中考数学三种基础函数题型集锦.docx
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中考数学三种基础函数题型集锦
2022年中考数学三种基础函数题型集锦
1.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB:
BC=3:
2,点A(﹣3,0),B(0,6),反比例函数
的图象经过点D,且与边BC交于点E,则点E的坐标为 .
2.在平面直角坐标系中,已知点A(1,4),B(﹣1,0),C(0,2),抛物线y=ax2+bx+3经过A,B,C三点中的两点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点M(m,n)为
(1)中所求抛物线上一点,且0<m<4,求n的取值范围;
(3)一次函数y=(k﹣1)x﹣3k+3(其中k≠1)与
(1)中所求抛物线交点的横坐标分别是x1和x2,且x1<﹣1<x2,请直接写出k的取值范围.
3.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象过(﹣2,0),(4,0).
(1)求二次函数解析式;
(2)求当﹣1≤x≤5时函数值的取值范围;
(3)一次函数y=(3+m)x+6+2m的图象与y=x2+bx+c的交点的横坐标分别是x1,x2,且x1<5<x2,求m的取值范围.
4.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣4经过A(﹣4,0),C(2,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,点B是抛物线与y轴交点.判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
5.已知二次函数y=ax2+4ax+b与x轴交于A,B两点(其中A在B的左侧),且AB=2.
(1)抛物线的对称轴是 ;
(2)求点A和点B坐标;
(3)点C坐标为(﹣2.5,﹣4),D(0,﹣4).若抛物线y=ax2+4ax+b与线段CD恰有一个交点,求a的取值范围.
6.如图,已知抛物线y=
x2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),且OA=1,OC=2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是抛物线在第一象限内的一点,且tan∠EOB=1,求点E的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得△PBE为等腰三角形?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
7.已知抛物线y=mx2+2mx+m2﹣2.
(1)求此抛物线的对称轴;
(2)若此抛物线的顶点在直线y=2x+6上,求抛物线的解析式;
(3)若点A(a,yA)与点B(3,yB)在此抛物线上,且yA<yB,求a的取值范围.
8.如图,直线l和抛物线y=ax2+bx+c相交于A、B两点,已知A(2,0)、B(0,﹣2),且该抛物线的对称轴是直线x=
,点C是第四象限内抛物线上的一个动点,点C的横坐标为m.
(1)分别求直线l和抛物线的函数表达式;
(2)过点D作CD⊥l,垂足为D,求出当m为何值时,线段CD有最大值,最大值是多少?
9.某数学兴趣小组的同学在学过函数的知识之后,对函数y=﹣x3+3x的图象与性质进行了探究,请补充完整以下探索过程:
(1)列表:
x
…
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
…
y
…
2
m
﹣2
﹣
0
n
﹣2
…
表中m= ;n= .
(2)根据上表中的数据,在平面直角坐标系中补全该函数图象,并写出该函数的一条性质.
(3)若函数y=﹣x3+3x的图象上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三个点,且﹣1<x1<x2<x3<1,则y1,y2,y3之间的大小关系为 (用“<”连接)
(4)若方程﹣x3+3x=k至少有两个不同的实数根,请根据函数图象,直接写出k的取值范围.
10.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣4|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数xy的几组对应值列表如下:
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
其中,m= .
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了该函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象,写出两条函数的性质.
(4)进一步探究函数图象发现:
①函数图象与x轴有 个交点,所以对应的方程x2﹣4|x|=0有 个实数根;
②方程x2﹣4|x|=2有 个实数根;
③关于x的方程x2﹣4|x|=α有4个实数根时,a的取值范围是 .
11.一次数学课上,某同学根据学习函数的经验,对函数y=
的图象及其性质进行了探究.下面是其探究过程,请补充完整,并利用图象解决问题.
(1)列表如下:
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
m
0.6
1.5
n
1.5
0.6
0.3
…
其中m= ,n= .
(2)在表中各对x与y的对应值为坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并画出该函数的大致图象.
(3)结合函数图象,求y的最大值为 .
(4)若关于x的方程
=3a﹣2无解,请写出a的取值范围.
12.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
x
…
﹣3
﹣2.5
﹣2
﹣1
0
1
2
2.5
3
…
y
…
3
1.25
m
﹣1
0
﹣1
0
1.25
3
…
其中,m= .
(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象,写出1条函数的性质.
(4)进一步探究函数图象发现:
①函数图象与x轴有 个交点,所以对应的方程x2﹣2|x|=0有 个实数根;
②方程x2﹣2|x|=2有 个实数根.
③函数y=x2﹣2|x|的图象与y=a有至少有3个交点时,a的取值范围是 .
13.如图,抛物线y=x2+2x+c与x轴的正半轴交于点B,与x轴的负半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点C,且OA=2OB.
(1)抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)将其图象在A,C之间的部分(含A,C两点)记为G,若二次函数y=﹣x2﹣2x+m的图象与G只有一个公共点,求m的取值范围.
14.小亮在学习完一次函数,反比例函数,二次函数后,从中心对称的角度思考函数图象上的点,发现所有的反比例函数图象上都存在不同的两点关于原点对称,经过探究,小亮发现一些一次函数、二次函数图象上也存在不同的两点关于原点对称
(1)下列给出的一次函数中,其图象上存在不同的两点关于原点对称的是 ;
①y=﹣2x;②y=x﹣3;③y=2x;④y=﹣2x+3.
(2)已知二次函数y=ax2+bx﹣4a(a>0)的图象上存在不同的两点A(m,﹣m)与B关于原点对称,其中m>0.
①求m及b的值;
②点C是该二次函数图象上点A,B之间的一个动点(含端点A,B),若点C的纵坐标t最小值为﹣5a,求此二次函数解析式.
15.已知如图,抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A和点C(2,0),与y轴交于点D,将△DOC绕点O逆时针旋转90°后,点D恰好与点A重合,点C与点B重合,
(1)直接写出点A和点B的坐标;
(2)求a和b的值;
(3)已知点E是该抛物线的顶点,求证:
AB⊥EB
16.已知:
如图,抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点B(6,0),C(﹣2,0),与y轴交于点A,点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
(1)如图,连接PA、PB.设△PAB的面积为S,点P的横坐标为m.请说明当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?
(2)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?
若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
17.如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3OA.
(1)求抛物线的解析式及对称轴.
(2)在抛物线上任取一点M,过点M作MN∥x轴,且四边形ABMN为平行四边形,在线段MN上任取一点P,过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q,记点Q的纵坐标为yQ.当点M到抛物线对称轴的距离不超过1个单位长度时,求yQ的取值范围.
18.小明学习了函数有关知识后,利用学到的方法对函数y=
进行了如下的研究:
列表:
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
3
2
n
0
﹣1
…
其中m= ,n= .
描点:
在平面直角坐标系中,以自变量x的值为横坐标,以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点,如图所示;
1.描点并补全函数的图象;
2.结合函数图象回答下列问题:
(1)该函数存在最 值(填“大”或“小”),最值是 ;
(2)观察函数图象,写出y随x的增大而变化的情况:
;
(3)若直线y=kx+b经过点(2,0),且与y=
的图象围成封闭的图形,当封闭图形内整点(点的横、纵坐标都为整数)只有4个时(不包括边界),直接写出b的取值范围.
19.在函数的学习中,我们经历“确定函数表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究函数性质﹣﹣利用图象解决问题”的学习过程,画函数图象时,我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象,请根据你学到的函数知识探究函数y1=
的图象与性质并利用图象解决如下问题:
列出y1与x的几组对应的值如表:
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
m
0
1
2
1
0
n
…
(1)根据表格中x、y的对应关系可得m= ,n= ;
(2)用你喜欢的方式画出该函数图象:
根据函数图象,写出该函数的一条性质:
;
(3)直接写出当函数y1的图象与直线y2=kx+1有三个交点时,k的取值范围是 .
20.已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣2+3a2.
(1)求该抛物线的对称轴;
(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式;
(3)当a>0时,若A(m﹣1,y1)、B(1,y2)、C(m+2,y3)为该抛物线上三点,且总有y1>y3>y2,请结合图象直接写出m的取值范围.
21.已知抛物线y=ax2+2ax+3a2﹣4(a≠0).
(1)该抛物线的对称轴为 ;
(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求抛物线的解析式;
(3)设点M(m,y1),N(2,y2)在该抛物线上,若y1>y2,求m的取值范围.
22.如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0)
(1)求抛物线的解析式和顶点E坐标;
(2)该抛物线有一点D,使得S△DBC=S△EBC,求点D的坐标.
23.如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0)
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)该抛物线有一点D(x,y),使得S△ABC=S△DBC,求点D的坐标.
24.已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)与x轴交于A、B两点,点A在点B的左侧.
(1)请求出抛物线对称轴和点A、B的坐标;
(2)已知点M(﹣1,1)、N(4,6a﹣2),且抛物线与线段MN只有一个公共点,请求出a的取值范围.
25.已知抛物线y=ax2+bx+3a与y轴交于点P,将点P向右平移4个单位得到点Q,点Q也在抛物线上.
(1)抛物线的对称轴是直线x= ;
(2)用含a的代数式表示b;
(3)已知点M(1,1),N(4,4a﹣1),抛物线与线段MN恰有一个公共点,求a的取值范围.
26.已知抛物线y=ax2﹣4ax﹣3.
(1)若该抛物线与x轴交于A,B两点,点B在点A的右侧,且有OB=3OA,求该抛物线的解析式;
(2)若点P(p,y1),Q(5,y2)在抛物线上,且y1<y2,求P的取值范围.
27.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(3,2),且过点(0,11).
(Ⅰ)求抛物线的解析式;
(Ⅱ)将抛物线先向左平移2个单位长度,再向下平移m(m>0)个单位长度后得到新抛物线.
①若新抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),且OB=3OA,求m的值;
②若P(x1,y1),Q(x2,y2)是新抛物线上的两点,当n≤x1≤n+1,x2≥4时,均有y1≤y2,求n的取值范围.
28.有这样一个问题:
探究函数
的图象与性质并解决问题.
小明根据学习函数的经验,对问题进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)函数
的自变量x的取值范围是x≠2;
(2)取几组y与x的对应值,填写在下表中.
x
…
﹣4
﹣2
﹣1
0
1
1.2
1.25
2.75
2.8
3
4
5
6
8
…
y
…
1
1.5
2
3
6
7.5
8
8
7.5
6
3
m
1.5
1
…
m的值为 ;
(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组对应值所对应的点,并画出该函数的图象;
(4)获得性质,解决问题:
①通过观察、分析、证明,可知函数
的图象是轴对称图形,它的对称轴是 ;
②过点P(﹣1,n)(0<n<2)作直线l∥x轴,与函数
的图象交于点M,N(点M在点N的左侧),则PN﹣PM的值为 .
29.数学学习小组根据函数学习的经验,对一个新函数
的图象和性质进行了如下探究:
(1)列表,下表是函数y与自变量x的几组对应值:
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
…
y
…
﹣4
﹣6
﹣10
6
2
0
m
…
请直接写出自变量x的取值范围 ,a= ,m= ;
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出上表中各对对应值为坐标的点(其中x为横坐标,y为纵坐标),并根据描出的点画出函数的图象;
(3)观察所画出的函数图象,写出该函数的性质 .(写出一条性质即可)
30.在平面直角坐标系xOy中,点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上.
(1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴;
(2)已知点(﹣1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上.若mn<0,比较y1,y2,y3的大小,并说明理由.
31.在平面直角坐标系xOy中,A(1,m)和B(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上.
(1)若m=3,n=15,求该抛物线的解析式;
(2)若A、B两点关于对称轴对称,点(﹣1,y1),(1,y2),(4,y3)在该抛物线上,比较y1,y2,y3的大小,并说明理由.
(3)若该抛物线的对称轴为x=﹣1,求m,n满足的等量关系.
32.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)被x轴截得的线段长度为4.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)求c的值(用含a的式子表示);
(3)若点M(x1,3),N(x2,3)为抛物线上不重合两点(其中x1<x2),且满足x1(x2﹣5)≤0,求a的取值范围.
33.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(﹣2,1),(2,﹣3)两点.
(1)求b的值;
(2)当c>﹣1时,该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 .
(3)设(m,0)是该函数的图象与x轴的一个公共点.当﹣1<m<3时,结合函数的图象,直接写出a的取值范围.
34.已知二次函数y=x2+bx+2b(b是常数).
(1)若函数图象过(1,4),求函数解析式;
(2)设函数图象顶点坐标为(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数关系式;
(3)若函数图象不经过第三象限时,当﹣5≤x≤3时,函数的最大值和最小值之差是20,求b的值.
35.已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣8(a≠0)经过点(﹣2,0).
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标.
(2)直线l交抛物线于点A(﹣4,m),B(n,7),n为正数.若点P在抛物线上且在直线l下方(不与点A,B重合),分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围.
36.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣1(a<0).
(1)抛物线的对称轴为 ,抛物线与y轴的交点坐标为 ;
(2)试说明直线y=x﹣2与抛物线y=ax2﹣2ax﹣1(a<0)一定存在两个交点;
(3)若当﹣2≤x≤2时,y的最大值是1,求当﹣2≤x≤2时,y的最小值是多少?
37.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2﹣4ax+4.
(1)抛物线的对称轴是直线x= ;
(2)若抛物线的顶点在x轴上,求该抛物线的解析式;
(3)若a>0,对于抛物线上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),当t﹣1≤x1≤t+1,x2≥4时,均满足y1≤y2,请结合函数图象,直接写出t的取值范围.
38.已知抛物线y=ax2﹣6ax+1(a>0).
(1)若抛物线顶点在x轴上,求该抛物线的表达式.
(2)若点A(m,y1),B(m+4,y2)在抛物线上,且y1<y2,求m的取值范围.
39.如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=
(x>0)的图象经过点A(4,
),点B在y轴的负半轴上,AB交x轴于点C,C为线段AB的中点.
(1)m= ,点C的坐标为 ;
(2)若点D为线段AB上的一个动点,过点D作DE∥y轴,交反比例函数图象于点E,求△ODE面积的最大值.
40.如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=
(x>0)的图象经过点A(4,3),点B在y轴的负半轴上,AB交x轴于点C,C为线段AB的中点.
(1)求m的值和点C的坐标;
(2)若点D为线段AB上的一个动点,过点D作DE∥y轴,交反比例函数图象于点E,交x轴于点F.求当△ODE面积为6时,点E的坐标.
41.如图,已知反比例函数y=
(x>0)的图象经过点A、B,点B的坐标为(3,3),过点A作AC⊥x轴,垂足为C,过点B作BD⊥y轴,垂足为D,AC与BD交于点F,一次函数y=mx+n的图象经过点A、D,与x轴的负半轴交于点E.
(1)若AC=
OD,求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)在
(1)的条件下,连接BE,求△ABE的面积;
(3)若BC∥AE,请直接写出BC的长.
42.如图,已知函数y=
(x>0)的图象经过点A、B,点B的坐标为(2,2).过点A作AC⊥x轴,垂足为C,过点B作BD⊥y轴,垂足为D,AC与BD交于点F.一次函数y=ax+b的图象经过点A、D,与x轴的负半轴交于点E.
(1)若AC=2OD时,
①直接写出点A坐标 ,四边形ADCB是 形
②求a、b的值;
(2)若EC=3DB,求a的值.
43.已知如图:
点(1,3)在函数y=
(x>0)的图象上,矩形ABCD的边BC在x轴上,E是对角线BD的中点,函数y=
(x>0)的图象又经过A、E两点,点E的横坐标为m,解答下列问题:
(1)求k的值;
(2)求点A的坐标;(用含m代数式表示)
(3)当∠ABD=45°时,求m的值.
44.如图,直线y=2x+2与坐标轴分别交于点A,B,与双曲线y=
在第一象限内交于点C(a,4a),过点C作CD⊥y轴于点D.
(1)双曲线的解析式为 .
(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB与△BCD相似?
若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)直接写出一个一次函数,使其图象过点(0,﹣3),且与双曲线y=
没有交点.
45.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别相交于点A,B,四边形ABCD是正方形,双曲线y=
(x>0)在第一象限经过点D.
(1)求点D的坐标及双曲线的解析式;
(2)将正方形ABCD沿x轴向左平移多少个单位长度时,点C的对应点恰好落在
(1)中的双曲线上?
(3)设
(2)中C点对应点为C′,设直线C′D的解析式为y1,双曲线的解析式为y2,当x>0时,直接写出当y2>y1时x的取值范围.
46.如图,直线y=kx﹣2与x轴、y轴分别交于C、D两点,与双曲线y=
在第一象限内交于点P,过点P作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,已知B(0,4)且S△DBP=27
(1)直接写出直线的解析式 ,双曲线的解析式 ;
(2)设点Q是直线y=kx﹣2上的一点,且满足△DOQ的面积是△COD面积的2倍,请求出点Q的坐标.
47.如图,正比例函数y=x的图象与反比例函数y=
(x>0)的图象交于点A(1,a),在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点C坐标为(﹣2,0).
(1)求k的值;
(2)求AB所在直线的解析式.
48.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k>0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y=
图象的一个交点为P(1,m).
(1)求m的值;
(2)若PA=2AB,求k的值.
49.如图,反比例函数y=
的图象与一次函数y=mx+n的图象相交于A(a,﹣1),B(﹣1,3)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)设直线AB交y轴于点C,点N(t,0)是x轴正半轴上的一个动点,过点N作NM⊥x轴交反比例函数y=
的图象于点M,连接CN,OM.若S四边形COMN>3,求t的取值范围.
50.如图,△AOB中,∠ABO=90°,边OB在x轴上,反比例函数y=
(x>0)的图象经过斜边OA的中点M,与AB相交于点N,S△AOB=12,AN=
.
(1)求k的值;
(2)求直线MN的解析式.
51.为落实学生每天“阳光一小时”校园体育活动,郑州市某学校计划购买一批新的体育用品.经调查了解到甲、乙两个体育用品商店的优惠活动如下:
甲商店:
所有商品按标价8折出售;
乙商店:
一次购买商品总额不超过200元的按原价计费,超过200元的部分打6折.
设需要购买体育用品的原价总额为x元,去甲商店购买应付y甲元,去乙商店购买应付y乙元,其函数图象如图所示.
(1)分别求y甲、y乙与x的关系式;
(2)两
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