高中数学三角函数常见习题类型及解法2.docx

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高中数学三角函数常见习题类型及解法2

高中数学三角函数常见习题类型及解法[1]

  高中数学三角函数常见习题类型及解法

  高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。

因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。

以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。

  一、知识整合

  1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．

  2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数yAsin（x）的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．

  二、高考考点分析

  20XX年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。

主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：

  第一层次：

通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。

如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

  第二层次：

三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。

如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

  第三层次：

充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。

如分段函数值，求复合函数值域等。

  三、方法技巧

  1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：

特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：

  sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；配凑角：

α=（α+β）－β，β=2

  －等。

2

  （3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

  －94－

  （4）引入辅助角。

asinθ+bcosθ=a2b2sin（θ+），这里辅助角所在

  b象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

a

  2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：

利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：

综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

  3.证明三角不等式的方法：

比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

  4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：

观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：

运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

  （3）合理转化：

选择恰当的公式，促使差异的转化。

  四、例题分析

  例1．已知tan2，求

（1）

  的值.cossin；

（2）sin2sin.cos2cos2cossin

  sin

  cossin1tan12322；解：

（1）sin1tan12cossin1cos

  sin2sincos2cos222

（2）sinsincos2cos22sincos

  2sinsin2222242.2sin2131cos2

  说明：

利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

1

  例2．求函数y1sinxcosx（sinxcosx）2的值域。

  π解：

设tsinxcosxx）[，则原函数可化为4

  13yt2t1（t）2

  ，因为t[，所以

  24

  13当t

  时，ymax3，当t时，ymin，24

  －95－

  3所以，函数的值域为y[，3。

4

  例3．已知函数f（x）4sin2x2sin2x2，xR。

（1）求f（x）的最小正周期、f（x）的最大值及此时x的集合；

（2）证明：

函数f（x）的图像关于直线xπ对称。

8

  解：

f（x）4sin2x2sin2x22sinx2（12sin2x）

  2sinx22coxsπ22xsn（24）

（1）所以f（x）的最小正周期Tπ，因为xR，ππ3π2kπ，即xkπ时，f（x

  ）最大值为428

  π

（2）证明：

欲证明函数f（x）的图像关于直线x对称，只要证明对任意xR，有8

  ππf（x）f（x）成立，

  88

  ππππ因为f（x）x）]2x）2x，

  8842

  ππππf（x）x）]2x）2x，8842

  πππ所以f（x）f（x）成立，从而函数f（x）的图像关于直线x对称。

888

  1例4．已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,22

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

所以，当2x

  解：

（1）y=

  +13111cos2x+sinx·cosx+1=（2cos2x－1）++（2sinx·cosx）22444

  31515cos2x+sin2x+=（cos2x·sin+sin2x·cos）+4442466

  15=sin（2x+）+246=

  －96－

  =+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。

626

  所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}6

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

  （i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin（x+）的图像；66

  1（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函2

  数y=sin（2x+）的图像；6

  1（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函2

  1数y=sin（2x+）的图像；26

  515（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）+的4246

  图像。

  12综上得到y=cosx+sinxcosx+1的图像。

22

  说明：

本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。

这类题一般有两种解法：

一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后所以y取最大值时，只需2x+最终化成y=a2b2sin（ωx+）+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。

本题

（1）还可以解法如下：

当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，113cos2xsinxcosxtanxy=+1=+1222sinxcosx1tanx

  化简得：

2（y－1）tan2x－3tanx+2y－3=0

  37∵tanx∈R，∴△=3－8（y－1）（2y－3）≥0,解之得：

≤y≤44

  7∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}46

  xxx例5．已知函数f（x）sincoscos2.333

  （Ⅰ）将f（x）写成Asin（x）的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

  （Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域.解：

f（x）1sin2x3（1cos2x）1sin2xcos2xsin（2x）232323232332

  －97－2

  2x2x3k1）=0即k（kz）得xkz33332

  3k1即对称中心的横坐标为，kz2

  2（Ⅱ）由已知b=ac

  a2c2b2a2c2ac2acac1cosx，2ac2ac2ac2

  12x5cosx1，0x，233339

  52x2x3||||，sin）1，3sin（）1，3292333332

  3即f（x）的值域为（,1].2

  3综上所述，x（0,]，f（x）值域为（,1].23

  说明：

本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

  cosC3ac例6．在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，cosBb

（1）求sinB的值；（Ⅰ）由

（2）

  若ba=c，求ABC的面积。

  解：

（1）由正弦定理及cosC3accosC3sinAsinC，有，cosBbcosBsinB

  即sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，所以sin（BC）3sinAcosB，

  又因为ABCπ，sin（BC）sinA，所以sinA3sinAcosB，因为sinA0，1所以cosB，又0B

  π，所以sinB。

33

  2

（2）在ABC中，由余弦定理可得a2c2ac32，又ac，3

  4所以有a232，即a224，所以ABC的面积为

  3

  11SacsinBa2sinB22

  －98－

  例7．已知向量a（2cosα，2sinα），b=（sinα，cosα），xa（t23）b，

  ykab，且xy0，

（1）求函数kf（t）的表达式；

（2）若t[1，3]，求f（t）的最大值与最小值。

  22解：

（1）a4，b1，ab0，又xy0，

  22222所以xy[a（t3）b]（kab）ka（t3）b[tk（t3）]ab0，1313所以kt3t，即kf（t）t3t；4444

  33

（2）由

（1）可得，令f（t）导数t20，解得t1，列表如下：

44

  而f

（1），f

（1），f（3），所以f（t）max，f（t）min。

22222

  sinα），b=（cosβ，sinβ），|ab|例8．已知向量a（cosα，，5

（1）求cos（αβ）的值；

  ππ5β0，且sinβsinα的值。

（2）

（2）

  若0α，2213

  sinα），b=（cosβ，sinβ），解：

（1）因为a（cosα，

  sinαsinβ），所以ab（cosαcosβ，

  又因为|ab|，－99－

  43即22cos（αβ）cos（αβ）；55

  ππ

（2）0αβ0，0αβπ，22

  34又因为cos（αβ），所以sin（αβ），55

  51263sinβ，所以cosβ，所以sinαsin[（αβ）β]131365

  例9．平面直角坐标系有点P（1,cosx）,Q（cosx,1）,x[,]44

（1）求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数f（x）；

（2）求的最值.

  解：

（1

  ）

  2cosxcos1cos2xcos，cosxcosx（1cos2x）cos

  2cosx（x）1cos2x44

  1322

（2）cos，又cosx[2,]，cosx2cosxcosx

  2222,1]，min0，maxarccoscos[.33

  说明：

三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。

即f（x）－100－