专题一阿基米德三角形的性质.docx
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专题一阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形:
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了:
抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米
德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质:
设抛物线方程为x2=2py,称弦AB为阿基米德三角形的底边,M为底边AB的中点,Q为两条
切线的交点。
性质1阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C则另一顶点Q的轨迹为。
性质3抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4若直线I与抛物线没有公共点,以I上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定
点。
性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点Q的轨迹为抛物线的,且阿基米德
三角形的面积的最小值为。
性质7在阿基米德三角形中,/QFAfZQFB
性质8在抛物线上任取一点I(不与AB重合),过I作抛物线切线交QAQB于ST,则厶QST的垂心在上。
性质9|AF•IBF1=|QF2.
性质10QM勺中点P在抛物线上,且P处的切线与A。
性质11在性质8中,连接AI、BI,则△ABI的面积是厶QST面积的倍。
高考题中的阿基米德三角形
例1(2005江西卷,理22题)如图,设抛物线C:
yx2的焦点为F,动点P在直线I:
x・y・20
■■
上运动,过P作抛物线C的两条切线PAPB且与抛物线C分别相切于A、B两点.
(1)求厶APB的重心G的轨迹方程
(2)证明/PF/=ZPFB
解:
(1)设切点A、B坐标分别为(x,x:
)和区乂)(化]x°),
•••切线AP的方程为:
2x0x・y・x00;
切线BP的方程为:
2x/—y-x;.0;
所以△APB的重心G的坐标为
所以yp二一3yG十4x:
,由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:
x一(Py+4x2)一2二0,即y二l(4x2一x"2).
3
cos/AFP—
Xo_Xi
2
121
x一(xox1—/(Xo才
ifp1I卜2_(xo2_y
•••/AFP=ZPFB
方法2:
①当x/o
线AF的距离为:
同理有cos/BFP
_lFPIIFB|
Xo-X1
J"
1
(x°Xi-
2
X1
'2,212|FPhX1-(X1-4)
1
一一)XoX1
亠二
IFP|
二o时,由于X’Xo,不妨设X。
二o,则y。
二o,所以P点坐标为(竺,。
),则P点到直
2
di
2
■IX*I1■X1
I1I;而直线BF的方程:
y1
4■
■1
X,
X1
即(X:
_])X_X"-
4
1
[XT
所以
P点到直线BF的距离为:
d2
”一拎
(x:
-;)2-(xj2
(X2—1)凹
(X14)2-IX1I
1■2
4
2
Xi
所以
d1=d2,即得/AFF=ZPFB
②当
x/oo时,直线AF的方程:
2
1Xoy-1—
4Xo
o(x-。
),即(x;
1I1_
-卩-細廿Xo_°,
直线
2
X
BF的方程:
、,一1一1
y—一—
4x1
■l
|o
(x-0),即(x:
-」)x-xy"1x1二0,
4
所以
P点到直线AF的距离为:
■I(x2
d1
牛△)卞1
2
2
X0
-亠1
-)(xo仁)
4_
21
|Xo
2
■X1I
同理可得到P点到直线BF的距离
xI
o,因此由d1=d2,可得到/AFP=ZPFB
例2(2006全国卷H,理21题)已知抛物线x2=4y的焦点为F,AB是抛物线上的两动点,且
AF=入FB(入〉0).过AB两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
(I)证明FM-晶为定值;
(□)设厶ABM勺面积为S,写出S=f(入)的表达式,并求S的最小值.解:
(I)由已知条件,得F(0,1),入〉0.
设A(x1,y1),B(x2,y2)•由AF=入FB,
即得(—x1,1—y)=入(x2,y2—1),
—x1=入x2①
1—y1=入(y2—1)②
11
将①式两边平方并把y1=4x12,y2=4x22代入得y1=入2y2③
丄
解②、③式得y1=入,y2=入,且有x1x2=—入x22=—4Xy2=—4,
11
抛物线方程为y=4x2,求导得y'=2x.
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
11
y=2X1(x—x1)+y1,y=2X2(x—x2)+y2,
1111
即y=2x1x—4x12,y=2x2x—4x22.
X1+X2X1X2X1+X2
解出两条切线的交点M的坐标为(2,4)=(2,—1).4分
ttX1+x2111
所以FM・AB=(2,—2)•(X2—x1,y2—y1)=2(x22—x12)—2(4x22—4x12)=0
所以FM・AB为定值,其值为0.……7分
1
(n)由(I)知在△ABM中,FMLAB因而S=AB|FM.
/X1+X2R11
|FM=
(2)2+(—2)2=”4X12+4X22+2X1X2+4
1+y2+2X(—4)+4=
11
入+入+2=.入+一入.
因为IAH、丨BF1分别等于AB到抛物线准线y=—1的距离,所以
IAB=|AF|+1BF|=y1+y2+2=入+入+2=({T)
11
S=21ABfm=(,入+—入)3,
1
由入+一入》2知S>4,且当T=1时,S取得最小值4.
例3(2007江苏卷,理19题)如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任
作一直线,与抛物线yx2相交于AB两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线
l:
y.叱交于P,Q,
OAO^*2,求c的值;(5分)
(1)
若OA
(2)
若P为线段AB的中点,求证:
QA为此抛物线的切线;(5分)
(3)
试问
(2)的逆命题是否成立说明理由。
(4分)
解:
(1)设过C点的直线为
AX1y,BX2$2,
=Xu
2
y二kx十c,所以X—kx
,OB一x2,y2,因为OAlOB
cc〉0,即x2・kx・c0,设
OB
2,所以
x1x^-kx
kx2一c二2
X1X2
2X^X^_kcX^_X2
=2
所以p_k2c
+kc*+『二2,即c2
c・2.0,所以C.2
舍去c
(2)设过Q的切线为ak1x
X1,y\2x,
所以
1
y
]*
1
\C
P/i
//
1yf
J
X
\|X
/
y
匕.2x!
,即
交点为M
IX1
$
c
2x1
X1X2
y1
一、2
-1
k
2
5
■l
2
■I
2
X1X2
~2T,
-c
=
k
—,—c(2
P
所以点
k2
——c
2
,所以Q厅,.,因为XiX
2C,所以X2,所以
Xi■
M和点Q重合,也就是QA为此抛物线的切线。
(3)
(2)的逆命题是成立,由(
2)可知q_,.c
,因为PQx轴,所以P
因为Xi-X2,所以p为AB的中点。
2-2
例4(2008山东卷,理22题)如图,设抛物线方程为x2二2py(p〉0),M为直线y二・2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.
(I)求证:
A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(H)已知当M点的坐标为(2,2p)时,AB二4“0•求此时抛物线的方程;
(川)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2二2py(p〉0)上,其中,
点C满足oc'二OA‘+oB‘(O为坐标原点)
合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2
亠2・/口・x/白
由x2py得y,得y^
2pp
因此直线MA的方程为y*2p二“(x-x°),直线MB的方程为y*2p二立(x—x°).pp
因此&二宁,即A。
二x+
所以A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(n)解:
由(i)知,当xo.2时,
将其代入①、②并整理得:
所以Xt,X2是方程x2・4x・4p20的两根,
因此Xt^x2二4,xtx2.—4p,
又AB"^10,所以p°1或p°2,
因此所求抛物线方程为X2:
2y或X2:
4y•
(川)解:
设Dg,丫3),由题意得。
区+乂?
,yt+y?
),则CD的中点坐标为QA一£+心*+宀,
22
x
设直线AB的方程为y・yt0(x・xJ,
■p
2
所以乞_2p二Xl(xt_x0),①2pIp
右D(x3,丫3)在抛物线上,贝yX32py32X0X3,
(1)当x°:
0时,则X!
-X2二3x。
二0,此时,点M(0,.3p)适合题意.
即X:
—x;二-4p3,矛盾.
又kAB二勺0,所以直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,p'
所以Xo工0时,不存在符合题意的M点.
综上所述,仅存在一点M(0,.3p)适合题意.
上,过点P作双曲线x3・y31的两条
■
1
B,定点M(—,0).
m
y0的垂线,垂足为N,试求△AMN
的重心G所在的曲线方程;
(3)求证:
A、M、B三点共线.
证明:
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得到yy0,且1,x:
■y:
1,
■y・ytk(x・xj
设切线PA的方程为:
y・yik(x・xj由,2・2■得
■x・y1
(1-k2)x2・2阳-kxjx・kXt)2■10
从而吉二4k2y—kxj2—4(1—k2)y—kxj2—4(1—k2)二0,
X1
解得k-
y1
因此PA的方程为:
y":
X1X・1同理pb的方程为:
y2y.X2X・1
又P(m,y。
)在PA、PB上,所以yy。
.mx!
■1,y2y^mx^1
即点A(x1,y1),Ba?
’)都在直线y°y.mx■1上
1■
又M(—,0)也在直线y°y.mx■1上,所以三点A、M、B共线
m■
(2)垂线AN的方程为:
y-ytX-x-Xt,
1),
y-y1-十得垂足xr&十yx・y0'
设重心G(x,y)
由x;・y:
.1可得(3x-3y一丄)(3x"3y一丄)二2即(x■丄)2・y2°-为重心G所在曲线方■mm3m"9
程.
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