北京市因动点产生的相似三角形问题压轴题培优二次函数.docx

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北京市因动点产生的相似三角形问题压轴题培优二次函数

因动点产生的相似三角形问题

例1宝山区嘉定区中考模拟第24题

如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A（2,m）．

（1）求k与m的值；

（2）此双曲线又经过点B（n,2），过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；

（3）在

（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．

图1

思路点拨

1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．

2．求△ABC的面积，一般用割补法．

3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．

满分解答

（1）将点A（2,m）代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为（2,4）．

将点A（2,4）代入，得k＝8．

（2）将点B（n,2），代入，得n＝4．

所以点B的坐标为（4,2）．

设直线BC为y＝x＋b，代入点B（4,2），得b＝－2．

所以点C的坐标为（0,－2）．

由A（2,4）、B（4,2）、C（0,－2），可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．

所以AB＝，BC＝，∠ABC＝90°．图2

所以S△ABC＝＝＝8．

（3）由A（2,4）、D（0,2）、C（0,－2），得AD＝，AC＝．

由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．

所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：

①如图3，当时，CE＝AD＝．

此时△ACD≌△CAE，相似比为1．

②如图4，当时，．解得CE＝．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E（10,8）．

图3图4

考点伸展

第

（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．

一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．

如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．

由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．

图5

例2北京市中考第24题

如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；

（3）试证明：

PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

图1图2

思路点拨

1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．

2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．

3．PQ的中点H在哪条中位线上？

画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．

满分解答

（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．

△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：

①如果，那么．解得t＝1．

②如果，那么．解得．

图3图4

（2）作PD⊥BC，垂足为D．

在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．

当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．

所以，即．解得．

图5图6

（3）如图6，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．

由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．

又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．

因此F是BC的中点，E是AB的中点．

所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．

考点伸展

本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．

如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是，．

如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是，t＝1．

如图9，当⊙H与AC相切时，直径，

半径等于FC＝4．所以．

解得，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）．

图7图8图9图10

例3北京市中考第29题

如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第

（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．

满分解答

（1）B的坐标为（b,0），点C的坐标为（0,）．

（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．

因此PD＝PE．设点P的坐标为（x,x）．

如图3，联结OP．

所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．

解得．所以点P的坐标为（）．

图2图3

（3）由，得A（1,0），OA＝1．

①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．

当，即时，△BQA∽△QOA．

所以．解得．所以符合题意的点Q为（）．

②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。

因此△OCQ∽△QOA．

当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．

所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q（1,4）．

图4图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．

如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．

例4黄冈市中考模拟第25题

如图1，已知抛物线的方程C1：

（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M（2,2），求实数m的值；

（2）在

（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在

（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？

若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

2．第（4）题的解题策略是：

先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．

满分解答

（1）将M（2,2）代入，得．解得m＝4．

（2）当m＝4时，．所以C（4,0），E（0,2）．

所以S△BCE＝．

（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

设对称轴与x轴的交点为P，那么．

因此．解得．所以点H的坐标为．

（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．

设点F的坐标为，由，得．

解得x＝m＋2．所以F′（m＋2,0）．

由，得．所以．

由，得．

整理，得0＝16．此方程无解．

图2图3图4

②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，

由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．

在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．

解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．

由，得．解得．

综合①、②，符合题意的m为．

考点伸展

第（4）题也可以这样求BF的长：

在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．

例5上海市中考第24题

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；

（3）在图1中，设点D的坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

图1图2

思路点拨

1．第

（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．

2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．

3．第（3）题的示意图，不变的关系是：

直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．

满分解答

（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）．

（2）梯形O1A1B1C1的面积，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．

当S=36时，解得此时点A1的坐标为（6，3）．

（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．

在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．

在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．

因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．

由于，，所以．解得．

图3图4

考点伸展

第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？

如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．

例6临沂市中考第26题

如图1，抛物线经过点A（4，0）、B（1，0）、C（0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

图1

思路点拨

1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．

2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．

3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．

4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A（4，0）、B（1，0）两点，设抛物线的解析式为，代入点C的坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为．

（2）设点P的坐标为．

①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．

如果，那么．解得不合题意．

如果，那么．解得．

此时点P的坐标为（2，1）．

②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．

解方程，得．此时点P的坐标为．

解方程，得不合题意．

③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．

解方程，得．此时点P的坐标为．

解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．

综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或或．

图2图3图4

（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．

设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．

因此．

当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．

图5图6

考点伸展

第（3）题也可以这样解：

如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．

设点D的横坐标为（m，n），那么

．

由于，所以．

例7.上海市中考第24题

如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连结OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

图1

思路点拨

1．第

（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．

2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．

3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．

满分解答

（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．

在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，

所以AH＝1，OH＝．所以A．

因为抛物线与x轴交于O、B（2,0）两点，

设y＝ax（x－2），代入点A，可得．图2

所以抛物线的表达式为．

（2）由，

得抛物线的顶点M的坐标为．所以．

所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．

（3）由A、B（2,0）、M，

得，，．

所以∠ABO＝30°，．

因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．

△ABC与△AOM相似，存在两种情况：

①如图3，当时，．此时C（4,0）．

②如图4，当时，．此时C（8,0）．

图3图4

考点伸展

在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．

如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为（－4,0）．

图5

例8.盐城市中考第28题

如图1，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点.

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）如图1，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；

（3）如图2，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t<2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．

思路点拨

1．第

（2）题把点Q到直线AB的距离转化到竖直的线段上来，构造等腰直角三角形．

2．第（3）题先确定∠BQP＝45°，其中点B关于y轴对称的点Q一目了然．另一个点Q根据同弧所对的圆周角容易确定存在，但是计算比较麻烦.

3．对于每一个点Q，根据对应边成比例，又存在两个点T．

满分解答

（1）因为直线AB经过P（0，2），与x轴交于点（-2，0），所以它的解析式是y=x+2.

（2）如图3，作QH⊥AB于H，过点Q作y轴的平行线交AB于M，那么△QMH是等腰直角三角形，当QM最大时，QH也最大.

设、，那么

.

因此当时，QM的最大值为.

所以点Q到直线AB的距离的最大值为.

（3）联立和，解得A（－1，1）、B（2，4）.所以.

在△PAT中∠APT=45°为定值.所以△PBQ中必须有一个角为45°.

如图4，过点B作x轴的平行线与y轴交于点F（0，4），与抛物线的另一个交点为Q，那么△PBF和△PBQ都是等腰直角三角形，Q（－2，4）.

以F为圆心，FQ为半径的圆与抛物线左半侧的另一个交点，根据同弧所对的圆周角相等，符合.

设，那么.

根据列方程.

解得，或.所以Q（－2，4）、.

①如图5，当Q（－2，4）时，△PBQ是等腰直角三角形，所以

△PAT也是等腰直角三角形.此时T（0,0），或（0,1）.所以,或.

②如图6，当时，由B（2，4）、P（0，2），可得

.

所以,.

当时，，解得.

当时,，解得.

综上可得，满足条件的t有0、1、、.

考点伸展

如图7这样计算点的坐标比较简单一些：

已知B（2，4）、Q（－2，4），设.由,得.

化简，得，解得.点Q的坐标作为增根已经舍去了。

【强化训练】

1.如图，抛物线与轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与轴交于点D，顶点为C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

2.如图，抛物线与轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与轴交于点C.动直线EF（EF//轴）从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴负方向平移，且分别交轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动.是否存在的值，使得△BPF与△ABC相似？

若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。