精品新人教版高中数学必修421平面向量的实际背景及基本概念优质课教案.docx
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精品新人教版高中数学必修421平面向量的实际背景及基本概念优质课教案
第二章平面向量
本章教材分析
1.丰富多彩的背景引人入胜的内容
教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性接着介绍了平面向量的有关知识生将了解向量丰富的实际背景理解平面向量及其运算的意义能用向量语言与方法表述和解决数、物理中的一些问题发展运算能力和解决实际问题的能力平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础从生熟知的功的概念出发引出了平面向量数量积的概念及其几何意义接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起这样为解决有关的几何问题提供了方便特别能有效地解决线段的垂直问题最后介绍了平面向量的应用
2.教的最佳契机全新的思维视角
向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”这一概念是由物理和工程技术抽象出的反过向量的理论和方法又成为解决物理和工程技术的重要工具向量之所以有用关键是它具有一套良好的运算性质通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题这
一章的内容虽然概念多但大都有其物理上的虽然抽象却与图形有着密切的联系向量应用的优越性也是非常明显的全新的思维视角恰当的教与使得向量不仅生动有趣而且是培养生创新精神与能力的极佳契机
3.本章充分体现出新教材特点
以生已有的物理知识和几何内容为背景直观介绍向量的内容注重向量运算与数的运算的对比特别注意知识的发生过程对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论这一章中的一些例题教书不是先给出解法而是先进行分析探索出解题思路再给出解法解题后有的还总结出解决该题时运用的数思想和数方法有的还让生进一步考虑相关的问题对知识的处理都尽量设计成让生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式从而培养生的思维能力向量的坐标实际上是把点与数联系起进而可把曲线与方程联系起这样就可用代数方程研究几何问题同时也可以用几何的观点处理某些代数问题
4本章教约需12课时具体分配如下仅供参考[]
标题
课时
21平面向量的实际背景及基本概念
1课时
22向量的线性运算
3课时
23平面向量的基本定理及坐标表示
2课时
24平面向量的数量积
2课时
25平面向量的应用举例
2课时
本章复习
2课时
§21平面向量的实际背景及基本概念
一、教分析
本节是本章的入门课概念较多但难度不大生可根据原有的位移、力等物理概念习向量的概念结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念由于向量于物理并且兼具“数”和“形”的特点所以它在物理和几何中具有广泛的应用可通过几个具体的例子说明它的应用位移是物理中的基本量之一也是几何研究的重要对象几何中常用点表示位置研究如何由一点的位置确定另外一点的位置位移简明地表示了点的位置之间的相对
关系它是向量的重要的物理模型力是常见的物理量重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量物理中还有其他力让生举出物理中力的其他一些实例目的是要建立物理课中过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系以此更加自然地引入向量概念并建立习向量的认知基础
二、教目标
1、知识与技能:
了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量。
2、过程与方法:
通过对向量的习,使生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。
3、情感态度与价值观:
通过生对向量与数量的识别能力的训练,培养生认识客观事物的数本质的能力。
三、重点难点
教重点理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念会表示向量
教难点平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系
四、教设想:
(一)导入新课
思路1(情境导入)如图1在同一时刻老
鼠由A向西北方向的处逃窜猫在B处向正东方向的D处追去猫能否追到老鼠呢?
生马上得出结论追不上猫的速度再快也没用因为方向错了教师适时设问如何从数的角度揭示这个问题的本质?
由此展开新课
图1
思路2两列火车先后从同一站台沿相反方向开出各走了相同的路程怎样用数式子表示这两列火车的位移?
从中国象棋中规定“马”走日象走“田”让生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择
(二)推进新课、新知探究、提出问题
①在
物理课中我们过力的概念请回顾一下力的三要素是什么?
还有哪些量和力具有同样特征呢?
这些量的共同特征是什么?
怎样利用你所的数中的知识抽象这些具有共同特征的量呢?
②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述应怎样定义这样的量呢?
③数量与向量的区别在哪里?
活动教师指导生阅读教材思考讨论并解决上述问题生讨论列举与位移一样的一些量物体受到的重力是竖直向下的物体的质量越大它受到的重力越大;物体在液体中受到的浮力是竖直向上的物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大;速度与加速度都是既有大小又有方向的量;物理中
的动量与矢量都有方向且有大小;物理中存在着许多既有大小又有方向的量
教师引导生观察思考这些量的共同特征我们能否在数中对这些量加以抽象形成一种新的量至此时机成熟引入向量并把那些只有大小没有方向的量如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量物理上称为标量显然数量和向量的区别就在于方向问题
讨论结果
①略
②我们把既有大小又有方向的量叫做向量物理中称为矢量
③略
提出问题
①如何表示向量?
②有向线段和线段有何区别和联系?
分别
可以表示向量的什么?
③长度为零的向量叫什么向量?
长度为1的向量叫什么向量?
④满足什么条件的两个向量是相等向量?
单位向量是相等向量吗?
⑤有一组向量它们的方向相同或相反这组向量有什么关系?
怎样定义平行向量?
⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
⑦数量与向量有什么区别?
⑧数中的向量与物理中的力有什么区别?
活动教师指导生阅读教材通过阅读教材思考讨论以上问题
特别是有向线段是习向量的关键但不能说“向量就是有向线段有向线段就是向量”有向线段只是向量的一种几何表示二者有本质的区别向量只由方向和大小决定而与向量的起点的位置无关但有向线段不仅与方向、长度有关也与起点的位置有关如图2在线段AB的两个端点中规定一个顺序假设A为起点、B为终点我们就说线段AB具有方向具有方向的线段叫做有向线段通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向以A为起点、B为终点的有向线段记作
起点要写在终点的前面
已知
线段AB的长度也叫做有向线段
的长度记作
有向线段包含三个要素起点、方向、长度
图2
知道了有向线段的起点、方向和长度它的终点就唯一确定
用有向线段表示向量的方法是
1°起点是A终点是B的有向线段对应的向量记作
这里要提醒生注意
的方向是由点A指向点B点A是向量的起点
2°用字母abc…表示(一定要生规范书写印刷用黑体a书写用
)
3°向量
(或a)的大小就是向量
(或a)的长度(或称模)记作|
|(或|a|)
教师要注意引导生将数量与向量的模进行比较数量有大小而没有方向其大小有正、负和0之分可进行运算并可比较大小;向量的模是正数或0也可以比较大小由于方向不能比较大小像a>b就没有意义而|a|>|b|有意义
讨论结果①向量也可用字母abc…表示(印刷用粗黑体表示)手写用a→表示或用表示向量的
有向线段的起点和终点字母表示如
、
注意手写体上面的箭头一定不能漏写
②有向线段具有方向的线段就叫做有向线段其有三个要素起点、方向、长度
向量与有向线段的区别向量只有大小和方向两个要素与起点无关只要大小和方向相同则这两个向量就是相同的向量;有向线段有起点、大小和方向三个要素起点不同尽管大小和方向相同也是不同的有向线段
图3
③长度为0的向量叫零向量长度为1个单位长度的向量叫单位向量但要注意零向量、单位向量的定义都只是限制了大小长度为0的向量叫做零向量记作0规定零向量的方向是任意的长度等于1个单位的向量叫做单位向量
④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
⑤是平行向量平行向量定义的理解第一方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二我们规定0与任一向量平行即0∥a综合第一、第二才是平行向量的完整定义;向量abc平行记作a∥b∥c如图3
图4
又如图4abc是一组平行向量任作一条与a所在直线0平行的直线l在l上任取一点O则可在l上分别作出
=a
=b
=c这就是说任一组平行向量都可以移动到同一直线上因此平行向量也叫做共线向量
说明平行向量可以在同一直线上要区别于两平行线的位置关系
⑥是共线向量也就是平行向量但要注意平行向量就是共线向量这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)平行向量可以在同一直线上要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行要区别于在同一直线上的线段的位置关系[]
⑦数量只有大小是一个代数量可以进行代数运算、比较大小;向量有方向、大小双重性质不能比较大小
⑧力有大小、方向、作用点三个要素而数中的向量是由物理中的力抽象出的只有大小与方向两个要素与起点的位置无关
(三)应用示例
例1如图5试根据图中的比例尺以及三地的位置在图中分别用有向线段表示A地至B、两地的位移(精确到1)
图5
分析本例是一个简单的实际问题要求画出有向线段表示位移目的在于巩固向量概念及其几何表示
解
表示A地至B地的位移且|
|≈232;(AB长度×8000000÷100000)
表示A地至地的位移且|
|≈296(A长度×8000000÷100000)
点评位置是几何研究的重要内容之一几何中常用点表示位置研究如何由一点的位置确定另外一点的位置如图5由A点确定B点、点的位置
变式训练[]
一个人从A点出发沿东北方向走了100到达B点然后改变方向沿南偏东15°方向又走了100到达点求此人从点走回A点的位移
图6
解根据题意画出示意图如图6所示
|
|=100|
|=100∠AB=45°+15°=60°
∴△AB为正三角形
∴|
|=100即此人从点返回A点所走的路程为100
∵∠BA=60°
∴∠AD=∠BA-∠BAD=15°即此人行走的方向为西偏北15°
故此人从点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100
图7
例2判断下列命题是否正确若不正确请简述理由
(1)
ABD中
与
是共线向量;
(2)单位向量都相等
活动教师引导生画出平行四边形如图7
因为AB//D所以
∥
由于上面已经明确单位向量只限制了大小方向不确定所以单位向量不一定相等即单位向量模均相等且为1但方向不确定
解
(1)正确;
(2)不正确
点评本题考查基本概念对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好
图8
例3如图8设O是正六边形ABDEF的中心分别写出图中所示向量与
相等的量
活动本例是结合正六边形的一些几何性质让生巩固相等向量和平行向量的概念正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形它既是轴对称图形又是中心对称图形具有丰富的几何性质教书中要求判断
与
与
是否相等是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等让生从反面认识向量相等的概念
解
=
=
;
=
=
;
=
=
=
点评向量相等是一个重要的概念今后经常用到
让生在训练中明确向量相等不仅大小相等还要方向相同
变式训练
本例变式一与向量
长度相等的向量有多少个?
(11个)
本例变式二是否存在与向量
长度相等、方向相反的向量?
(存在)
例4下列命题正确的是()
Aa与b共线b与c共线则a与c也共线
B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
向量a与b不共线则a与b都是非零向量
D有相同起点的两个非零向量不平行
活动由于零向量与任一向量都共线所以A不正确由于数中研究的向量是自由向量所以两个相等的非零向量可以在同一直线上而此时就构不成四边形根本不可能是一个平行四边形的四个顶点所以B不正确向量的平行只要方向相同或相反即可与起点是否相同无关所以D不正确对于其条件以否定形式给出所以可从其逆否命题入手考虑假若a与b不都是非零向量即a与b至少有一个是零向量而由零向量与任一向量都共线可有a与b共线不符合已知条件所以有a与b都是非零向量即只有正确
答案
点评对于有关向量基本概念的考查可以从概念特征入手也可以从反面进行考虑即要判断一个结论不正确只需举一个反例即可要启发生注意这两方面的结合
变式训练
1判断
(1)平行向量是否一定方向相同?
(不一定)
(2)不相等的向量是否一定不平行?
(不一定)
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?
(零向量)
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?
(零向量)
(5)若两个向量在同一直线上则这两个向量一定是什么向量?
(平行向量)
(6)两个非零向量相等当且仅当什么?
(长度相等且方向相同)
(7)共线向量一定在同一直线上吗?
(不一定)
2把一切单位平面向量归结到共同的始点那么这些向量的终点所构成的图形是()
A一条线段B一段圆弧两个点D一个圆
答案D
3将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点则这些向量的终点所构成的图形是(
)
A一个点B两个点
一个圆D一条线段
答案B
(四)课堂小结
本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手利用类比的方法介绍了向量的两种表示方法几何表示和字母表示几何表示为用向量处理几何问题打下了基础字母表示则利于向量的运算;然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念这些概念是进一步习后续课程的基础必须要在理解的基础上把握好
(五)作
业
[]
[||]
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