二次函数知识点总结及相关典型题目57285.docx
- 文档编号:817464
- 上传时间:2022-10-13
- 格式:DOCX
- 页数:33
- 大小:474.78KB
二次函数知识点总结及相关典型题目57285.docx
《二次函数知识点总结及相关典型题目57285.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《二次函数知识点总结及相关典型题目57285.docx(33页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
二次函数知识点总结及相关典型题目57285
二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分基础知识
1.定义:
一般地,如果
是常数,
,那么
叫做
的二次函数.
2.二次函数
的性质
(1)抛物线
的顶点是坐标原点,对称轴是
轴.
(2)函数
的图像与
的符号关系.
①当
时
抛物线开口向上
顶点为其最低点;
②当
时
抛物线开口向下
顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点,对称轴是
轴的抛物线的解析式形式为
.
3.二次函数
的图像是对称轴平行于(包括重合)
轴的抛物线.
4.二次函数
用配方法可化成:
的形式,其中
.
5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①
;②
;③
;④
;⑤
.
6.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
①
的符号决定抛物线的开口方向:
当
时,开口向上;当
时,开口向下;
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于
轴(或重合)的直线记作
.特别地,
轴记作直线
.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数
相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:
,∴顶点是
,对称轴是直线
.
(2)配方法:
运用配方的方法,将抛物线的解析式化为
的形式,得到顶点为(
),对称轴是直线
.
(3)运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
9.抛物线
中,
的作用
(1)
决定开口方向及开口大小,这与
中的
完全一样.
(2)
和
共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
的对称轴是直线
,故:
①
时,对称轴为
轴;②
(即
、
同号)时,对称轴在
轴左侧;③
(即
、
异号)时,对称轴在
轴右侧.
(3)
的大小决定抛物线
与
轴交点的位置.
当
时,
,∴抛物线
与
轴有且只有一个交点(0,
):
①
,抛物线经过原点;②
与
轴交于正半轴;③
与
轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在
轴右侧,则
.
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当
时
开口向上
当
时
开口向下
(
轴)
(0,0)
(
轴)
(0,
)
(
0)
(
)
(
)
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:
.已知图像上三点或三对
、
的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:
.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:
已知图像与
轴的交点坐标
、
,通常选用交点式:
.
12.直线与抛物线的交点
(1)
轴与抛物线
得交点为(0,
).
(2)与
轴平行的直线
与抛物线
有且只有一个交点(
).
(3)抛物线与
轴的交点
二次函数
的图像与
轴的两个交点的横坐标
、
,是对应一元二次方程
的两个实数根.抛物线与
轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点
抛物线与
轴相交;
②有一个交点(顶点在
轴上)
抛物线与
轴相切;
③没有交点
抛物线与
轴相离.
(4)平行于
轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为
,则横坐标是
的两个实数根.
(5)一次函数
的图像
与二次函数
的图像
的交点,由方程组
的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时
与
有两个交点;②方程组只有一组解时
与
只有一个交点;③方程组无解时
与
没有交点.
(6)抛物线与
轴两交点之间的距离:
若抛物线
与
轴两交点为
,由于
、
是方程
的两个根,故
第二部分典型习题
1.抛物线y=x2+2x-2的顶点坐标是(D)
A.(2,-2)B.(1,-2)C.(1,-3)D.(-1,-3)
2.已知二次函数
的图象如图所示,则下列结论正确的是(C )
A.ab>0,c>0 B.ab>0,c<0 C.ab<0,c>0 D.ab<0,c<0
第2,3题图第4题图
3.二次函数
的图象如图所示,则下列结论正确的是( D )
A.a>0,b<0,c>0B.a<0,b<0,c>0
C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b>0,c>0
4.如图,已知
中,BC=8,BC上的高
,D为BC上一点,
,交AB于点E,交AC于点F(EF不过A、B),设E到BC的距离为
,则
的面积
关于
的函数的图象大致为(D)
5.抛物线
与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为4.
6.已知二次函数
与x轴交点的横坐标为
、
(
),则对于下列结论:
①当x=-2时,y=1;②当
时,y>0;③方程
有两个不相等的实数根
、
;④
,
;⑤
,其中所有正确的结论是 ①③④ (只需填写序号).
7.已知直线
与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为
.
(1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线
上,试确定这条抛物线的解析式;
(2)过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线
的解析式.
解:
(1)
或
将
代入,得
.顶点坐标为
,由题意得
,解得
.
(2)
8.有一个运算装置,当输入值为x时,其输出值为
,且
是x的二次函数,已知输入值为
0,
时,相应的输出值分别为5,
.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值
为正数时输入值
的取值范围.
解:
(1)设所求二次函数的解析式为
则
即
解得
故所求的解析式为:
.
(2)函数图象如图所示.
由图象可得,当输出值
为正数时,
输入值
的取值范围是
或
.
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:
骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图.请根据图象回答:
⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?
它的体温从最低上升到最高需要多少时间?
⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?
⑶兴趣小组又在研究中发现,图中10时到
22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解
析式.
解:
⑴第一天中,从4时到16时这头骆驼的
体温是上升的
它的体温从最低上升到最高需要12小时
⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃
⑶
10.已知抛物线
与x轴交于A、
B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,使得
△ABC为直角三角形.若存在,请求出a的值;若不
存在,请说明理由.
解:
依题意,得点C的坐标为(0,4).
设点A、B的坐标分别为(
,0),(
,0),
由
,解得
,
.
∴ 点A、B的坐标分别为(-3,0),(
,0).
∴
,
,
.
∴
,
,
.
〈ⅰ〉当
时,∠ACB=90°.
由
,
得
.
解得
.
∴ 当
时,点B的坐标为(
,0),
,
,
.
于是
.
∴ 当
时,△ABC为直角三角形.
〈ⅱ〉当
时,∠ABC=90°.
由
,得
.
解得
.
当
时,
,点B(-3,0)与点A重合,不合题意.
〈ⅲ〉当
时,∠BAC=90°.
由
,得
.
解得
.不合题意.
综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉,当
时,△ABC为直角三角形.
11.已知抛物线y=-x2+mx-m+2.
(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB=
,试求m的值;
(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且△MNC的面积等于27,试求m的值.
解:
(1)A(x1,0),B(x2,0).则x1,x2是方程x2-mx+m-2=0的两根.
∵x1+x2=m,x1·x2=m-2<0即m<2;
又AB=∣x1—x2∣=
∴m2-4m+3=0.
解得:
m=1或m=3(舍去),∴m的值为1.
(2)M(a,b),则N(-a,-b).
∵M、N是抛物线上的两点,
∴
①+②得:
-2a2-2m+4=0.∴a2=-m+2.
∴当m<2时,才存在满足条件中的两点M、N.
∴
.
这时M、N到y轴的距离均为
又点C坐标为(0,2-m),而S△MNC=27,
∴2×
×(2-m)×
=27.
∴解得m=-7.
12.已知:
抛物线
与x轴的一个交点为A(-1,0).
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;
(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点,如果点E在
(2)中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问:
在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解法一:
(1)依题意,抛物线的对称轴为x=-2.
∵抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),
∴由抛物线的对称性,可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0).
(2)∵抛物线
与x轴的一个交点为A(-1,0),
∴
.∴t=3a.∴
.
∴D(0,3a).∴梯形ABCD中,AB∥CD,且点C在抛物线
上,
∵C(-4,3a).∴AB=2,CD=4.
∵梯形ABCD的面积为9,∴
.∴
.
∴a±1.
∴所求抛物线的解析式为
或
.
(3)设点E坐标为(
,
).依题意,
,
,
且
.∴
.
①设点E在抛物线
上,
∴
.
解方程组
得
∵点E与点A在对称轴x=-2的同侧,∴点E坐标为(
,
).
设在抛物线的对称轴x=-2上存在一点P,使△APE的周长最小.
∵AE长为定值,∴要使△APE的周长最小,只须PA+PE最小.
∴点A关于对称轴x=-2的对称点是B(-3,0),
∴由几何知识可知,P是直线BE与对称轴x=-2的交点.
设过点E、B的直线的解析式为
,
∴
解得
∴直线BE的解析式为
.∴把x=-2代入上式,得
.
∴点P坐标为(-2,
).
②设点E在抛物线
上,∴
.
解方程组
消去
,得
.
∴△<0.∴此方程无实数根.
综上,在抛物线的对称轴上存在点P(-2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 二次 函数 知识点 总结 相关 典型 题目 57285