高中数学《空间向量与立体几何》教案新课标人教A版选修.docx
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高中数学《空间向量与立体几何》教案新课标人教A版选修.docx
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高中数学《空间向量与立体几何》教案新课标人教A版选修
3.1.2
3.1.23.1.2
3.1.2空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算(
((
(一
一一
一)
))
)
教学要求
教学要求教学要求
教学要求:
:
:
:
了解共线或平行向量的概念,掌握表示方法;理解共线向量定理及其推论;
掌握空间直线的向量参数方程;会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题.
教学重点
教学重点教学重点
教学重点:
:
:
:
空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式.
教学过程
教学过程教学过程
教学过程:
:
:
:
一、复习引入
1.回顾平面向量向量知识:
平行向量或共线向量?
怎样判定向量b
r与非零向量a
r是否共
线?
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量
平行向量平行向量
平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同
一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量
共线向量共线向量
共线向量.
向量b
r与非零向量a
r共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使b
r=λa
r.称平面向量
共线定理,
二、新课讲授
1.定义:
与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,
则这些向量叫做共线向量
共线向量共线向量
共线向量或平行向量
平行向量平行向量
平行向量.
..
.a
r平行于b
r记作a
r//b
r.
2.关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论:
共线向量定理:
空间任意两个向量
空间任意两个向量空间任意两个向量
空间任意两个向量a
r、
、、
、b
r(
((
(b
r≠
≠≠
≠0
00
0),
),),
),a
r//
////
//b
r的
的的
的充要条件是存在实数
充要条件是存在实数充要条件是存在实数
充要条件是存在实数λ
λλ
λ,
,,
,
使
使使
使a
r=
==
=λ
λλ
λb
r.
..
.
理解:
⑴上述定理包含两个方面:
①性质定理:
若a
r∥b
r(a
r≠0),则有b
r=
==
=λa
r,
,,
,
其中
λ是唯一确定的实数。
②判断定理:
若存在唯一实数λ,
,,
,使b
r=
==
=λa
r(ar≠0),则有ar∥b
r(若用此结论判断a
r、b
r所在直线平行,还需a
r(或b
r)上有一点不在br(或a
r)
上).
⑵对于确定的λ和a
r,b
r=
==
=λa
r表示空间与ar平行或共线,长度为|λar|,当λ>0时
与a
r同向,当λ<0时与ar反向的所有向量.
3.推论:
如果
如果如果
如果l
ll
l为经过已知点
为经过已知点为经过已知点
为经过已知点A
AA
A且平行于已知非零向量
且平行于已知非零向量且平行于已知非零向量
且平行于已知非零向量a
r的直线
的直线的直线
的直线,
,,
,那么对于任意一点
那么对于任意一点那么对于任意一点
那么对于任意一点O
OO
O,
,,
,
点
点点
点P
PP
P在直线
在直线在直线
在直线l
ll
l上的充要条件是存在实数
上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数
上的充要条件是存在实数t
tt
t满足等式
满足等式满足等式
满足等式
OPOAt=+
uuuruuura
r.
..
.
其中向量a
r叫做直线l的方向向量
方向向量方向向量
方向向量.
推论证明如下:
∵l//a,∴对于l上任意一点P,存在唯一的实数t,使得APt
=
uuura
r.(*)又∵对于空间任意一点O,有APOPOA=?
uuuruuuruuur,
∴OPOAt
?
=
uuuruuura
r,
OPOAt=+
uuuruuura
r.①
若在l上取AB
=
uuura
r,则有OPOAtAB
=+
uuuruuuruuur.(**)
又∵ABOBOA
=?
uuuruuuruuur∴()
OPOAtOBOA=+?
uuuruuuruuuruuur
(1)tOAtOB=?
+
uuuruuur.
..
.②
当1
2
t=时,1()
2
OPOAOB=+
uuuruuuruuur.③
理解:
⑴表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式
空间直线的向量参数表示式空间直线的向量参数表示式
空间直线的向量参数表示式,③式是线段的中点公
中点公中点公
中点公
式
式式
式.事实上,表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础,也是直线参数方程的表达形
式.
⑵表达式①和②三角形法则得出的,可以据此记忆这两个公式.
⑶推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定.
空间向量共线(平行)的定义、共线向量定理与平面向量完全相同,
是平面向量相关知识的推广.
4.出示例1:
用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形
是平行四边形.(分析:
如何用向量方法来证明?
)
5.出示例2:
如图
O是空间任意一点,C、D是线段AB的三等分点,分别用OA
uuur、OBuuur表
示OC
uuur、ODuuur.
三、巩固练习:
作业:
3.1.2
3.1.23.1.2
3.1.2空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算(
((
(二
二二
二)
))
)
OA
B
C
D教学要求
教学要求教学要求
教学要求:
:
:
:
了解向量与平面平行、共面向量的意义,掌握向量与平面平行的表示方法;
理解共面向量定理及其推论;掌握点在已知平面内的充要条件;会用上述知识解决立几
中有关的简单问题.
教学重点
教学重点教学重点
教学重点:
:
:
:
点在已知平面内的充要条件.
教学难点
教学难点教学难点
教学难点:
:
:
:
对点在已知平面内的充要条件的理解与运用.
教学过程
教学过程教学过程
教学过程:
:
:
:
一、复习引入
1.空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间
直线的向量表示式、中点公式.
2.必修④《平面向量》,平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理:
如果e
ee
e1、e
ee
e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内的任意一个向量a
aa
a,有且只有一对
实数λ1、λ2,使
a
aa
a=λ1e
ee
e1+λ2e
ee
e2.其中不共线向量e
ee
e1、e
ee
e2叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底
基底基底
基底.
二、新课讲授
1.定义:
如果表示空间向量
如果表示空间向量如果表示空间向量
如果表示空间向量a
aa
a的有向线段所在直线与已知平面
的有向线段所在直线与已知平面的有向线段所在直线与已知平面
的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面
平行或在平面平行或在平面
平行或在平面α内
内内
内,
,,
,
则称向量
则称向量则称向量
则称向量
a
aa
a平行于平面
平行于平面平行于平面
平行于平面α,
,,
,记作
记作记作
记作a
aa
a//
////
//α.
..
.
向量与平面平行,向量所在的直线可以在平面内,而直线与平面平
行时两者是没有公共点的.
2.定义:
平行于同一平面的向量叫做共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量.
..
.共面向量不一定是
在同一平面内的,但可以平移到同一平面内.
3.讨论:
空间中任意三个向量一定是共面向量吗?
请举例说明.
结论:
空间中的任意三个向量不一定是共面向量.例如:
对于空间四边形ABCD,AB
uuur、ACuuuur、ADuuuur这三个向量就不是共面向量.
4.讨论:
空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢?
5.得出共面向量定理
共面向量定理共面向量定理
共面向量定理:
如果两个向量
如果两个向量如果两个向量
如果两个向量a
aa
a、
、、
、b
bb
b不共线
不共线不共线
不共线,
,,
,则向量
则向量则向量
则向量p
pp
p与向
与向与向
与向
量
量量
量a
aa
a、
、、
、b
bb
b共面的充要条件是存在实数对
共面的充要条件是存在实数对共面的充要条件是存在实数对
共面的充要条件是存在实数对x,
,,
,y,
,,
,使得
使得使得
使得
p
pp
p=
==
=xa
aa
a+
++
+yb
bb
b
.
..
.
证明:
必要性:
由已知,两个向量a
aa
a、b
bb
b不共线.
∵向量p
pp
p与向量a
aa
a、b
bb
b共面
∴由平面向量基本定理得:
存在一对有序实数对x,y,使得p
pp
p=xa
aa
a+
++
+yb
bb
b.
充分性:
如图,∵xa
aa
a,yb
bb
b分别与a
aa
a、b
bb
b共线,∴xa
aa
a,yb
bb
b都在a
aa
a、b
bb
b确定的平面内.
又∵xa
aa
a+
++
+yb
bb
b是以|xa
aa
a|、|yb
bb
b|为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,并且此平行四边形在a
aa
a、b
bb
b确定的平面内,
∴
p
pp
p=xa
aa
a+
++
+yb
bb
b在a
aa
a、b
bb
b确定的平面内,即向量p
pp
p与向量a
aa
a、b
bb
b共面.
说明:
当p
pp
p、
、、
、a
aa
a、
、、
、b
bb
b都是非零向量时,共面向量定理实际上也是p
pp
p、
、、
、a
aa
a、
、、
、b
bb
b所在的三条直
线共面的充要条件,但用于判定时,还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所
确定的平面内.
6.共面向量定理的推论是:
空间一点
空间一点空间一点
空间一点P在平面
在平面在平面
在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对
内的充要条件是存在有序实数对内的充要条件是存在有序实数对
内的充要条件是存在有序实数对x,
,,
,y,
,,
,使得
使得使得
使得MPxMAyMB=+
uuuuruuuuruuuur,①或对于空间任意一定点
或对于空间任意一定点或对于空间任意一定点
或对于空间任意一定点O,
,,
,有
有有
有
OPOMxMAyMB=++
uuuruuuuruuuuruuuur.②
分析:
⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数;⑵由OPOMxMAyMB
=++
uuuuruuuuuruuuuruuuuur得:
()()
OPOMxOAOMyOBOM=+?
+?
uuuuruuuuuruuuuruuuuuruuuuruuuuur,∴
(1)
OPxyOMxOAyOB=?
?
++
uuuuruuuuuruuuuruuuur③
公式①②③都是P、M、A、B四点共面的充要条件.
7.例题:
课本P88例1,解略.
小结:
向量方法证明四点共面
三、巩固练习
向量的数量积
向量的数量积向量的数量积
向量的数量积(
((
(2)
))
)
一
一一
一、
、、
、教学目标
教学目标教学目标
教学目标:
:
:
:
①
①①
①向量的数量积运算
向量的数量积运算向量的数量积运算
向量的数量积运算
②
②②
②利用向量的数量积运算判定垂直
利用向量的数量积运算判定垂直利用向量的数量积运算判定垂直
利用向量的数量积运算判定垂直、
、、
、求模
求模求模
求模、
、、
、求角
求角求角
求角
二
二二
二、
、、
、教学重点
教学重点教学重点
教学重点:
:
:
:
①
①①
①向量的数量积运算
向量的数量积运算向量的数量积运算
向量的数量积运算
②
②②
②利用向量的数量积运算判定垂直
利用向量的数量积运算判定垂直利用向量的数量积运算判定垂直
利用向量的数量积运算判定垂直、
、、
、求模
求模求模
求模、
、、
、求角
求角求角
求角
三
三三
三、
、、
、教学方法
教学方法教学方法
教学方法:
:
:
:
练习法
练习法练习法
练习法,
,,
,纠错法
纠错法纠错法
纠错法,
,,
,归纳法
归纳法归纳法
归纳法四
四四
四、
、、
、教学过程
教学过程教学过程
教学过程:
:
:
:
考点一
考点一考点一
考点一:
:
:
:
向量的数量积运算
向量的数量积运算向量的数量积运算
向量的数量积运算
(
((
(一
一一
一)、
)、)、
)、知识要点
知识要点知识要点
知识要点:
:
:
:
1)定义:
①设<,
ab
rr>=θ,
则ab=
rr
(θ的范围为)
②设11(,)
axy=
r,22(,)
bxy=
r则ab
=
rr
。
注:
①ab
rr
不能写成ab
rr,或ab
×
rr
②ab
rr
的结果为一个数值。
2)投影:
b
r在ar方向上的投影为
。
3)向量数量积运算律:
①abba
=
rrrr
②()()()abababλλλ==
rrrrrr
③()abcacbc+=+
rrrrrrr
注:
①没有结合律()()
abcabc=
rrrrrr
(
((
(二
二二
二)
))
)例题讲练
例题讲练例题讲练
例题讲练
1、下列命题:
①若0ab
=
rr
,则a
r,br中至少一个为0r②若ar0≠r且abac
=
rrrr
,则bc=
rr
③()()
abcabc=
rrrrrr
④22(32)(32)94ababab+?
=?
rrrrrr
中正确有个数为()
A.0个B.1个C.2个D.3个
2、已知ABC
?
中,A,B,C所对的边为a,b,c,且a=3,b=1,C=30°,则BCCA
uuuruuur
=。
3、若a
r,br,cr满足0
abc++=
rrrr,且
3,1,4abc===rrr,则abbcac++
rrrrrr
=。
4、已知2ab==rr,且a
r与br的夹角为3
π,则ab+
rr在ar上的投影为
。
考点二
考点二考点二
考点二:
:
:
:
向量数量积性质应用
向量数量积性质应用向量数量积性质应用
向量数量积性质应用
(一
一一
一)、
、、
、知识要点
知识要点知识要点
知识要点:
:
:
:
①0
abab⊥?
=
rrrr
(用于判定垂直问题)
②2aa
=
rr(用于求模运算问题)
③cosab
abθ=
rr
rr(用于求角运算问题)
(
((
(二
二二
二)
))
)例题讲练
例题讲练例题讲练
例题讲练
1、已知2a
=
r,3b
=
r,且a
r与br的夹角为2π,32
cab=+
rrr,dmab
=?
urrr,求当
m为
何值时cd
⊥
rur2、已知1a=r,1b=r,323ab?
=rr,则3ab+=rr。
3、已知a
r和br是非零向量,且
ar=br=ab?
rr,求a
r与ab
+
rr的夹角
4、已知4a=r,
2b=r,且a
r和br不共线,求使ab
λ+
rr与abλ?
rr的夹角是锐角时λ的
取值范围
巩固练习
巩固练习巩固练习
巩固练习
1、已知1e
ur和2euur是两个单位向量,夹角为3π,则(12ee
?
uruur)12(32)
ee?
+
uruur
等于()
A.-8B.9
2C.52
?
D.8
2、已知1e
ur和2euur是两个单位向量,夹角为3π,则下面向量中与212
ee?
uurur垂直的是(
)
A.12ee
+
uruurB.12ee
?
uruurC.1eurD.2euur
3、在ABC
?
中,设=ABa,=BCb,=CAc,若0)(<+baa,则ABC?
())(A直角三角形)(B锐角三角形)(C钝角三角形)(D无法判定
4、已知a
r和br是非零向量,且3ab
+
rr与75ab
?
rr垂直,4ab
?
rr与72ab
?
rr垂直,求ar与br的
夹角。
5、已知OA
uuur、OBuuur、OCuuur是非零的单位向量,且OAuuur+OBuuur+OCuuur=0r,求证:
ABC?
为正三角形。
3.1.4
3.1.43.1.4
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示
教学要求
教学要求教学要求
教学要求:
:
:
:
掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示;掌握空间向量的
坐标运算的规律;会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直.
教学重点
教学重点教学重点
教学重点:
:
:
:
空间向量基本定理、向量的坐标运算.
教学难点
教学难点教学难点
教学难点:
:
:
:
理解空间向量基本定理.
教学过程
教学过程教学过程
教学过程:
:
:
:
一、新课引入
1.回顾:
平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算,
2.复习:
平面向量基本定理.
二、讲授新课
1.类比:
由平面向量的基本定理,对平面内的任意向量a
r,均可分解为不共线的两个
向量11a
λuur和22aλuur,使1122aaaλλ=+
ruuruur.如果12aa
⊥
uuruur时,这种分解就是平面向量的正交分解.
如果取12,
aa
uuruur为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,
ij
rr,则存在一对实数x、y,
使得axiyj
=+
rrr,即得到平面向量的坐标表示(,)
axy=
r.
推广到空间向量,结论会如何呢?
(1)空间向量的正交分解
空间向量的正交分解空间向量的正交分解
空间向量的正交分解:
对空间的任意向量a
r,均可分解为不共面的三个向量11aλuur、22a
λuur、33aλuur,使112233aaaaλλλ=++
ruuruuruur.如果123,,
aaa
uuruuruur两两垂直,这种分解就是空间向量的
正交分解.
(2)空间向量基本定理:
如果三个向量,,
abc
rrr不共面,那么对空间任一
向量p
ur,存在有序实数组{,,}
xyz,使得pxaybzc=++urrrr.把{,,}abc
rrr叫
做空间的一个基底(base),,,
abc
rrr都叫做基向量.
2.单位正交基底:
如果空间一个基底的三个基向量互相垂直,且长
度都为1,则这个基底叫做单位正交基底
单位正交基底单位正交基底
单位正交基底,通常用{
i
ii
i,j
jj
j,k
kk
k}表示.
单位——三个基向量的长度都为1;正交——三个基向量互相垂直.
选取空间一点O和一个单位正交基底{i
ii
i,j
jj
j,k
kk
k},以点O为原点,
分别以i
ii
i,j
jj
j,k
kk
k的方向为正方向建立三条坐标轴:
x轴、y轴、z轴,
得到空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系
空间直角坐标系
O-xyz,
3.空间向量的坐标表示:
给定一个空间直角坐标系和向量
a
aa
a,且设i
ii
i、j
jj
j、k
kk
k为坐标向量,则存在唯一的有序实数组123(,,)aaa,使a
aa
a=1ai
ii
i+2aj
jj
j+3ak
kk
k.
空间中相等的向量其坐标是相同的.→讨论:
向量坐标与点的坐
标的关系?
向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:
设A111(,,)xyz,B222(,,)xyz,
则AB
uuur=OBuuur-OAuuur=222(,,)xyz-111(,,)xyz=212121(,,)xxyyzz?
?
?
.
4.向量的直角坐标运算:
设a
aa
a=123(,,)aaa,b
bb
b=123(,,)bbb,则
⑴a
aa
a+b
bb
b=112233(,,)ababab+++;⑵a
aa
a-b
bb
b=112233(,,)ababab?
?
?
;⑶λa
aa
a=123(,,)aaaλλλ()Rλ∈;⑷a
aa
a·b
bb
b=112233ababab++
证明方法:
与平面向量一样,将
a
aa
a=1ai
ii
i+2aj
jj
j+3ak
kk
k和b
bb
b=1bi
ii
i+2bj
jj
j+3bk
kk
k代入即可.
5.两个向量共线或垂直的判定:
设a
aa
a=123(,,)aaa,b
bb
b=123(,,)bbb,则
⑴a
aa
a//b
bb
b?
a
aa
a=λb
bb
b?
112233,,abababλλλ===,()Rλ∈?
312
123a
aa
bbb==;
⑵a
aa
a⊥b
bb
b?
a
aa
a·b
bb
b=0?
1122330ababab++=.
6.练习:
已知a
aa
a=(2,3,5)?
,b
bb
b=(3,1,4)?
?
,求a
aa
a+b
bb
b,a
aa
a-b
bb
b,8a
aa
a,a
aa
a·b
bb
b.解:
略.
7.出示例:
三、巩固练习作业
3.1.5
3.1.53.1.5
3.1.5空间向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示(
((
(夹角和距离公式
夹角和距离公式夹角和距离公式
夹角和距离公式)
))
)
教学要求
教学要求教学要求
教学要求:
:
:
:
掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并
会用这些公式解决有关问题.
教学重点
教学重点教学重点
教学重点:
:
:
:
夹角公式、距离公式.
教学
教学教学
教学难点
难点难点
难点:
:
:
:
夹角公式、距离公式的应用.
教学过程
教学过程教学过程
教学过程:
:
:
:
一、复习引入
1.向量的直角坐标运算法则:
设a
aa
a=123(,,)aaa,b
bb
b=123(,,)bbb,则
⑴a
aa
a+b
bb
b=112233(
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