一类非线性三阶两点边值问题存在结论.docx
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一类非线性三阶两点边值问题存在结论
类非线性三阶两点边值问题存在结论
摘要在符号型Nagumo条件下,运用上下解法和Leray-Schauder度理论建立一类非线性三阶两点边值问题的存在结论。
关键词:
符号型Nagumo条件;上下解法;Leray-Schauder度理论
1.引言
近些年来很多文章都已经探讨过三阶边值问题了(如见【1-4,6】)。
但是这些文章大多数都是在线性边界条件下进行的。
最近,Grossinho【5】用两种边界线条件类型对非线性区分方程式
X””=f(t,x,x’,x”),
建立了一个存在和定位结论
x(a)=A,φ(x’(b),x”(b))=0,x”(a)=B,
或者
x(a)=A,ψ(x’(a),x’’(a))=0,x’’(b)=C.
在这里我们把它延伸到更普遍的例子中,因为把非线性边界条件
X(a)=A,g(x’(a))–[x”(a)]p=B,φ(x(b),x(b),x(b))=C,(1.2)
或者
x(a)=A,ψ(x(a),x’(a),x’’(a))=B,h(x’(b))+[x”(b)]q=C.(1.3)
用作三阶非线性区分方程式
X’’’=f(t,x,x’,x’’),a 函数f(t,x,y,z): [a,b]xR3→R是连续的,g,h: R→R是连续的,φ,ψ: R3→R在第一个和第三个变量上是连续且单调的,p和q是奇数。 通过运用上下解法和Leray-Schauder度理论,显示出在符号型Nagumo条件下的存在结论要比在[5]中的弱。 文章如下。 在§2将会介绍一些标记法和基础部分。 §3中将对存在结论进行讨论。 我们结论的应用将会在最后一章以例子的形式呈现。 2基础部分 2.1定义函数α(t)∈C3[a,b]会是一个边界值问题(BVP)(1.1),(1.2)的下解法,如果 α”’(t)≥f(t,α(t),α’(t),α’’(t)),t∈[a,b],(2.1) 并且 α(a)≤A,g(α’(a))−[α’’(a)]p≤B,φ(α(b),α’(b),α’’(b))≤C.(2.2) 函数β(t)∈C3[a,b]回事BVP(1.1),(1.2)的上解法,如果它满足了反响不等式。 定义2.2给出一个子集D⊂[a,b]×R3,函数f: D→R在D中满足符号型Nagumo条件(N+*),如果存在Φ∈C(R0+,(0,+∞))这样的 f(t,x,y,z)sgn(z)≤Φ(|z|)所有的(t,x,y,z)∈D(2.3) 并且 ſ0+∞s/Φ(s)ds=+∞.(2.4) 如果如果(2.3)被(2.5)替换 f(t,x,y,z)sgn(z)≥−Φ(|z|)所有的(t,x,y,z)∈D,(2.5) 那我们就说f满足符号型Nagumo条件(N-*)。 引理2.3让αi,βi∈C[a,b]满足 αi(t)≤βi(t),i=0,1,t∈[a,b], 并且设定集合 E={(t,x,y,z)∈[a,b]×R3: α0(t)≤x≤β0(t),α1(t)≤y≤β1(t)}. 让f: [a,b]×R3→R是连续函数并且在E中满足符号型Nagumo条件(N+*)。 那么对于每一个ρ>0都会存在K>0(取决于α1(t),β1(t),Φ和ρ),对于(1.1)的每一个解法x(t)都会变化 |x”(a)|≤ρ(2.6) 并且 α0(t)≤x(t)≤β0(t),α1(t)≤x’(t)≤β1(t)所有的t∈[a,b],(2.7) 我们就会得到 ||x”||∞ 证明这个结论用[5]中引理2的相似技巧可以很容易证明。 评论2.4.如果我们用条件(N*-)替换(N*+),并且用|x”(b)|≤ρ假定(2.6),上述结论依然成立。 引理2.5边值问题 x”’=x’Φ(|x”|),(2.8) x(a)=0,x’(a)=[x”(a)]p,x’(b)=0(2.9) 其中Φ∈C(R+0,(0,+∞)),得到只是平凡的解法。 证明假定,矛盾x0(t)是BVP(2.8),(2.9)的非平凡解法。 那么会存在t∈[a,b],这样x’0(t)>0或者x’0(t)<0.假定第一个例子成立。 规定 Maxx’0(t)=x’0(t1)>0. t∈[a,b] 如果t1∈(a,b),那么x”0(t1)=0并且x”’0(t1)≤0.从(2.8)中,我们会得到以下矛盾: 0≥x”’0(t1)=x’0(t1)Φ(|x”0(t1)|)>0. 如果t1=a,那么x’0(a)>0并且x”0(a)≤0,这与(2.9)矛盾. 如果t1=b,从(2.9)中,我们可以得到矛盾。 这样,BVP(2.8),(2.9)只有平凡解法。 3.主要结论 命题3.1假定 (i)BVP(1.1),(1.2),α(t),β(t)存在上下解法,这样 α’(t)≤β’(t),t∈[a,b], (ii)f(t,x,y,z)在[a,b]×R3是连续的并且在x上是递减的。 (iii)f(t,x,y,z)满足符号型Nagumo条件(N+*)在 D∗={(t,x,y,z)∈[a,b]×R3: α(t)≤x≤β(t),α’(t)≤y≤β’(t)}, (iv)g(y)在R上是连续的,φ(x,y,z)在R3上市连续的,在x上是递减的,在z上是递增的。 那么BVP(1.1),(1.2)会至少有一个解法x(t)∈C3[a,b],这样 α(t)≤x(t)≤β(t),a’(t)≤x’(t)≤β’(t),t∈[a,b]. 证明i=0,1,定义 wi(t,xi)=β(i)(t),xi>β(i)(t), xi,α(i)(t)≤xi≤β(i)(t), α(i)(t),xi<α(i)(t). 对于λ∈[0,1],我们考虑辅助方程式 X”’(t)=λf(t,w0(t,x(t)),w1(t,x’(t)),x”(t))+[x’(t)−λw1(t,x’(t))]Φ(|x”(t)|),(3.1) 其中Φ由符号型Nagumo条件(N+*)决定,并伴随边界条件 x(a)=λA,(3.2) x’(a)=λ[B−g(w1(a,x’(a)))+w1(a,x’(a))]+[x”(a)]p,(3.3) x’(b)=λ[C−φ(w0(b,x(b)),w1(b,x’(b)),x”(b))+w1(b,x’(b))].(3.4) 然后我们可以选择M1>0,这样对于每一个t∈[a,b], −M1<α’(t)≤β’(t) f(t,α(t),α’(t),0)−[M1+α’(t)]Φ(0)<0,(3.6) f(t,β(t),β’(t),0)+[M1–β’(t)]Φ(0)>0,(3.7) B−g(α’(a))+α’(a)>−M1,|C−φ(α(b),α’(b),0)+α’(b)| B−g(β’(a))+β’(a) 下面我们将从四步完成论证。 步骤1BVP(3.1)–(3.4)的每个解法x(t)满足 |x’(t)| 独立的λ。 假设估计并不正确。 那么会存在t∈[a,b],这样x’(t)≥M1或者x’(t)≤−M1.将设第一个例子成立。 定义 maxx’(t): =x’(t0)(≥M1>0). t∈[a,b] 如果t∈(a,b),那么x’’(t0)=0并且x”’(t0)≤0.对于条件(ii)和(3.7)下的λ∈(0,1],我们会有如下矛盾 0≥x”’(t0) =λf(t0,w0(t0,x(t0)),w1(t0,x’(t0)),x”t0)+[x’(t0)−λw1(t0,x’(t0))]Φ(|x”(t0)|) =λf(t0,w0(t0,x(t0)),w1(t0,x’(t0)),0)+[x’(t0)–λβ’(t0)]Φ(0) ≥λ{f(t0,β(t0),β’(t0),0)+[M1–β’(t0)]Φ(0)} >0 并且,对于λ=0时,会有 0≥x”’(t0)=x’(t0)Φ(0)≥M1Φ(0)>0. 如果t0=a时,那么 maxx’(t)=x’(a)(≥M1>0). t∈[a,b] 并且x”(a)≤0时,对于λ=0,通过(3.3)会有以下矛盾: 0 对于λ∈(0,1]时,通过(3.3)和(3.9),我们可以获得如下矛盾: M1≤x’(a) =λ[B−g(w1(a,x’(a)))+w1(a,x’(a))]+[x”(a)]p ≤λ[B−g(β’(a))+β’(a)] 如果t0=b,那么 maxx’(t)=x’(b)(≥M1>0). t∈[a,b] 并且x”(b)≥0.对于λ=0时,通过(3.4)会有下面矛盾: 0 对于λ∈(0,1],通过(3.4),(3.9)和条件(ii),我们可以获得下面矛盾: M1≤x’(b) =λ[C−φ(w0(b,x(b)),w1(b,x’(b)),x”(b))+w1(b,x’(b))] ≤λ[C−φ(β(b),β’(b),0)+β’(b)] 这样,x’(t) 相似的,我们可以证明x’(t)>−M1时,对于t∈[a,b].从(3.2)可以得到 |x(t)| 步骤2存在M2>0这样BVP(3.1)–(3.4)的每个解法x(t)满足独立的λ∈[0,1]. 设定集合 D∗∗={(t,x,y,z)∈[a,b]×R3: |x|≤M0,|y|≤M1} 并且函数Fλ: [a,b]×R3→R由 Fλ(t,x,y,z)=λf(t,w0(t,x),w1(t,y),z)+[y−λw1(t,y)]Φ(|z|). 定义。 下面,将展示Fλ满足在D∗∗中的符号型Nagumo条件,独立的λ∈[0,1]。 事实上,因为f满足在D∗∗中的符号型Nagumo条件,就会有 Fλ(t,x,y,z)sgn(z)=λf(t,w0(t,x),w1(t,y),z)sgn(z)+[y–λw1(t,y)]Φ(|z|)sgn(z) ≤[2M1+1]Φ(|z|) : =Φ∗(|z|). 此外,会获得 ſ0+∞s/Φ∗(s)ds=ſ0+∞s/(2M1+1)Φ(s)ds=+∞. 这样,Fλ满足在D∗∗中的符号型Nagumo条件(N∗+),独立的λ∈[0,1]。 让 ρ: =[|B|+G+2M1]1/p, 其中 G=max|g(y)|. y∈[−M1,M1] 从(3.3),BVP(3.1)–(3.4)的每个解法x(t)满足 |x”(a)|=|x’(a)−λ[B−g(w1(a,x’(a)))+w1(a,x’(a))]|1/p ≤[|B|+G+2M1]1/p =ρ. 定义 α0(t)=−M0,β0(t)=M0,α1(t)=−M1,β1(t)=M1,t∈[a,b]. 回顾步骤1并应用引理2.3,就会存在M2>0(独立的λ),这样|x”(t)| 步骤3.对于λ=1,BVP(3.1)–(3.4)会有至少一个解法x1(t). 定义算子 L: C3[a,b]⊂C2[a,b]→C[a,b]×R3 通过 Lx=(x”’,x(a),x’(a),x’(b)) 和 Nλ: C2[a,b]→C[a,b]×R3 通过 Nλx=(λf(t,w0(t,x(t)),w1(t,x’(t)),x”(t))+[x’(t)−λw1(t,x’(t))]Φ(|x”(t)|),Aλ,Bλ,Cλ) 且 Aλ=λA, Bλ=λ[B−g(w0(a,x(a)),w1(a,x’(a)))+w1(a,x’(a))]+[x”(a)]p, Cλ=λ[C−φ(w0(b,x(b)),w1(b,x’(b)),x”(b))+w1(b,x’(b))]. 因为L−1是紧的,我们可以定义完全连续算子 Tλ: C2[a,b]→C2[a,b] 通过 Tλ(x)=L−1Nλ(x). 设定集合 Ω={x∈C2[a,b]: x∞ 通过步骤1和2,对每个λ∈[0,1]都很好的定义度deg(I−Tλ,Ω,θ),通过同伦不变性,我们可以得到 deg(I−T0,Ω,0)=deg(I−T1,Ω,0). 方程式x=T0(x)通过度理论,从引理2.5只会有平凡解法, deg(I−T1,Ω,0)=deg(I−T0,Ω,0)=±1. 因此,方程式x=T1(x)有至少一个解法。 就是问题 X”’(t)=f(t,w0(t,x(t)),w1(t,x’(t)),x”(t))+[x’(t)−w1(t,x’(t))]Φ(|x”(t)|)(3.11) 带有边界条件 x(a)=A,(3.12) x’(a)=[B−g(w1(a,x’(a)))+w1(a,x’(a))]+[x”(a)]p,(3.13) x’(b)=[C−φ(w0(b,x(b)),w1(b,x’(b)),x”(b))+w1(b,x’(b))](3.14) 在Ω会至少有一个解法x1(t)。 步骤4.事实上,上面问题的解法x1(t)也是BVP(1.1),(1.2)的解法,因为它满足 α(t)≤x1(t)≤β(t),α’(t)≤x’1(t)≤β’(t),t∈[a,b].(3.15) 假设,矛盾,存在t∈[a,b]这样x’1(t)>β’(t),并定义 max[x’1(t)–β’(t)]: =x’1(t1)–β’(t1)>0. t∈[a,b] 如果t1∈(a,b),那么x”1(t1)=β”(t1)并且x’’’1(t1)≤β’’’(t1).通过条件(ii),会得到矛盾 0≥x’’’1(t1)–β’’’(t1) ≥f(t1,w0(t1,x1(t1)),w1(t1,x’1(t1)),x”1(t1)) +[x’1(t1)−w1(t1,x’1(t1))]Φ(|x”1(t1)|)−f(t1,β(t1),β’(t1),β”(t1)) ≥f(t1,β(t1),β’(t1),β”(t1))+[x’1(t1)–β’(t1)]Φ(|x”1(t1)|)−f(t1,β(t1),β’(t1),β”(t1)) =[x’1(t1)–β’(t1)]Φ(|x”1(t1)|) >0. 如果t1=a,会有 max[x’1(t)–β’(t)]: =x’1(a)–β’(a)>0 t∈[a,b] 和 X”1(a)–β”(a)≤0. 通过(3.13),定义2.1和条件(iv),会有 β’(a) =[B−g(w1(a,x’1(a)))+w1(a,x’1(a))]+[x’’1(a)]p ≤B−g(β’(a))+β’(a)+[β”(a)]p ≤β'(a). 如果t1=b,会有 max[x’1(t)–β’(t)]: =x’1(b)–β’(b)>0 t∈[a,b] 和 x”1(b)–β”(b)≥0. 通过(3.14),定义2.1和条件(iv),会有矛盾 β’(b) =[C−φ(w0(b,x1(b)),w1(b,x’1(b)),x”1(b))+w1(b,x’1(b))] ≤C−φ(β(b),β’(b),β”(b))+β’(b) ≤β’(b). 这样, x’1(t)≤β’(t),t∈[a,b]. 应用相似手法,对于每个t∈[a,b]会获得α’(t)≤x’1(t).从 α(a)≤A≤β(a), 通过整合,会有 α(t)≤x1(t)≤β(t),t∈[a,b]. 因此,x1(t)事实上是BVP(1.1),(1.2).的一个解法。 非线性边界条件(1.3)对定理3.1的一个相似存在结果可以获得问题(1.1),(1.3). 4.例子 例子4.1边值问题 X”’=−x(x’)2−t2(x”)3,(4.1) x(0)=0,(4.2) (x’(0))3−(x”(0))p=1,(4.3) −4/πtan−1x (1)+2x’ (1)+(x’’ (1))3=1,(4.4) 其中p是奇数。 让 f(t,x,y,z)=−xy2−t2z3, g(y)=y3, φ(x,y,z)=−4/πtan−1x+2y+z3. 定义 α(t)=−t,β(t)=t,t∈[0,1], 那么α(t),β(t)是BVP(4.1)–(4.4)的上下解法。 而且我们发现f满足符号型Nagumo条件(N+*)在 D={(t,x,y,z)∈[0,1]×R3: −t≤x≤t,−1≤y≤1} 且Φ(z)=2.很容易证明定理3.1的所有条件都能被满足。 因此,从定义3.1,会存在BVP(4.1)–(4.4)的解法x(t),这样 −t≤x(t)≤t,−1≤x’(t)≤1,t∈[0,1]. 显然,[5]的结果并不适用于例子4.1,从而得出本篇文章富有新意且有意义。 参考文献
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