《高中数学新课程标准解读》第三部分 内容标准必修课程.docx
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《高中数学新课程标准解读》第三部分内容标准必修课程
《高中数学新课程标准解读》第三部分内容标准(必修课程)
第三部分内容标准
一、必修课程
必修课程是整个高中数学课程的基础,包括5个模块,共10学分,是所有学生都要学习的内容。
其内容的确定遵循两个原则:
一是满足未来公民的基本数学需求;二是为学生进一步的学习提供必要的数学准备。
5个模块的内容为:
数学1:
集合、函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数);
数学2:
立体几何初步、平面解析几何初步;
数学3:
算法初步、统计、概率;
数学4:
基本初等函数II(三角函数)、平面上的向量、三角恒等变换;
数学5:
解三角形、数列、不等式。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。
不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
向量是近代数学最重要和最基本的概念之一,是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁,它具有丰富的实际背景和广泛的应用。
现代社会是一个信息化的社会,人们常常需要根据所获取的数据提取信息,做出合理的决策,在必修课程中将学习统计与概率的基本思想和基础知识,它们是公民的必备常识。
算法是一个全新的课题,已经成为计算科学的重要基础,它在科学技术和社会发展中起着越来越重要的作用。
算法的思想和初步知识,也正在成为普通公民的常识。
在必修课程中将学习算法的基本思想和初步知识,算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分。
必修课程的呈现力求展现由具体到抽象的过程,努力体现数学知识中蕴涵的基本思想方法和内在联系,体现数学知识的发生、发展过程和实际应用。
教师和教材编写者应根据具体内容在适当的地方(如统计、简单线性规划等)安排一些实习作业。
数学1
在本模块中,学生将学习集合、函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数)。
集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的,集合语言是现代数学的基本语言。
使用集合语言,可以简洁、准确地表达数学的一些内容。
高中数学课程只将集合作为一种语言来学习,学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,发展运用数学语言进行交流的能力。
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。
学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数,结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。
学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解,体会函数与方程的有机联系。
内容与要求
1.集合(约4课时)
(1)集合的含义与表示
①通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系。
②能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用。
(2)集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。
②在具体情境中,了解全集与空集的含义。
(3)集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。
③能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。
2.函数概念与基本初等函数I(约32课时)
(1)函数
①通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。
②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。
③通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。
④通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义。
⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质(参见例1)。
(2)指数函数
①通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14C的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景。
②理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。
③理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
④在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型(参见例2)。
(3)对数函数
①理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。
②通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
③知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,a≠1)。
(4)幂函数
通过实例,了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,
的图象,了解它们的变化情况。
(5)函数与方程
①结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。
②根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
(6)函数模型及其应用
①利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了解函数模型的广泛应用。
(7)实习作业
根据某个主题,收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物(开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等)的有关资料或现实生活中的函数实例,采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章,在班级中进行交流。
具体要求参见数学文化的要求(参见第90页)。
说明与建议
1.集合是一个不加定义的概念,教学中应结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,使学生理解集合的含义。
学习集合语言最好的方法是使用,在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会,以便学生在实际使用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点,进行相互转换并掌握集合语言。
在关于集合之间的关系和运算的教学中,使用Venn图是重要的,有助于学生学习、掌握、运用集合语言和其他数学语言。
2.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。
函数概念的引入一般有两种方法,一种方法是先学习映射,再学习函数;另一种方法是通过具体实例,体会数集之间的一种特殊的对应关系,即函数。
考虑到多数高中学生的认知特点,为了有助于他们对函数概念本质的理解,建议采用后一种方式,从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手,引导学生联系自己的生活经历和实际问题,尝试列举各种各样的函数,构建函数的一般概念。
再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究,加深学生对函数概念的理解。
像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升,逐步加深理解,才能真正掌握,灵活应用。
3.在教学中,应强调对函数概念本质的理解,避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练,避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。
4.指数幂的教学,应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上,结合具体实例,引入有理指数幂及其运算性质,以及实数指数幂的意义及其运算性质,进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想,并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作,感受“逼近”过程。
5.反函数的处理,只要求以具体函数为例进行解释和直观理解,例如,可通过比较同底的指数函数和对数函数,说明指数函数y=ax和对数函数y=logax互为反函数(a>0,a≠1)。
不要求一般地讨论形式化的反函数定义,也不要求求已知函数的反函数。
6.在函数应用的教学中,教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。
7.应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。
例如,利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象,探索、比较它们的变化规律,研究函数的性质,求方程的近似解等。
参考案例
例1田径队的小刚同学,在教练指导下进行3000米跑的训练,训练计划要求是:
(1)起跑后,匀加速,10秒后达到每秒5米的速度,然后匀速跑到2分;
(2)开始均匀减速,到5分时已减到每秒4米,再保持匀速跑4分时间;
(3)在1分之内,逐渐加速达到每秒5米的速度,保持匀速往下跑;
(4)最后200米,均匀加速冲刺,使撞线时的速度达到每秒8米。
请按照上面的要求,解决下面的问题。
(1)画出小刚跑步的时间与速度的函数图象。
(2)写出小刚进行长跑训练时,跑步速度关于时间的函数。
(3)按照上边的要求,计算跑完3000米的所用时间。
解:
例2家用电器(如冰箱等)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层。
臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q0e-0.0025t,其Q0是臭氧的初始量。
(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少?
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失?
数学2
在本模块中,学生将学习立体几何初步、平面解析几何初步。
几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。
人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。
三维空间是人类生存的现实空间,认识空间图形,培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力,是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。
在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形;再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证。
学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一,其本质是用代数方法研究图形的几何性质,体现了数形结合的重要数学思想。
在本模块中,学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系,并了解空间直角坐标系。
体会数形结合的思想,初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
内容与要求
1.立体几何初步(约18课时)
(1)空间几何体
①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会使用材料(如纸板)制作模型,会用斜二侧法画出它们的直观图。
③通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式。
④完成实习作业,如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求)。
⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。
(2)点、线、面之间的位置关系
①借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
◆公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
◆公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
◆公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
◆公理4:
平行于同一条直线的两条直线平行。
◆定理:
空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理。
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。
◆一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直。
通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明。
◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
2.平面解析几何初步(约18课时)
(1)直线与方程
①在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系。
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。
(2)圆与方程
①回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
(3)在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。
(4)空间直角坐标系
①通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置。
②通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式。
说明与建议
1.立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力。
本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则,教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空间几何体,帮助学生认识空间几何体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构,巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解,帮助学生运用平行投影与中心投影,进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能(参见例1)。
2.几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识,学会将自然语言转化为图形语言和符号语言。
教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系;通过对图形的观察、实验和说理,使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系,并能解决一些简单的推理论证及应用问题(参见例2)。
3.立体几何初步的教学中,要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明;对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认,在选修系列2中将用向量方法加以论证。
4.有条件的学校应在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形,为理解和掌握图形几何性质(包括证明)的教学提供形象的支持,提高学生的几何直观能力。
教师可以指导和帮助学生运用立体几何知识选择课题,进行探究。
5.在平面解析几何初步的教学中,教师应帮助学生经历如下的过程:
首先
将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题。
这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
参考案例
例1如图这是一个奖杯的三视图,请你画出它的直观图,并求出这个奖杯的体积。
例2观察自己的教室,说出观察到的点、线、面之间的位置关系,并说明理由。
数学3
在本模块中,学生将学习算法初步、统计、概率。
算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展,算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多方面,算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
需要特别指出的是,中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。
在本模块中,学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上,结合对具体数学实例的分析,体验程序框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力。
现代社会是信息化的社会,人们常常需要收集数据,根据所获得的数据提取有价值的信息,作出合理的决策。
统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决策提供依据。
随机现象在日常生活中随处可见,概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法,同时为统计学的发展提供了理论基础。
因此,统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。
在本模块中,学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上,通过实际问题情境,学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法,体会用样本估计总体及其特征的思想;通过解决实际问题,较为系统地经历数据收集与处理的全过程,体会统计思维与确定性思维的差异。
学生将结合具体实例,学习概率的某些基本性质和简单的概率模型,加深对随机现象的理解,能通过实验、计算器(机)模拟估计简单随机事件发生的概率。
内容与要求
1.算法初步(约12课时)
(1)算法的含义、程序框图
①通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中(如三元一次方程组求解等问题),理解程序框图的三种基本逻辑结构:
顺序、条件分支、循环。
(2)基本算法语句
经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本思想。
(3)通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
2.统计(约16课时)
(1)随机抽样
①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
②结合具体的实际问题情境,理解随机抽样的必要性和重要性。
③在参与解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析,了解分层抽样和系统抽样方法。
④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
(2)用样本估计总体
①通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参见例1),体会它们各自的特点。
②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据标准差。
③能根据实际问题的需求合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释。
④在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据,认识统计的作用,体会统计思维与确定性思维的差异。
⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
(3)变量的相关性
①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。
知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(参见例2)。
3.概率(约8课时)
(1)在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
(2)通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式。
(3)通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
(4)了解随机数的意义,能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率,初步体会几何概型的意义(参见例3)。
(5)通过阅读材料,了解人类认识随机现象的过程。
说明与建议
1.算法是高中数学课程中新内容,其思想是非常重要的,但并不神秘。
例如,运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就是算法。
本模块中的算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系,形式化地表示算法,在条件允许的学校,使其能在计算机上实现。
为了有条理地、清晰地表达算法,往往需要将解决问题的过程整理成程序框图;为了能在计算机上实现,还需要将自然语言或程序框图翻译成计算机语言。
本模块的主要目的是使学生体会算法的思想,提高逻辑思维能力。
不要将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计。
2.算法教学必须通过实例进行,使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句。
有条件的学校,应鼓励学生尽可能上机尝试。
3.算法除作为本模块的内容之外,其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中,鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。
4.教师应引导学生体会统计的作用和基本思想,统计的特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质。
学生应体会统计思维与确定性思维的差异,注意到统计结果的随机性,统计推断是有可能犯错误的。
5.统计是为了从数据中提取信息,教学时应引导学生根据实际问题的需求选择不同的方法合理地选取样本,并从样本数据中提取需要的数字特征。
不应把统计处理成数字运算和画图表。
对统计中的概念(如“总体”“样本”等)应结合具体问题进行描述性说明,不应追求严格的形式化定义。
6.统计教学必须通过案例来进行。
教学中应通过对一些典型案例的处理,使学生经历较为系统的数据处理全过程,并在此过程中学习一些数据处理的方法,并运用所学知识、方法去解决实际问题。
例如,在学习线性相关的内容时,教师可以鼓励学生探索用多种方法确定线性回归直线。
在此基础上,教师可以引导学生体会最小二乘法的思想,根据给出的公式求线性回归方程。
对感兴趣的学生,教师可以鼓励他们尝试推导线性回归方程。
7.概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。
教师应通过日常生活中的大量实例,鼓励学生动手试验,正确理解随机事件发
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