高三数学第二次联考试题卷附答案.docx
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高三数学第二次联考试题卷附答案
高三数学第二次联考试题卷
数学(理工类)
考试时量:
120分钟,试卷满分:
150分.
参考公式:
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B={1,3,6},则A∩()等于()
A.{4,5}B.{2,4,5,7}
C.{1,6}D.{3}
2.若、是两条不重合直线,、是两个不重合的平面,则∥的一个充分而不必要条件是()
(A),,∥且b∥(B),,且a∥b
(C),,且∥(D)∥,∥,且a∥b
3.在等差数列中,,,若,则的最小值为()
(A)60(B)62(C)70(D)72
4.已知,,且满足,则下列不等式恒成立的是()
(A)(B)(C)(D)
5.以直线y=-x+1与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为()
Ax2=4y或y2=4xBx2=2y或y2=2x
Cx2=-4y或y2=-4xDx2=2y或y2=-2x
6.定义:
|a×b|=|a||b|sin,其中为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=–6,则|a×b|=()
A.-8B.8C.8或–8D.6
7.已知与的图象如图所示,
则函数的图象可以是
8.在某城市中,A、B两地有如右图所示道路网,从A地到B地最近的走法有()种
A25BCD
9.一个三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直,且长度分别为1,,3,则这个三棱锥的外接球的表面积为()
(A)16π(B)32π(C)36π(D)64π
10.定义在R上的函数f(x),给出下列四个命题:
1若f(x)是偶函数,则f(x+3)的图象关于直线x=-3对称;
2若f(x+3)=-f(3-x),则f(x)的图象关于点(3,0)对称;
3若f(x+3)是偶函数,则f(x)的图象关于直线x=3对称;
4y=f(x+3)与y=f(3-x)的图象关于直线x=3对称.
其中正确命题的个数有()
A0B1C2D3
试题卷 第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分。
将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上。
11.设i是虚数单位,则的虚部为 。
12.已知变量、满足则的最大值为__________。
13.若的展开式的第7项为,则
14.已知服从正态分布N(5,4),那么P()=____________.
15.对于一切实数x,令[x]为不大于x的最大整数,则函数称为高斯函数或取整函数,如f(2.1)=2;若为数列的前n项和,则=____________.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本大题满分12分)
已知锐角△ABC中,三个内角为A、B、C,两向量,,若与是共线向量,
(1)∠A的大小;
(2)求函数取最大值时,∠B的大小
17.(本大题满分13分)
有A,B,C,D四个城市,它们都有一个著名的旅游点依此记为a,b,c,d把A,B,C,D和a,b,c,d分别写成左、右两列,现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来,构成“一一对应”,已知连接一个城市与该城市的旅游点正确的得2分,连错的得0分;
(1)求该爱好者至少得2分的概率;
(2)求所得分的数学期望?
18.(本大题满分13分)在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.
(1)证明:
AC⊥SB;
(2)求二面角N—CM—B的大小;
(3)求点B到平面CMN的距离.
19.(本大题满分14分)
通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知:
(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?
能持续多少分钟?
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时学生的注意力更集中?
(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?
20.(本大题满分14分)
已知椭圆:
的左、右焦点分别为,,右顶点为A,P是椭圆上任意一点,设该双曲线:
以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点,B是双曲线在第一象限内的任意一点,且。
(1)设的最大值为,求椭圆离心率;
(2)若椭圆离心率时,证明:
总有成立。
21.(本大题满分14分)
已知函数(a为实常数).
(1)当a=0时,求的最小值;
(2)若在上是单调函数,求a的取值范围;
(3)设各项为正的无穷数列满足证明:
≤1(n∈N*).
参考答案:
一.1、A,2、C,3、B,4、D,5、C,6、B,7、A,8、C,9、A,10、D
二.11、-3;.12、1;13、14、15、
三.
16.解:
……(2’)
整理得:
……………………………(4’)
又A为锐角,…………………(6’)
(2)由
(1)知………………………(7’)
故
……………………………(12’)
当B=600时,Y取得最大值。
……………………(13’)
17.设答对题的个数为y,得分为,y=0,1,2,4,=0,2,4,8………(1’)
∵,,
0
2
4
8
P
,……………………………………9分
则的分布列为
…………………………………10分
(2)E=…………………………12分
答:
该人得分的期望为2分……………………………………………………13分
18.解:
(1)取AC中点D,连结SD、DB.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥BD,
∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,
∴AC⊥SB-----------4分
(2)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,
过E作EF⊥CM于F,连结NF,
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角---------------6分
∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.
∵SN=NB,
∴NE=SD===,且ED=EB.
在正△ABC中,由平几知识可求得EF=MB=,
在Rt△NEF中,tan∠NFE==2,
∴二面角N—CM—B的大小是arctan2-----------------------8分
(3)在Rt△NEF中,NF==,
∴S△CMN=CM·NF=,
S△CMB=BM·CM=2-------------11分
设点B到平面CMN的距离为h,
∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,
∴S△CMN·h=S△CMB·NE,∴h==.
即点B到平面CMN的距离为--------13分
19.
(1)解:
当0<t≤10时,
是增函数,且3分
当20<t≤40时,是减函数,且6分
所以,讲课开始10分钟,学生的注意力最集中,能持续10分钟7分
(2)解:
,所以,讲课开始25分钟时,学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中9分
(3)当0<t≤10时,令得:
10分
当20<t≤40时,令得:
12分
则学生注意力在180以上所持续的时间
所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题14分
20.解:
(1)设又
又得
当时最大值为。
故
………………………(6’)
(2)由椭圆离心率得双曲线
设则……………(7’)
1当AB⊥x轴时,
.…………(9’)
②当时.
………………………………………………(12’)
又与同在或内……………(13’)
=
总=有成立。
…………………………(14’).
21.
(1)
当a≥0时,在[2,+∞)上恒大于零,即,符合要求;2分
当a<0时,令,g(x)在[2,+∞)上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或,解得:
a≤
∴a的取值范围是6分
(2)a=0时,
当0<x<1时,当x>1时,∴8分
(3)反证法:
假设x1=b>1,由,
∴
故
,即 ①
又由
(2)当b>1时,,∴
与①矛盾,故b≤1,即x1≤1
同理可证x2≤1,x3≤1,…,xn≤1(n∈N*)14分
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- 数学 第二次 联考 试题 答案