集 合.docx

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集合

集合

1．集合的含义与表示方法

（1）集合的含义：

研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：

确定性、无序性、互异性．

（2）元素与集合的关系：

①属于，记为∈；②不属于，记为∉.

（3）集合的表示方法：

列举法、描述法和图示法．

（4）常用数集的记号：

自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.

2．集合间的基本关系

　　表示

关系　　

文字语言

符号语言

记法

基本关系

子集

集合A的元素都是集合B的元素

x∈A⇒

x∈B

A⊆B或B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A

A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A

AB或

BA

相等

集合A，B的元素完全相同

A⊆B，

B⊆A

A＝B

空集

不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集

∀x，x∉∅，∅⊆A

∅

3．集合的基本运算

　表示

运算　

文字语言

符号语言

图形语言

记法

交集

属于集合A且属于集合B的元素组成的集合

{x|x∈A，且x∈B}

A∩B

并集

属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

{x|x∈A，或x∈B}

A∪B

补集

全集U中不属于集合A的元素组成的集合

{x|x∈U，x∉A}

∁UA

4．集合问题中的几个基本结论

（1）集合A是其本身的子集，即A⊆A；

（2）子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；

（3）A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.

[小题体验]

1．（2015·山东高考）已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}；B＝{x|2

A．（1,3）　B．（1,4）

C．（2,3）D．（2,4）

解析：

选C　由已知可得集合A＝{x|1

2．已知集合P＝{x|x<2}，Q＝{x|x2<2}，则（　　）

A．P⊆QB．P⊇Q

C．P⊆∁RQD．Q⊆∁RP

解析：

选B　解x2<2，得－

，∴P⊇Q.

3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩（∁UB）＝________.

答案：

{2,4}

4．集合{a，b}的所有子集为________．

答案：

{a}，{b}，{a，b}，∅

1．认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．

2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．

3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．

4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．

5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

[小题纠偏]

1．已知全集为R，集合A＝{x|x2＋5x－6≥0}，B＝

，则A∩（∁RB）等于（　　）

A．[6,8）B．[3,8]

C．[3,8）D．[1,8]

解析：

选D　依题意得A＝{x|（x＋6）（x－1）≥0}＝（－∞，－6]∪[1，＋∞），∁RB＝

，因此A∩（∁RB）＝[1,8]．

2．集合A＝{x|x＝－y2＋6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为（　　）

A．9B．8

C．7D．6

解析：

选C　当y＝0时，x＝6；当y＝1时，x＝5；当y＝2时，x＝2；当y≥3时，x∉N，故集合A＝{2,5,6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.

3．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．

解析：

∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，

∴x＝1或x＝4.

答案：

1或4

[题组练透]

1．（易错题）已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为（　　）

A．3B．6

C．8D．9

解析：

选D　集合B中元素有（1,1），（1,2），（1,4），（2,1），（2,2），（2,4），（4,1），（4,2），（4,4），共9个．

2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝（　　）

A．1B．－1

C．2D．－2

解析：

选C　因为{1，a＋b，a}＝

，a≠0，所以a＋b＝0，则

＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

3．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．

解析：

∵A＝∅，∴方程ax2－3x＋2＝0无实根，

当a＝0时，x＝

不合题意，

当a≠0时，Δ＝9－8a<0，∴a>

.

答案：

4．（易错题）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

解析：

由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－

，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－

时，m＋2＝

，而2m2＋m＝3，故m＝－

.

答案：

－

[谨记通法]

与集合中的元素有关问题的求解策略

（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题．

（2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第4题易忽视．

[典例引领]

1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．1　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

选D　用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．

由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，

∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

2．已知集合A＝{x|y＝

，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A．ABB．BA

C．A⊆BD．B＝A

解析：

选B　由题意知A＝{x|y＝

，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}．所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以BA，故选B.

[由题悟法]

集合间基本关系的两种判定方法和一个关键

[即时应用]

1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选A　因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B

a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．

2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．

解析：

当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，

则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则

解得2＜m≤4.

综上，m的取值范围为（－∞，4]．

答案：

（－∞，4]

………………

[命题分析]

集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．

常见的命题角度有：

（1）求交集或并集；

（2）交、并、补的混合运算；

（3）新定义集合问题．

[题点全练]

角度一：

求交集或并集

1．（2016·兰州诊断）已知集合A＝{x||x|<1}，B＝{x|2x>1}，则A∩B＝________，A∪B＝________.

解析：

由|x|<1，得－1

又由2x>1，解得x>0，所以B＝{x|x>0}．

所以A∩B＝{x|0－1}．

答案：

{x|0－1}

角度二：

交、并、补的混合运算

2．（2015·天津高考）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁UB＝（　　）

A．{2,5}　　　　　　　　B．{3,6}

C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}

解析：

选A　由题意得∁UB＝{2,5,8}，∴A∩∁UB＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．

3．（2016·南昌调研）设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是（　　）

A．[0,1]

B．[－1,2]

C．（－∞，－1）∪（2，＋∞）

D．（－∞，－1]∪[2，＋∞）

解析：

选C　因为A＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]，B＝{y|－1≤y≤1}＝[－1,1]，所以A∪B＝[－1,2]，所以∁R（A∪B）＝（－∞，－1）∪（2，＋∞）．

4．设集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x－a≥0}．

（1）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使得A∩B＝{x|0≤x<3}？

若存在，求出a的值及对应的A∪B；若不存在，说明理由．

解：

A＝{x|－2

（1）如图，若A∩B＝∅，则a≥3，

所以a的取值范围是[3，＋∞）．

（2）如图，由A∩B＝{x|0≤x<3}得a＝0，

A∪B＝{x|x>－2}．

角度三：

新定义集合问题

5．若x∈A，则

∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）

A．1B．3

C．7D．31

解析：

选B　具有伙伴关系的元素组是－1；

，2，

所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，

，

.

6．（2015·辽宁期末）对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝（M－N）∪（N－M），设A＝

，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝（　　）

A.

B.

C.

∪[0，＋∞）

D.

∪（0，＋∞）

解析：

选C　依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝

，故A⊕B＝

∪[0，＋∞）．

[方法归纳]

解集合运算问题4个注意点

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．设集合M＝{x|x＋1>0}，N＝{x|x－2<0}，则M∩N＝（　　）

A．（－1，＋∞）　　　　　　B．[－1,2）

C．（－1,2）D．[－1,2]

解析：

选C　因为M＝{x|x＋1>0}＝{x|x>－1}，N＝{x|x－2<0}＝{x|x<2}，所以M∩N＝（－1,2）．

2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝（　　）

A．{1,3,5,6}B．{2,3,7}

C．{2,4,7}D．{2,5,7}

解析：

选C　由补集的定义，得∁UA＝{2,4,7}．

3．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（　　）

A．－3∈AB．3∉B

C．A∩B＝BD．A∪B＝B

解析：

选C　化简A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B.

4．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝（　　）

A．[0,1]B．（0,1]

C．[0,1）D．（－∞，1]

解析：

选A　M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0＜x≤1}，M∪N＝[0,1]．

5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪（∁RB）＝（　　）

A．[－1,0]B．[1,2]

C．[0,1]D．（－∞，1]∪[2，＋∞）

解析：

选D　∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}＝{x|0

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知集合A＝

，则集合A中的元素个数为（　　）

A．2B．3

C．4D．5

解析：

选C　∵

∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1，

故集合A中的元素个数为4.

2．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为（　　）

A．8B．4

C．3D．2

解析：

选B　由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个，故选B.

3．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为（　　）

A．0或1或2B．1或2

C．0D．0或1

解析：

选A　由题意A＝{1,2}，当B≠∅时，

∵B⊆A，∴B＝{1}或{2}，

当B＝{1}时，a·1－2＝0，解得a＝2；

当B＝{2}时，a·2－2＝0，解得a＝1.

当B＝∅时，a＝0.故a的值为0或1或2.

4．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2b＋1，b∈Z}，C＝{x|x＝4c＋1，c∈Z}，则有（　　）

A．m＋n∈A

B．m＋n∈B

C．m＋n∈C

D．m＋n不属于A，B，C中任意一个集合

解析：

选B　∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又n∈B，

∴设n＝2b1＋1，b1∈Z，∴m＋n＝2（a1＋b1）＋1，

而a1＋b1∈Z，∴m＋n∈B.

5．设全集U＝R，A＝{x|2x（x－2）<1}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则右图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|x≥1}

B．{x|x≤1}

C．{x|0

D．{x|1≤x<2}

解析：

选D　由2x（x－2）<1得x（x－2）<0，解得00，得x<1.图中阴影部分表示的集合为A∩∁UB.因为∁UB＝[1，＋∞），画出数轴，如图所示，所以A∩∁UB＝[1,2）．

6．已知A＝{0，m,2}，B＝{x|x3－4x＝0}，若A＝B，则m＝________.

解析：

由题知B＝{0，－2,2}，A＝{0，m,2}，若A＝B，则m＝－2.

答案：

－2

7．设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩（∁RB）＝______________.

解析：

由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，

∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}．

∴A∩（∁RB）＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．

答案：

{x|－3＜x≤－1}

8．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．

解析：

集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是（－∞，－2]．

答案：

（－∞，－2]

9．已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：

①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.（用列举法表示）

解析：

若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．

答案：

{a2，a3}

10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；

（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

解：

由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，

B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

（1）因为A∩B＝[0,3]，

所以

所以m＝2.

（2）∁RB＝{x|xm＋2}，

因为A⊆∁RB，

所以m－2>3或m＋2<－1，

即m>5或m<－3.

因此实数m的取值范围是（－∞，－3）∪（5，＋∞）．

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．已知集合A＝{x|x2－2015x＋2014<0}，B＝{x|log2x

A．0B．1

C．11D．12

解析：

选C　由x2－2015x＋2014<0，解得1

由log2x

2．已知数集A＝{a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：

对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与

两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（　　）

A．{1,3,4}为“权集”

B．{1,2,3,6}为“权集”

C．“权集”中元素可以有0

D．“权集”中一定有元素1

解析：

选B　由于3×4与

均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3，

，

，

，

，

，

都属于数集{1,2,3,6}，故B正确；由“权集”的定义可知

需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C，D错误．

3．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．

（1）当m＝－1时，求A∪B；

（2）若A⊆B，求实数m的取值范围；

（3）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．

解：

（1）当m＝－1时，B＝{x|－2

则A∪B＝{x|－2

（2）由A⊆B知

解得m≤－2，

即实数m的取值范围为（－∞，－2]．

（3）由A∩B＝∅，得

①若2m≥1－m，即m≥

时，B＝∅，符合题意；

②若2m＜1－m，即m＜

时，需

或

得0≤m＜

或∅，即0≤m＜

.

综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞）．