第3章 函数的应用 章末复习课章末检测同步精品学案 新人教A版必修1.docx
- 文档编号:8196922
- 上传时间:2023-01-29
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:146.79KB
第3章 函数的应用 章末复习课章末检测同步精品学案 新人教A版必修1.docx
《第3章 函数的应用 章末复习课章末检测同步精品学案 新人教A版必修1.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第3章 函数的应用 章末复习课章末检测同步精品学案 新人教A版必修1.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第3章函数的应用章末复习课章末检测同步精品学案新人教A版必修1
章末复习课
1.方程的根与函数的零点:
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
2.零点判断法
如果函数v=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
3.用二分法求零点的近似值的步骤
第1步:
确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;
第2步:
求区间(a,b)的中点x1;
第3步:
计算f(x1);
(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
(2)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1[此时零点x0∈(a,x1)];
(3)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1[此时零点x0∈(x1,b)].
第4步:
判断是否达到精确度ε:
即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复第2、3、4步.
4.函数模型的应用实例
解函数应用问题,一般地可按以下四步进行:
第1步:
阅读理解、认真审题.
第2步:
引进数学符号,建立数学模型.
第3步:
利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果.
第4步:
再转译成具体问题作出回答.
一、关于函数的零点与方程根的关系问题
一般结论:
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
例1 对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0.则函数f(x)在区间(a,b)内( )
A.一定有零点 B.一定没有零点
C.可能有两个零点D.至多有一个零点
答案 C
解析 抛物线y=f(x)的开口向上,与x轴可能有两个交点.
例2 设函数f(x)=ax2+bx+c,且f
(1)=-
,3a>2c>2b,求证:
(1)a>0且-3<
<-
;
(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;
(3)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,则
≤|x1-x2|<
.
证明
(1)∵f
(1)=a+b+c=-
,∴3a+2b+2c=0.
又3a>2c>2b,∴3a>0,2b<0,
∴a>0,b<0.又2c=-3a-2b,
由3a>2c>2b,∴3a>-3a-2b>2b.
∵a>0,∴-3<
<-
.
(2)∵f(0)=c,f
(2)=4a+2b+c=a-c,
①当c>0时,∵a>0,∴f(0)=c>0,
且f
(1)=-
<0.
∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点.
②当c≤0时,∵a>0,∴f
(1)=-
<0,
且f
(2)=a-c>0.
∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.
综合①②得,f(x)在(0,2)内至少有一个零点.
(3)∵x1,x2是函数f(x)的两个零点,
则x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根.
∴x1+x2=-
,x1x2=
=-
-
.
∴|x1-x2|=
=
=
.
∵-3<
<-
,∴
≤|x1-x2|<
.
二、函数模型及其应用
例3 在某服装批发市场,季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为10元,并且每周(7天)涨价2元,5周后开始保持20元的价格平稳销售;10周后当季节即将过去时,平均每周降价2元,直到16周周末,该服装已不再销售.
(1)试建立价格P(元)与周次t之间的函数关系式;
(2)若此服装每周进价Q(元)与周次t之间的关系式.
Q=-0.125(t-8)2+12,t∈[0,16],t∈N*,试问该服装第几周销售利润最大?
解
(1)当t∈[0,5]时,P=10+2t;
当t∈(5,10]时,P=20;
当t∈(10,16]时,P=40-2t.
所以P=
(2)由于每件销售利润为:
售价-进价,
所以每件销售利润L=P-Q.
所以,当t∈[0,5]时,L=10+2t+0.125(t-8)2-12
=0.125t2+6,当t=5时,L取得最大值9.125;
当t∈(5,10]时,L=20+0.125(t-8)2-12
=0.125t2-2t+16,
当t=5时,L取得最大值9.125;
当t∈(10,16]时,
L=40-2t+0.125(t-8)2-12=0.125t2-4t+36,
当t=10时,L取得最大值8.5.
因此,该服装第5周每件销售利润最大.
一、选择题
1.不论m为何值时,函数f(x)=x2-mx+m-2的零点有( )
A.2个 B.1个 C.0个 D.都有可能
答案 A
解析 ∵Δ=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>0,
∴f(x)=0有两个不等的实根.
2.二次函数y=x2+px+q的零点为1和m,且-1 A.p>0且q<0B.p>0且q>0 C.p<0且q>0D.p<0且q<0 答案 D 解析 由已知得f(0)<0,- >0,解得q<0,p<0. 3.下列图中图象对应的函数可用二分法确定出零点的是( ) 答案 B 4.若y=ax2+bx+c(a<0)中,两个零点x1<0,x2>0,且x1+x2>0,则( ) A.b>0,c>0B.b>0,c<0 C.b<0,c>0D.b<0,c<0 答案 A 解析 由已知可得f(0)>0,即c>0,- >0,b>0. 5.函数f(x)=2x+2x-6的零点个数为( ) A.0B.1C.2D.3 答案 B 解析 ∵f (1)<0,f (2)>0,且f(x)单调递增, ∴f(x)只有唯一零点在区间(1,2)内. 二、填空题 6.函数y=x3-x的零点是________. 答案 1,0,-1 7.某商店将原价2640元的彩电以9折售出后仍可获利20%,则该种彩电每台的进价为________元. 答案 1980 8.函数y=x2与函数y=xlnx在(0,+∞)上增长较快的一个是________. 答案 y=x2 三、解答题 9.某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55元~0.75元之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)元成反比例.又当x=0.65元时,y=0.8. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%? [收益=用电量×(实际电价-成本价)] 解 (1)∵y与x-0.4成反比例, ∴设y= (k≠0). 把x=0.65,y=0.8代入上式, 得0.8= ,∴k=0.2. ∴y= = . 即y与x之间的函数关系式为y= . (2)根据题意,得 ·(x-0.3) =1×(0.8-0.3)×(1+20%). 整理,得x2-1.1x+0.3=0.解得x1=0.5,x2=0.6. 经检验x1=0.5,x2=0.6都是所列方程的根. 因x的取值范围是0.55~0.75之间,故x=0.5不符合题意,应舍去. 所以,取x=0.6. 答 当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%. 10.已知函数f(x)=x-ln(x+2),证明: 函数f(x)在[e-2-2,e4-2]内至少有两个零点. 证明 f(e-2-2)=e-2>0,f(e4-2)=e4-6>0. f(0)=-ln2<0,又函数f(x)=x-ln(x+2)在[e-2-2,e4-2]内的图象是连续的,所以函数f(x)在[e-2-2,e4-2]内至少有两个零点.章末检测 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实数根,则f(-1)·f (1)的值( ) A.大于0B.小于0 C.无法判断D.等于零 答案 C 解析 由题意不能断定零点在区间(-1,1)内部还是外部. 2.函数f(x)=x2-3x-4的零点是( ) A.(1,-4)B.(4,-1) C.1,-4D.4,-1 答案 D 解析 由x2-3x-4=0,得x1=4,x2=-1. 3.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)-1没有零点的是( ) 答案 C 解析 把y=f(x)的图象向下平移1个单位后,只有C图中图象与x轴无交点. 4.方程x3+3x-3=0的解在区间( ) A.(0,1)内B.(1,2)内 C.(2,3)内D.以上均不对 答案 A 解析 将函数y1=x3和y2=3-3x的图象在同一坐标系中画出,可知方程的解在(0,1)内. 5.已知f(x)、g(x)均为[-1,3]上连续不断的曲线,根据下表能判断方程f(x)=g(x)有实数解的区间是( ) x -1 0 1 2 3 f(x) -0.677 3.011 5.432 5.980 7.651 g(x) -0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 A.(-1,0)B.(0,1) C.(1,2)D.(2,3) 答案 B 解析 令φ(x)=f(x)-g(x),φ(0)=f(0)-g(0)<0. φ (1)=f (1)-g (1)>0 且f(x),g(x)均为[-1,3]上连续不断的曲线, 所以φ(x)的图象. 在[-1,3]上也连续不断,因此选B. 6.某人从甲地去乙地,一开始跑步前进,后来步行,图中横轴表示走的时间,纵轴表示此人距乙地的距离,则较符合该人走法的图是( ) 答案 D 解析 此人距乙地越来越近,故排除A、C,又先跑后步行,因而开始时速率变化大,故选D. 7.据报道,青海湖的湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2008年的湖水量为m,从2008起,过x年后湖水量y与x的函数关系式为( ) A.y=0.9 B.y=(1-0.1 )m C.y=0.9 ·mD.y=(1-0.150x)m 答案 C 解析 设湖水量每年为上一年的q%,则(q%)50=0.9,所以q%=0.9 ,即x年后湖水量为y=0.9 ·m. 8.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( ) A.10%B.15%C.18%D.20% 答案 D 9.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(2,16),(2,8),(2,4)内,那么下列命题中正确的是( ) A.函数f(x)在区间(2,3)内有零点 B.函数f(x)在区间(2,3)或(3,4)内有零点 C.函数f(x)在(3,16)内无零点 D.函数f(x)在区间(4,16)内无零点 答案 D 10.某城市为保护环境,维护水资源,鼓励职工节约用水,作出了如下规定: 每月用水不超过8吨,按每吨2元收取水费;每月超过8吨,超过部分加倍收费,某职工某月缴费20元,则该职工这个月实际用水( ) A.10吨B.13吨C.11吨D.9吨 答案 D 解析 设该职工该月实际用水为x吨,易知x>8. 则水费y=16+2×2(x-8)=4x-16=20,∴x=9. 11.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)=1.06×(0.50×[m]+1)给出,其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4,[5.1]=6).则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为( ) A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77 答案 C 解析 ∵[5.5]=6, ∴f(5.5)=1.06×(0.50×6+1)=4.24. 12.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况: 一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如f (2)=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元;g (2)=3表示2小时内的平均价格为3元,下面给出了四个图象,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中可能正确的是( ) 答案 C 解析 A选项中即时价格越来越小时,而平均价格在增加,故不对;而B选项中即时价格在下降,而平均价格不变化,不正确.D选项中平均价格不可能越来越高,排除D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________. 答案 - 和- 解析 2和3是方程x2-ax-b=0的两根, 所以a=5,b=-6, ∴g(x)=-6x2-5x-1. 令g(x)=0得x1=- ,x2=- . 14.若一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0)的两根x1、x2满足m 答案 < 解析 ∵a>0,∴f(x)的图象开口向上, ∴f(m)>0,f(n)<0,f(p)>0,∴f(m)·f(n)·f(p)<0. 15.下表列出了一项试验的统计数据,表示将皮球从高h米处落下,弹跳高度d与下落高度h的关系. h(米) 50 80 100 150 … d(米) 25 40 50 75 … 写出一个能表示这种关系的式子为________. 答案 d= 16.我国股市中对股票的股份实行涨、跌停制度,即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票连续四个交易中日前两日每天涨停,后两日每天跌停,则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是________. 答案 跌了1.99% 解析 (1+10%)2·(1-10%)2=0.9801, 而0.9801-1=-0.0199,即跌了1.99%. 三、解答题(本大题共6小题,共74分) 17.(12分)用二分法求方程x3+3x-5=0的一个近似解(精确度0.1). 解 f(0)=-5,f (1)=-1,f (2)=9,f(3)=31. 所以f(x)在区间(1,2)内存在零点x0. 区间 中点m f(m)的符号 区间长度 (1,2) 1.5 + 1 (1,1.5) 1.25 + 0.5 (1,1.25) 1.125 - 0.25 (1.125,1.25) 1.1875 + 0.125 (1.125,1.1875) 0.0625 ∵|1.875-1.125|=0.0625<0.1, ∴x0可取为1.125(不唯一). 18.(12分)某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地,在B地停留1h后,再以50km/h的速度返回A地,将汽车离开A地的路程x(km)表示为时间t(h)(从A地出发时开始)的函数,并画出函数的图象;再将车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数,并画出函数的图象. 解 汽车离开A地的距离与时间t(h)之间的关系为 x= 它的图象如图甲. 车速v(km/h)与时间t(h)的函数关系式为 v= 它的图象如图乙. 19.(12分)若方程x2-ax+2=0有且仅有一个根在区间(0,3)内,求a的取值范围. 解 令f(x)=x2-ax+2,则方程x2-ax+2=0有且仅有一个根在区间(0,3)内⇔ 或f(0)·f(3)<0⇔a=2 或a> . 20.(12分)已知函数f(x)=x-1+ x2-2,试利用基本初等函数的图象,判断f(x)有几个零点,并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1). 解 由f(x)=0,得x-1=-_x2+2,令y1=x-1,y2=-_x2+2, 分别画出它们的图象如图,其中抛物线顶点为(0,2), 与x轴交于点(-2,0)、(2,0),y1与y2的图象有3个交点,从而函数y=f(x)有3个零点. 由f(x)的解析式知x≠0,f(x)的图象在(-∞,0)和(0,+∞)上分别是连续不断的曲线, 且f(-3)= >0,f(-2)= <0, f = >0,f (1)= <0,f (2)= >0, 即f(-3)·f(-2)<0,f ·f (1)<0,f (1)·f (2)<0, ∴三个零点分别在区间(-3,-2)、 、(1,2)内. 21.(12分) 某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示). (1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式; (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.试用销售单价x表示利润S;并求销售单价定为多少时,该公司可获得最大毛利润? 最大毛利润是多少? 此时的销售量是多少? 解 (1)由图象知,当x=600时,y=400; 当x=700时,y=300, 代入y=kx+b中,得 , 解得 . ∴y=-x+1000(500≤x≤800). (2)销售总价=销售单价×销售量=xy, 成本总价=成本单价×销售量=500y, 代入求毛利润的公式,得 S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000) =-x2+1500x-500000 =-(x-750)2+62500(500≤x≤800). ∴当销售单价为750元/件时,可获得最大毛利润62500元,此时销售量为250件. 22.(14分)某农产品从5月1日起开始上市,通过市场调查,得到该农产品种植成本Q(单位: 元/102kg)与上市时间t(时间: 天)的数据如下表: 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系: Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt; (2)利用你选取的函数,求该农产品种植成本最低时的上市时间及最低种植成本. 解 (1)由表中提供的数据知道,描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常函数,从而用函数Q=at+b,Q=abt,Q=alogbt中的任一个进行描述时都应有a≠0,而此时上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以,应选取二次函数Q=at2+bt+c(a≠0,当a=0时,为单调函数)进行描述. 将表格所提供的三组数据分别代入Q=at2+bt+c, 得到: . 解上述方程组得a= ,b=- ,c= , 所以,描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q= t2- t+ . (2)当t=- =150(天)时,该农产品种植成本最低为Q= ×1502- ×150+ =100(元/102kg). 所以,该农产品种植成本最低时的上市时间为150天,最低种植成本为100元/102kg.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第3章 函数的应用 章末复习课章末检测同步精品学案 新人教A版必修1 函数 应用 复习 课章末 检测 同步 精品 新人 必修