坐标代入方程得λ=-2.
答案:
A
3.如果双曲线-=1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么P到它的右准线距离是
A.10B.C.2D.
解析:
利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8×=.
答案:
D
4.已知圆C过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是____________.
解析:
由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点,所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4,±).易求它到中心的距离为.
答案:
5.求与圆A:
(x+5)2+y2=49和圆B:
(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________.
解析:
利用双曲线的定义.
答案:
-=1(x>0)
●典例剖析
【例1】根据下列条件,求双曲线方程:
(1)与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2);
(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).
剖析:
设双曲线方程为-=1,求双曲线方程,即求a、b,为此需要关于a、b的两个方程,由题意易得关于a、b的两个方程.
解法一:
(1)设双曲线的方程为-=1,
由题意,得
=,
-=1,解得a2=,b2=4.
所以双曲线的方程为-=1.
(2)设双曲线方程为-=1.由题意易求c=2.
又双曲线过点(3,2),∴-=1.
又∵a2+b2=
(2)2,∴a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为-=1.
解法二:
(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),
将点(-3,2)代入得λ=,所以双曲线方程为-=.
(2)设双曲线方程为-=1,
将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为-=1.
评述:
求双曲线的方程,关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0,可设双曲线方程为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
【例2】(xx年全国,19)设点P到点M(-1,0)、N(1,0)距离之差为2m,到x轴、y轴距离之比为2,求m的取值范围.
剖析:
由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线,由点P到x轴、y轴距离之比为2,知点P的轨迹是直线,由交轨法求得点P的坐标,进而可求得m的取值范围.
解:
设点P的坐标为(x,y),依题意得=2,即y=±2x(x≠0).①
因此,点P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线,得||PM|-|PN||<|MN|=2.
∵||PM|-|PN||=2|m|>0,
∴0<|m|<1.因此,点P在以M、N为焦点,实轴长为2|m|的双曲线上.
故-=1.②
将①代入②,并解得x2=,
∵1-m2>0,∴1-5m2>0.解得0<|m|<,
即m的取值范围为(-,0)∪(0,).
评述:
本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识,考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.
【例3】如下图,在双曲线-=1的上支上有三点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3),它们与点F(0,5)的距离成等差数列.
(1)求y1+y3的值;
(2)证明:
线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求此点坐标.
剖析:
可以验证F为焦点,利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列,进而有三点纵坐标成等差数列,由此易得y1+y3的值.为求出AC的中垂线所过定点,不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A′与C′.由双曲线的对称性,易知A′与C′也在双曲线上,且A′、B、C′满足题设条件,所以A′C′的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y轴对称.所以定点应在y轴上.
(1)解:
c==5,故F为双曲线的焦点,设准线为l,离心率为e,由题设有2|FB|=|FA|+|FC|.①
分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2,交l于A1、B1、C1,则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|,|FA|=e|AA1|,|FC|=e|CC1|,代入①式,得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|,
即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.
于是两边均加上准线与x轴距离的2倍,有
2|BB2|=|AA2|+|CC2|,
此即2×6=y1+y3,可见y1+y3=12.
(2)证明:
AC的中垂线方程为
y-=-(x-),即y-6=-x+.②
由于A、C均在双曲线上,所以有-=1,-=1.
相减得=.于是有
=(y1+y3)=·12=13,
故②变为y=-x+,易知此直线过定点D(0,).
评述:
利用第二定义得焦半径,可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点,中点问题往往把A、C的坐标代入方程,两式相减、变形,即可解决问题.
●闯关训练
夯实基础
1.(xx年天津,4)设P是双曲线-=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|等于
A.1或5B.6C.7D.9
解析:
由渐近线方程y=x,且a=2,∴b=3.据定义有|PF2|-|PF1|=4,∴|PF2|=7.
答案:
C
2.(xx年春季北京,5)“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
解析:
由ab<0,得a>0,b<0或a<0,b>0.
由此可知a与b符号相反,则方程表示双曲线,反之亦然.
答案:
C
3.(xx年上海)给出问题:
F1、F2是双曲线-=1的焦点,点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:
双曲线的实轴长为8,由||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确?
若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确结果填在下面横线上.______________________________________________.
解析:
易知P与F1在y轴的同侧,|PF2|-|PF1|=2a,∴|PF2|=17.
答案:
|PF2|=17
4.过点A(0,2)可以作____________条直线与双曲线x2-=1有且只有一个公共点.
解析:
数形结合,两切线、两交线.
答案:
4
5.已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.
(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.
解:
(1)由16x2-9y2=144得-=1,
∴a=3,b=4,c=5.焦点坐标F1(-5,0),F2(5,0),离心率e=,渐近线方程为y=±x.
(2)||PF1|-|PF2||=6,cos∠F1PF2=
=
==0.
∴∠F1PF2=90°.
6.已知双曲线x2-=1与点P(1,2),过P点作直线l与双曲线交于A、B两点,若P为AB中点.
(1)求直线AB的方程;
(2)若Q(1,1),证明不存在以Q为中点的弦.
(1)解:
设过P(1,2)点的直线AB方程为y-2=k(x-1),
代入双曲线方程得(2-k2)x2+(2k2-4k)x-(k4-4k+6)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-,
由已知=xp=1,∴=2.解得k=1.
又k=1时,Δ=16>0,从而直线AB方程为x-y+1=0.
(2)证明:
按同样方法求得k=2,而当k=2时,Δ<0,所以这样的直线不存在.
培养能力
7.双曲线kx2-y2=1,右焦点为F,斜率大于0的渐近线为l,l与右准线交于A,FA与左准线交于B,与双曲线左支交于C,若B为AC的中点,求双曲线方程.
解:
由题意k>0,c=,渐近线方程l为y=x,
准线方程为x=±,于是A(,),
直线FA的方程为y=,于是B(-,).
由B是AC中点,则xC=2xB-xA=-,yC=2yB-yA=.
将xC、yC代入方程kx2-y2=1,得k2c4-10kc2+25=0.
解得k(1+)=5,则k=4.
所以双曲线方程为4x2-y2=1.
8.(理)已知l1、l2是过点P(-,0)的两条互相垂直的直线,且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点,分别为A1、B1和A2、B2.
(1)求l1的斜率k1的取值范围;
(2)若|A1B1|=|A2B2|,求l1、l2的方程.
解:
(1)显然l1、l2斜率都存在,否则l1、l2与曲线不相交.设l1的斜率为k1,则l1的方程为y=k1(x+).
联立得
y=k1(x+),
y2-x2=1,消去y得
(k12-1)x2+2k12x+2k12-1=0.①
根据题意得k12-1≠0,②
Δ1>0,即有12k12-4>0.③
完全类似地有-1≠0,④
Δ2>0,即有12·-4>0,⑤
从而k1∈(-,-)∪(,)且k1≠±1.
(2)由弦长公式得|A1B1|=.⑥
完全类似地有|A2B2|=.⑦
∵|A1B1|=|A2B2|,∴k1=±,k2=.从而
l1:
y=(x+),l2:
y=-(x+)或l1:
y=-(x+),l2:
y=(x+).
(文)在双曲线-=1上求一点M,使它到左右两焦点的距离之比为3∶2,并求M点到两准线的距离.
解:
设M(x1,y1),左右两焦点F1、F2,由双曲线第二定义得
|MF1|=ex1+a,|MF2|=ex1-a,
由已知2(ex1+a)=3(ex1-a),
把e=,a=4代入,得x1=16,y1=±3.
∴点M的坐标为(16,±3).
双曲线准线方程为x=±=±.
∴M(16,±3)到准线的距离为12或19.
探究创新
9.(xx年春季上海)已知椭圆具有性质:
若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C′:
-=1写出具有类似特性的性质,并加以证明.
解:
类似的性质为若MN是双曲线-=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),其中-=1.
又设点P的坐标为(x,y),
由kPM=,kPN=,得kPM·kPN=·=,
将y2=x2-b2,n2=m2-b2,代入得kPM·kPN=.
评注:
本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质,考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目,对思维能力有较高的要求.
●思悟小结
本节重点是求双曲线方程及由双曲线方程求基本量,难点是双曲线的灵活运用.解决本节问题应注意以下几点:
1.由给定条件求双曲线的方程,常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式(含有参数),再由题设条件确定参数值,应特别注意:
(1)当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,应防止遗漏;
(2)已知渐近线的方程bx±ay=0,求双曲线方程,可设双曲线方程为b2x2-a2y2=λ(λ≠0),根据其他条件确定λ的值.若求得λ>0,则焦点在x轴上,若求得λ<0,则焦点在y轴上.
2.由已知双曲线的方程求基本量,注意首先应将方程化为标准形式,再计算,并要特别注意焦点位置,防止将焦点坐标和准线方程写错.
3.解题中,应重视双曲线两种定义的灵活应用,以减少运算量.
●教师下载中心
教学点睛
本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程、准线方程、第二定义的应用.关键是准确理解和掌握有关概念,灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想.为此建议在教学中注意以下几点:
1.双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如下图),它的三边长分别是a、b、c.易见c2=a2+b2,若记∠AOB=θ,则e==.
2.双曲线的定义用代数式表示为||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|,这里要注意两点:
(1)距离之差的绝对值.
(2)2a<|F1F2|,这两点与椭圆的定义有本质的不同.
当|MF1|-|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点F2所对应的一支;
当|MF1|-|MF2|=-2a时,曲线仅表示焦点F1所对应的一支;
当2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线;
当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.
3.参数a、b是双曲线的定形条件,两种标准方程中,总有a>0,b>0;双曲线焦点位置决定标准方程的类型;a、b、c的关系是c2=a2+b2;在方程Ax2+By2=C中,只要AB<0且C≠0,就是双曲线的方程.
4.在运用双曲线的第二定义时,一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的,则上述之比就不再是常数了.
5.给定了双曲线方程,就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程,只是限制了双曲线张口的大小,不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是±=0,则可把双曲线方程表示为-=λ(λ≠0),再根据已知条件确定λ的值,求出双曲线的方程.
拓展题例
【例1】已知双曲线-=1的离心率e>1+,左、右焦点分别为F1、F2,左准线为l,能否在双曲线的左支上找一点P,使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?
解:
设在左支上存在P点,使|PF1|2=|PF2|·d,由双曲线的第二定义知
==e,即|PF2|=e|PF1|.①
再由双曲线的第一定义,得|PF2|-|PF1|=2a.②
由①②,解得|PF1|=,|PF2|=,
∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,
∴+≥2c.③
利用e=,由③得e2-2e-1≤0,
解得1-≤e≤1+.
∵e>1,∴1
∴在双曲线的左支上找不到点P,使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项.
【例2】设双曲线的中心在原点,准线平行于x轴,离心率为,且点P(0,5)到此双曲线上的点的最近距离为2,求双曲线的方程.
分析:
由双曲线中心在原点,准线平行于x轴,可设双曲线的方程为-=1.
由离心率为,可得a2+b2=(a)2=c2.
由点P(0,5)到此双曲线上的点的最近距离为2,可转化为二次函数的最大(小)值问题来讨论,得到a、b应满足的另一关系式.从而求出a2、b2,本题得解.
解:
依题意,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
∵e==,c2=a2+b2,∴a2=4b2.
设M(x,y)为双曲线上任一点,则|PM|2=x2+(y-5)2
=b2(-1)+(y-5)2=(y-4)2+5-b2(|y|≥2b).
①若4≥2b,则当y=4时,|PM|min2=5-b2=4,得b2=1,a2=4.
从而所求双曲线方程为-x2=1.
②若4<2b,则当y=2b时,|PM|min2=4b2-20b+25=4,
得b=(舍去b=),b2=,a2=49.
从而所求双曲线方程为-=1.
2019-2020年高考数学一轮复习8.3抛物线教案
●知识梳理
定义
到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹
方程
1.y2=2px(p≠0),焦点是F(,0)
2.x2=2py(p≠0),焦点是F(0,)
性质
S:
y2=2px(p>0)
1.范围:
x≥0
2.对称性:
关于x轴对称
3.顶点:
原点O
4.离心率:
e=1
5.准线:
x=-
6.焦半径P(x,y)∈S,|PF|=x+
思考讨论
对于抛物线x2=2py(p>0),其性质如何?
焦半径公式如何推导?
●点击双基
1.(xx年春季北京)在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为
A.B.1C.2D.4
解析:
抛物线的准线方程为x=-,由抛物线的定义知4+=5,解得P=2.
答案:
C
2.设a≠0,a∈R,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为
A.(a,0)B.(0,a)
C.(0,)D.随a符号而定
解析:
化为标准方程.
答案:
C
3.以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为
A.相交B.相离
C.相切D.不确定
解析:
利用抛物线的定义.
答案:
C
4.以椭圆+=1的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点,则|AB|的值为___________.
解析:
中心为(0,0),左准线为x=-,所求抛物线方程为y2=x.又椭圆右准线方程为x=,联立解得A(,)、B(,-).∴|AB|=.
答案:
5.(xx年全国)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)
解析:
由抛物线方程y2=10x可知②⑤满足条件.
答案:
②⑤
●典例剖析
【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上.
剖析:
从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析,一般需确定p和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论.
解:
(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),
∵过点(-3,2),∴4=-2p(-3)或9=2p·2.
∴p=或p=.
∴所求的抛物线方程为y2=-x或x2=y,前者的准线方程是x=,后者的准线方程是y=-.
(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).
当焦点为(4,0)时,=4,∴p=8,此时抛物线方程y2=16x;
焦点为(0,-2)时,=2,
∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.
∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y,对应的准线方程分别是x=-4,y=2.
评述:
这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论,先入为主,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去一解.
【例2】如下图所示,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
剖析:
由题意所求曲线段是抛物线的一部分,求曲线方程需建立适当的直角坐标系,设出抛物线方程,由条件求出待定系数即可,求出曲线方程后要标注x、y的取值范围.
解:
以直线l1为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点.
设曲线段C的方程为y2=2px(p>0)(xA≤x≤xB,y>0),其中xA、xB为A、B的横坐标,p=|MN|,
所以M(-,0)、N(,0).
由|AM|=,|AN|=3,得(xA+)2+2pxA=17,①
(xA-)2+2pxA=9.②
①②联立解得xA=,代入①式,并由p>0,
或
解得
p=4,p=2,
xA=1xA=2.
因为△AMN为锐角三角形,所以>xA.
所以
故舍去
P=2,P=4,
xA=2.xA=1.
由点B在曲线段C上,得xB=|BN|-=4.
综上,曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>0).
评述:
本题体现了坐标法的基本思路,考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤,综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.
【例3】设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
剖析:
证直线AC经过原点O,即证O、A、C三点共线,为此只需证kOC=kOA.本题也可结合图形特点,由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.
证法一:
设AB:
x=my+,代入y2=2px,得y2-2pmy-P2=0.
由韦达定理,得yAyB=-p2,即yB=-.
∵BC∥x轴,且C在准线x=-上,
∴C(-,yB).
则kOC====kOA.
故直线AC经过原点O.
证法二:
如下图,记准线l与x轴的交点为E,过A作AD⊥l,垂足为D.
则AD∥EF∥BC.连结AC交EF于点N,则==,=.
∵|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,
∴|EN|===|NF|,
即N是EF的中点.从而点N与点O重合,故直线AC经过原点O.
评述:
本题的“几何味”特别浓,这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中,关键是得到yA·yB=-p2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识,这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视,也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.
思考讨论
本题也可用平面向量来证明,读者不妨一试.
●闯关训练
夯实基础
1.(xx年高考·新课程)设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为
A.[0,]B.[0,]
C.[0,||]D.[0,||]
解析:
tanα=k=f′(x)=2ax+b,∴0≤2ax0+b≤1.∴0≤x0+≤.
答案:
B
2.(xx年
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- 高考数学一轮复习 82 双曲线教案 高考 数学 一轮 复习 双曲线 教案
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