计数原理专题训练.docx
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计数原理专题训练
计数原理专题训练
1.若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格,要求有公共顶点的两个格子颜色不同,则不同的涂色方案有( )
A.48种B.72种C.96种D.216种
2.二项式n的展开式前三项系数成等差数列,则n等于( )
A.6B.8C.7D.9
3.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里,其中A,B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里,且均不能试种在两端的试验田里,则不同的试种方法数为( )
A.12B.24C.36D.48
4.岳阳高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口,高考完后某班3个同学从该检票口进站到外地旅游,如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同,或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同,都视为不同的进站方式,那么这3个同学的不同进站方式有( )
A.24种B.36种C.42种D.60种
5.二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中有理项的个数为( )
A.7B.5C.4D.3
6.若二项式(3-x)n展开式中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则+的最小值为( )
A.2B.C.D.
7.已知(2x-1)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,则a2等于( )
A.18B.24C.36D.56
8.李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到“东亚文化之都——泉州”二日游,若他们不同一天出现在泉州,则他们出游的不同方案共有( )
A.16种B.18种C.20种D.24种
9.在(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)11的展开式中,x2的系数是( )
A.220B.165C.66D.55
10.若(x2+2)5展开式中x2项的系数是40,则实数m的值为( )
A.B.2C.±D.±2
11.某大型医疗器械展览将于2019年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作,每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( )
A.540B.300C.180D.150
12.九九重阳节期间,学校准备举行慰问退休老教师晚会,学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目,其中歌曲有2个节目,小品有2个节目,相声有1个节目,要求相邻的节目艺术形式不能相同,则不同的编排种数为( )
A.96B.72C.48D.24
13.一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛,3名女生和2名男生,如果男生不排第一个演讲,同时两名男生不能相邻演讲,则排序方式有________种.(用数字作答)
14.多项式5的展开式中,含x2的项的系数是________;常数项是________.
15.若(1-2x)2018=a0+a1x+…+a2018x2018(x∈R),则++…+的值为________.
16.(2x-1)n展开式中二项式系数的
计数原理专题训练答案
1.若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格,要求有公共顶点的两个格子颜色不同,则不同的涂色方案有( )
A.48种B.72种C.96种D.216种
答案 C
解析 按照以下顺序涂色,
A:
C→B:
C→D:
C→C:
C→E:
C→F:
C,
所以由分步乘法计数原理得总的方案数为
C·C·C·C·C=96.
2.二项式n的展开式前三项系数成等差数列,则n等于( )
A.6B.8C.7D.9
答案 B
解析 展开式的通项为Tk+1=kC,
其前三项的系数分别是1,,C,
据已知得n=1+,
解得n=8(n=1舍弃).
3.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里,其中A,B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里,且均不能试种在两端的试验田里,则不同的试种方法数为( )
A.12B.24C.36D.48
答案 B
解析 因为A,B两型号的种子试种方法数为2×2=4,
所以一共有4A=24(种)试种方法.
4.岳阳高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口,高考完后某班3个同学从该检票口进站到外地旅游,如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同,或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同,都视为不同的进站方式,那么这3个同学的不同进站方式有( )
A.24种B.36种C.42种D.60种
答案 D
解析 若三名同学从3个不同的检票通道口进站,
则有A=6(种);
若三名同学从2个不同的检票通道口进站,
则有CCAA=36(种);
若三名同学从1个不同的检票通道口进站,
则有CA=18(种).
综上,这3个同学的不同进站方式有60种.
5.二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中有理项的个数为( )
A.7B.5C.4D.3
答案 A
解析 二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则n=20,
20展开式的通项为
Tk+1=C20-kk=20-kC,
展开式的有理项满足20-k(k∈N)的值为整数,
据此可得,k可能的取值为0,3,6,9,12,15,18,共有7个.
6.若二项式(3-x)n展开式中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则+的最小值为( )
A.2B.C.D.
答案 B
解析 令x=1,可得二项式(3-x)n(n∈N*)展开式中所有项的系数之和为a=2n,令x=-1,可得(3-x)n展开式中所有项的系数的绝对值之和为b=4n,则+=+=2n+,故当n=1时,+取得最小值.
7.已知(2x-1)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,则a2等于( )
A.18B.24C.36D.56
答案 B
解析 (2x-1)4=4,
故a2(x-1)2=C[2(x-1)]2=4C(x-1)2,
所以a2=4C=24.
8.李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到“东亚文化之都——泉州”二日游,若他们不同一天出现在泉州,则他们出游的不同方案共有( )
A.16种B.18种C.20种D.24种
答案 C
解析 任意相邻两天组合一起,
包括①②,②③,③④,④⑤,⑤⑥,⑥⑦,一共有6种情况,
若李雷选①②或⑥⑦,则韩梅梅有4种选择,
若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥,则韩梅梅有3种选择,
故若他们不同一天出现在泉州,则他们出游的不同方案共有2×4+4×3=20(种).
9.在(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)11的展开式中,x2的系数是( )
A.220B.165C.66D.55
答案 A
解析 展开式中x2的系数为
C+C+C+C+…+C,
由组合数的性质得,
C+C+C+C+…+C
=C+C+C+C+…+C
=C+C+C+…+C
…
=C==220.
10.若(x2+2)5展开式中x2项的系数是40,则实数m的值为( )
A.B.2C.±D.±2
答案 C
解析 (x2+2)5展开式中x2项是由5展开式中常数项与的二次项之积和5展开式中二次项与的常数项之积组成的.
∵5的展开式的通项为
Tk+1=C·5-k·(-mx)k=(-m)kCx3k-10,
令3k-10=0,解得k=,不合题意,应舍去;
令3k-10=2,解得k=4,
∴(x2+2)5的展开式中x2项的系数为2·(-m)4C=40,即m4=4,
解得m=±.
11.某大型医疗器械展览将于2019年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作,每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( )
A.540B.300C.180D.150
答案 D
解析 将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种,
分成1,1,3时,有C·A种分法;
分成2,2,1时,有·A种分法,
由分类加法计数原理得,
共有C·A+·A=150(种)不同的分法.
12.九九重阳节期间,学校准备举行慰问退休老教师晚会,学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目,其中歌曲有2个节目,小品有2个节目,相声有1个节目,要求相邻的节目艺术形式不能相同,则不同的编排种数为( )
A.96B.72C.48D.24
答案 C
解析 第一类,先选择一个小品插入到2个歌曲之间,另一个小品放在歌曲的两边,这时形成了5个空,将相声插入其中一个,故有AAAA=40(种);第二类,相声插入歌曲之间,再把小品插入歌曲两边,有AA=4(种);第三类,相声插入小品之间,再把歌曲插入小品两边,有AA=4(种),根据分类加法计数原理可得,共有40+4+4=48(种).
13.一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛,3名女生和2名男生,如果男生不排第一个演讲,同时两名男生不能相邻演讲,则排序方式有________种.(用数字作答)
答案 36
解析 根据题意,分2步完成:
①将3名女生全排列,有A=6(种)顺序,
②排好后,有4个空位,男生不排第一个演讲,除去第一个空位,有3个空位可用,在这3个空位中任选2个,安排2名男生,有A=6(种)情况,
则有6×6=36(种)符合题意的排序方式.
14.多项式5的展开式中,含x2的项的系数是________;常数项是________.
答案 200 144
解析 根据题意,5的展开式的通项为
Tk+1=C25-k·xk.
∴当k=2时,有T3=C23·x2=80x2;
当k=3时,有T4=C22·x3=40x3;
当k=0时,有T1=C25·x0=32;
当k=1时,有T2=C24·x1=80x.
∴多项式5的展开式中,
含x2的项为2×80x2+·40x3=200x2,
即含x2的项的系数是200;
常数项是2×32+·80x=144.
15.若(1-2x)2018=a0+a1x+…+a2018x2018(x∈R),则++…+的值为________.
答案 -1
解析 在(1-2x)2018=a0+a1x+…+a2018x2018(x∈R)中,
令x=0时,可得(1-2×0)2018=a0,即a0=1,
令x=时,
可得2018=a0+++…+,
即a0+++…+=0,
又a0=1,所以++…+=-1.
16.(2x-1)n展开式中二项式系数的和为32,则(2x2+x-1)n展开式中x3的系数为________.
答案 -30
解析 由(2x-1)n展开式中二项式系数的和为32,可得2n=32,解得n=5,(2x2+x-1)5=(x+1)5(2x-1)5,
根据二项式定理可以求得(x+1)5的展开式中,
三次项、二次项、一次项的系数和常数项分别是10,10,5,1,
(2x-1)5的展开式中,
常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是-1,10,-40,80,
所以展开式中x3项的系数为-10+100-200+80=-30.
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- 计数 原理 专题 训练
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