统计学教案习题05方差分析.docx

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统计学教案习题05方差分析

第五章方差分析

一、教学大纲要求

（一）掌握内容

1．方差分析基本思想

（1）多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。

（2）多组均数比较的检验假设与F值的意义。

（3）方差分析的应用条件。

2．常见实验设计资料的方差分析

（1）完全随机设计的单因素方差分析：

适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、

方差分析表。

（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：

适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。

（3）多个样本均数间的多重比较方法：

LSD-t检验法；Dunnett-t检验法；SNK-q检验法。

（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。

（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。

（一）方差分析的基本思想

1．基本思想

方差分析（analysisofvariance，ANOVA）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sumofsquaresofdeviationsfrommean，SS）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS组间可由处理因素的

作用加以解释。

通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。

2．分析三种变异

（1）组间变异：

各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variationamonggroups），组间变异反映了

处理因素的作用（处理确有作用时），也包括了随机误差（包括个体差异及测定误差）,其大小可用组间均方（MS组k

2

间）表示，即MS组间=SS组间/组间，其中，SS组间=ni（xix）2，组间=k-1为组间自由度。

k表示处理组数。

i1

（2）组内变异：

各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异（variationwithingroups），组内变异反

kni映了随机误差的作用，其大小可用组内均方（MS组内）表示，MS组内SS组内/组内，其中SS组内（xijxi）2,

i1j1

组内Nk，为组内均方自由度。

（3）总变异：

所有观察值之间的变异（不分组），这种变异叫做总变异（totalvariation）。

其大小可用全体数据的方kni

差表示，也称总均方（MS总）。

按方差的计算方法，MS总=SS总/总，其中SS总=（xijx）2,k为处理组数，ni

i1j1

为第i组例数，总=N-1为总的自由度，N表示总例数。

（二）方差分析的应用条件

（1）各样本是相互独立的随机样本，且来自正态分布总体。

（2）各样本的总体方差相等，即方差齐性（homoscedasticity）。

（三）不同设计资料的方差分析

1．完全随机设计的单因素方差分析

（1）资料类型：

完全随机设计（completelyrandomdesign）是将受试对象完全随机地分配到各个处理组。

设计因素中只考虑一个处理因素，目的是比较各组平均值之间的差别是否由处理因素造成。

（2）方差分析表：

见表5-1。

FF时，拒绝H0:

12LLk。

表5-1完全随机设计方差分析计算表

来源

SS

MS

F值

组间

SS组间

组间k1

=SS组间

MS组间=

组间

MS组间

F=

MS组内

组内

（误差）

SS组内=SS总－SS组间

组内=总-组内=N-k

SS组内

MS组内=

组内

总计

SS总

总=N－1

总

2．随机区组设计的两因素方差分析

（1）资料类型：

随机区组设计（randomizedblockdesign）是将受试对象按自然属性（如实验动物的窝别、体重，病人的性别、年龄及病情等）相同或相近者组成单位组（区组），然后把每个组中的受试对象随机地分配给不同处理。

设计中有两个因素，一个是处理因素，另一个是按自然属性形成的单位组。

单位组的选择原则是“单位组间差别越大越好，单位组内差别越小越好”。

（2）方差分析表：

见表5-2。

F处理F时，拒绝H0:

12LL

表5-2随机区组设计方差分析计算表

k

multiple

LSD-t检验：

称为最小显著差异t检验。

适用于k组中某一对或某几对在专业上有特殊意义的均数间差

检验统计量为t值，自由度为方差分析表中的误差自由度，查

4．多组资料方差起行检验

当各组标准差相差较大（如1.5倍）时，需检验资料是否满足方差齐性的条件。

5.变量变换

当资料不能满足方差分析的条件时，如果进行方差分析，可能造成错误的判断。

因此对于明显偏离上述应用条件的资料，可以通过变量变换的方法来加以改善。

常用的变量变换方法有：

（1）对数变换对数变换不仅可以将对数正态分布的数据正态化，还能使数据方差达到齐性，特别是各样本的标准差与均数成比例或变异系数接近于一个常数时。

变换公式为：

（5-4）

XlgX当原始数据中有小值或零时，可用Xlg（X1）

（2）平方根变换常用于使服从Possion分布的计数资料或轻度偏态的资料正态化；当各样本的方差与均数呈正相关时，可使资料达到方差齐性。

变换公式为：

（5-5）

XX

当原始数据中有小值或零时，可用XX0.5

（3）倒数变换常用于数据两端波动较大的资料，可使极端值的影响减小。

变换公式为：

X1/X（5-6）

（4）平方根反正弦变换常用于服从二项分布的率或百分比资料。

一般地，当总体率较小（<30%）或较大（>70%）

时，通过平方根反正弦变换，可使资料接近正态，且达到方差齐性的要求。

变换公式为：

（5-7）

Xsin1X

（5）秩转换后，采用秩和检验比较组间差别（祥见第九章）

6．两因素析因设计方差分析

处理含有两因素两水平的全面组合。

例如治疗肿瘤术后病人，可采用4种方法：

既不放疗也不化疗（a0b0）；放疗不化疗（a1b0）；不放疗化疗（a0b1）；既放疗又化疗（a1b1）。

设放疗为A因素（两水平），化疗为B因素（两水平），则构成22析因设计，目的是分析A的主效应，B的主效应及AB的交互作用。

7．重复测量资料的方差分析受试对象随机分组后，多次测量某一观察指标，以比较处理效应在不同时间点有无变化。

如试验组和对照组的轻度高血压病人入院前、治疗后1天、2天、3天、4天的血压变化。

设处理分组为A因素，重复测量的时间点为B因素，目的是分析A的主效应和AB的交互作用。

三、典型试题分析

本题考点：

方差分析过程中离均差平方和的分解、离均差平方和与均方的关系。

组间变异和组内变异，总离均差平方和等于组间离均差平方和与组内离均差平方差之和，因此，等式SS总=SS组间+SS组内是成立的。

离均差平方和除以自由度之后的均方就不再有等式关系，因此C选项

不成立。

A、B选项不一定成立。

D选项为正确答案。

2

）。

．单因素方差分析中，当P<0.05时，可认为（

C．各总体均数都不相等D．各总体均数相等

答案：

B

[评析]本题考点：

方差分析的检验假设及统计推断。

方差分析用于多个样本均数的比较，它的备择假设（H1）是各总体均数不等或不全相等，当P<0.05时，接受H1，即认为总体均数不等或不全相等。

因此答案选B。

3.以下说法中不正确的是（）

A．方差除以其自由度就是均方

B．方差分析时要求各样本来自相互独立的正态总体

C．方差分析时要求各样本所在总体的方差相等

D．完全随机设计的方差分析时，组内均方就是误差均方答案：

A

[评析]本题考点：

方差分析的应用条件及均方的概念。

5．组内变异

）的概率为5%。

A.两种设计试验效率一样

B.随机单位组设计的误差一定小于完全随机设计

C.随机单位组设计的变异来源比完全随机设计分得更细

D.以上说法都不对答案：

C。

[评析]：

本题考点：

两种设计及其方差分析的区别。

两种设计不同，随机区组设计除处理因素外，还考虑了单位组因素。

进行方差分析时，变异来源多分解出项：

单位组间变异。

因此C选项为正确答案。

四、习题

一）名词解释

1．均方2．方差分析基本思想3．总变异4．组间变异

6．完全随机设计7．随机区组设计

（二）单项选择题

1．两样本均数的比较，可用（

）。

A．方差分析

B．t检验

C．两者均可

D．方差齐性检验

2．配伍组设计的方差分析中，

配伍等于（）。

A．总-误差

B．总-处理

C．总-处理+误差

D．总-处理-误差

3．在均数为μ，标准差为σ的正态总体中随机抽样，|X

4．当自由度（1,2）及显著性水准都相同时，方差分析的界值比方差齐性检验的界值（）。

A．大B．小C．相等D．不一定

5．方差分析中变量变换的目的是（）。

A．方差齐性化B．曲线直线化C．变量正态化D．以上都对6．下面说法中不正确的是（）。

A．方差分析可以用于两个样本均数的比较

B．完全随机设计更适合实验对象变异不太大的资料

C．在随机区组设计中，每一个区组内的例数都等于处理数

D．在随机区组设计中，区组内及区组间的差异都是越小越好7．随机单位设计要求（）。

A．单位组内个体差异小，单位组间差异大

B．单位组内没有个体差异，单位组间差异大

C．单位组内个体差异大，单位组间差异小

D．单位组内没有个体差异，单位组间差异小

8．完全随机设计方差分析的检验假设是（）。

A．各对比组样本均数相等B．各对比组总体均数相等

C．各对比组样本均数不相等D．各对比组总体均数不相等

9．完全随机设计、随机区组设计的SS和及自由度各分解为几部分（）。

A．2，2B．2，3C．2，4D．3，3

10．配对t检验可用哪种设计类型的方差分析来替代（）。

A．完全随机设计B．随机区组设计

C．两种设计都可以D．AB都不行

（三）简答题

1．t检验和方差分析的应用条件？

2．如何合理选择检验水准？

3．以t检验为例，说明检验假设中和P的区别。

32个

（四）计算题1．某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表5-3所示。

问不同季节氯化物含量有无差别？

若有差别，进行

水平的两两比较。

表5-3某湖水不同季节氯化物含量（mg/L）

春

夏

秋

冬

22.6

19.1

18.9

19.0

22.8

22.8

13.6

16.9

21.0

24.5

17.2

17.6

16.9

18.0

15.1

14.8

20.0

15.2

16.6

13.1

21.9

18.4

14.2

16.9

21.5

20.1

16.7

16.2

21.2

21.2

19.6

14.8

Xij

167.9

159.3

131.9

129.3

58