函数的单调性与奇偶性1.docx

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函数的单调性与奇偶性1

2020-2021年新高三数学一轮复习考点函数的单调性与奇偶性

一．最新考试说明：

1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性．

【2020年高考全国Ⅱ卷理数9】设函数f（x）=ln2x+1-ln2x-1，则f（x）（）

A．是偶函数，且在⎛1,+∞⎫单调递增B．是奇函数，且在⎛-1,1⎫单调递减

ç2⎪ç22⎪

⎝⎭⎝⎭

C．是偶函数，且在⎛-∞,-1⎫单调递增D．是奇函数，且在⎛-∞,-1⎫单调递减

ç2⎪ç2⎪

⎝⎭⎝⎭

【答案】D

【思路导引】根据奇偶性的定义可判断出f（x）为奇函数，排除AC；当x∈⎛-1,1⎫时，利用函数单调性

ç22⎪

⎝⎭

的性质可判断出f（x）单调递增，排除B；当x∈⎛-∞,-1⎫时，利用复合函数单调性可判断出f（x）单调

ç2⎪

⎝⎭

递减，从而得到结果．

【解析】由f（x）=ln2x+1-ln2x-1得f（x）定义域为⎧xx≠±1⎫，关于坐标原点对称，

⎨⎬

⎩⎭

又f（-x）=ln1-2x-ln-2x-1=ln2x-1-ln2x+1=-f（x），∴f（x）为定义域上的奇函数，可排

除AC；当x∈⎛-1,1⎫时，f（x）=ln（2x+1）-ln（1-2x），Qy=ln（2x+1）在⎛-1,1⎫上单调递增，

ç22⎪ç22⎪

⎝⎭⎝⎭

y=ln（1-2x）在⎛-1,1⎫上单调递减，∴f（x）在⎛-1,1⎫上单调递增，排除B；当x∈⎛-∞,-1⎫时，

ç22⎪

ç22⎪

ç2⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

f（x）=ln（-2x-1）-ln（1-2x）=ln2x+1=ln⎛1+2⎫，

在⎛-∞,-1⎫上单调递减，

2x-1ç2x-1⎪

ç2⎪

⎝⎭⎝⎭

f（μ）=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：

f（x）在⎛-∞,-1⎫上单调递减，D正确．故

ç2⎪

⎝⎭

选D．

【专家解读】本题的特点是注重函数性质的综合应用，本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解函数奇偶性、单调性的含义．

24

【2020年高考全国Ⅰ卷理数12】若2a+loga=4b+2logb，则（）

A.a>2b

【答案】B

B.

a<2b

C.

a>b2

D.

a

2

【思路导引】设f（x）=2x+logx，利用作差法结合f（x）的单调性即可得到答案．

2242

【解析】设f（x）=2x+logx，则f（x）为增函数，∵2a+loga=4b+2logb=22b+logb，

22

∴f（a）-f（2b）=2a+log

a-（22b+log2b）=22b+log

b-（22b+log2b）=log

1=-1<0，

22

2222

∴f（a）

2

22b-2b2-logb，当b=1时，f（a）-f（b2）=2>0，此时f（a）>f（b2），有a>b2；当b=2时，

f（a）-f（b2）=-1<0，此时f（a）

【专家解读】本题的特点函数与方程的灵活运用，本题考查了函数与方程，考查函数的单调性，考查数学运算、数学建模、逻辑推理等学科素养．解题关键是构造函数，应用函数的单调性解决问题．

【2020年高考全国Ⅱ卷文数12理数11】若2x-2y<3-x-3-y，则（）

A．ln（y-x+1）>0

B．ln（y-x+1）<0

C.lnx-y>0

D.lnx-y<0

【答案】A

【思路导引】将不等式变为2x-3-x<2y-3-y，根据f（t）=2t-3-t的单调性知x

选项中真数与1的大小关系，进而得到结果．

【解析】由2x-2y<3-x-3-y得：

2x-3-x<2y-3-y，令f（t）=2t-3-t，

y=2x为R上的增函数，

y=3-x为R上的减函数，∴f（t）为R上的增函数，∴x

y-x>0，∴y-x+1>1，

∴ln（y-x+1）>0，则A正确，B错误；Q

x-y与1的大小不确定，故CD无法确定，故选A．

【专家解读】本题的特点是函数单调性的灵活运用，本题考查了转化与化归的数学思想，考查函数的单调性，考查数式的大小比较，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是构造适当的函数，应用函数的单调性解决问题．

2.理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性．

【2020年高考全国Ⅱ卷文数10】设函数f（x）=x3-1，则f（x）（）

x3

A．是奇函数，且在（0,+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0,+∞）单调递减

C．是偶函数，且在（0,+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0,+∞）单调递减

【答案】A

【思路导引】根据函数的解析式可知函数的定义域为{xx≠0}，利用定义可得出函数f（x）为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．

【解析】∵函数f（x）=x3-1

x3

定义域为{xx≠0}，其关于原点对称，而f（-x）=-f（x），

∴函数f（x）为奇函数．又∵函数y=x3在（0,+?

）上单调递增，在（-?

0）上单调递增，而y=1

x3

=x-3

在（0,+?

）上单调递减，在（-?

0）上单调递减，∴函数f（x）=x3-1

x3

在（0,+?

）上单调递增，在

（-?

0）上单调递增．故选A．

【专家解读】本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查数学运算学科素养．解题关键是正确理解函数奇偶性、单调性的含义．

【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数f（x）=

ex-e-x

x2

的图像大致为

【答案】B

【解析】

x≠0,f（-x）=

e-x-ex

x2

=-f（x）,∴f（x）为奇函数，舍去A；

f

（1）=e-e-1

>0，∴舍去D；

（ex+e-x）x2-（ex-e-x）2x

4

（x-2）ex+（x+2）e-x

3

∴x>2时，f'（x）>0，f（x）单调

xx

递增，舍去C.因此选B.

【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：

（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；

（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，

判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性.

【2020年福建高三模拟】下列函数为奇函数的是

A．y=B．y=sinx

C.

y=cosx

D.

y=ex-e-x

【答案】D

【解析】∵函数y=的定义域为[0,+∞），不关于原点对称，所以函数y=为非奇非偶函数，排除A；因为y=|sinx|为偶函数，所以排除B；因为y=cosx为偶函数，所以排除C；因为y=f（x）=ex-e-x，

f（-x）=e-x-ex=-（ex-e-x）=-f（x），所以y=f（x）=ex-e-x为奇函数．

3.利用函数奇偶性求函数值及求参数值．

2

【2020年高考江苏卷7】已知y=f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=x3，则f（-8）的值是．

【答案】-4

22

【解析】y=f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=x3，则f（-8）=-f（8）=-83=-4．

【专家解读】本题考查了函数的奇偶性，考查数学运算学科素养．解题关键是正确应用函数的奇偶性．

【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知f（x）是奇函数，且当x<0时，f（x）=-eax.若f（ln2）=8，则

a=．

【答案】-3

【解析】由题意知f（x）是奇函数，且当x<0时，f（x）=-eax，又因为ln2∈（0,1），f（ln2）=8，所以-e-aln2=-8，两边取以e为底数的对数，得-aln2=3ln2，所以-a=3，即a=-3．

【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．

【2015新课标Ⅰ】若函数f（x）=xln（x+a+x2）为偶函数，则a=

【答案】1

【解析】由题意f（x）=xln（x+

a+x2）=f（-x）=-xln（

-x），所以

+x=1，

解得a=1．

【2012安徽】若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞），则a=．

【答案】-6

⎧-2x-ax<-a

⎪2aa

【解析】由f（x）=⎨

⎪

⎪⎩

2x+ax…-a

2

可知f（x）的单调递增区间为[-,+∞），故-=3⇔a=-6．

22

二．命题方向预测：

1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点．

2.函数的奇偶性是高考考查的热点．

3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．

4.题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题．

三．课本结论总结：

1.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．注意：

确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：

定义法、图像法、性质法等．

2.若奇函数定义域中有0，则必有f（0）=0．即0∈f（x）的定义域时，f（0）=0是f（x）为奇函数的必要

非充分条件．对于偶函数而言有：

f（-x）=f（x）=f（|x|）．

3.确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：

定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：

数形结合法（图像法）、特殊值法等等．

4.

22

若函数f（x）的定义域关于原点对称，则f（x）可以表示为f（x）=1⎡⎣f（x）+f（-x）⎤⎦+1⎡⎣f（x）-f（-x）⎤⎦，

该式的特点是：

右端为一个奇函数和一个偶函数的和．

5.既奇又偶函数有无穷多个（f（x）=0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．

6.复合函数的单调性特点是：

“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：

“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）．

7.函数y=f（x）与函数y=f（-x）的图像关于直线x=0（y轴）对称．

8.函数y=

f（x）与函数y=-f（x）的图像关于直线y=0（x轴）对称．

9.函数y=f（x）与函数y=-f（-x）的图像关于坐标原点中心对称．

10.

a

函数y=ax与函数y=logx（a>0,a≠1）的图像关于直线y=x对称．

四、名师二级结论：

一个防范

函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y=

1

分别在（－∞，0），（0，＋∞）

x

内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即（－∞，0）∪（0，＋∞）内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为（－∞，0）和（0，＋∞），不能用“∪”连接．

一条规律

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．

注意：

分段函数判断奇偶性应分段分别证明f（－x）与f（x）的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

两个应用

1.已知函数的奇偶性求函数的解析式．

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f（x）的方程，从而可得f（x）的解析式．

2.已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．

常常采用待定系数法：

利用f（x）±f（－x）＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．三种方法

判断函数单调性的三种方法方法：

（1）定义法；

（2）图象法；（3）导数法．判断函数的奇偶性的三种方法：

（1）定义法；

（2）图象法；（3）性质法．

在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：

f（－x）＝±f（x）⇔f（－x）±f（x）＝0⇔

f（-x）

＝±1，f（x）≠0．

f（x）

五、课本经典习题：

（1）新课标人教A版必修一第36页练习第1（3）题

x2+1

判断下列函数的奇偶性：

f（x）=．

x

【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式．

（2）新课标人教A版必修一第44页复习参考题A组第八题

设f（x）=

1+x2

1-x2

，求证：

（1）f（-x）=f（x）；

（2）f（）=-f（x）．

x

【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展．

（3）新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第3题

对于函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）．

（1）探索函数f（x）的单调性；

（2）是否存在实数a使f（x）为奇函数？

【经典理由】典型的函数性质应用题，可以进行改编、变式或拓展．

（4）新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第4题

设f（x）=

ex-e-x

ex+e-x

g（x）=，求证：

22

（1）[g（x）]2-[f（x）]2=1；

（2）f（2x）=2f（x）∙g（x）；（3）g（2x）=[g（x）]2+[f（x）]2．

【经典理由】典型的证明函数性质题，可以进行改编、变式或拓展．

六．考点交汇展示：

（1）函数的奇偶性与导函数交汇

例1．（2020·四川高三三模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f'（x）．若

x>0时，f'（x）<2x，

则不等式f（2x）-f（x-1）>3x2+2x-1的解集是．

【答案】⎛-1,1⎫

ç3⎪

⎝⎭

【解析】

【分析】构造g（x）=f（x）-x2，先利用定义判断g（x）的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化

f（2x）-f（x-1）>3x2+2x-1为g（2x）>g（x-1），结合奇偶性，单调性求解不等式即可.

【详解】令g（x）=f（x）-x2，则g（x）是R上的偶函数，g'（x）=f'（x）-2x<0，则g（x）在（0,+∞）上递

减，于是在（-∞,0）上递增．由f（2x）-f（x-1）

>3x2+2x-1

得f（2x）-（2x）2>f（x-1）-（x-1）2，即

g（2x）>g（x-1）

，于是g（|2x|）>g（|x-1|），则|2x|<|x-1|，解得-1

⎛-1,1⎫



3ç3⎪

⎝⎭

【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

（2）函数的奇偶性与函数的零点交汇

2x-1-1,0

，

例2．已知函数f（x）是定义在（-∞,0）⋃（0,+∞）上的偶函数，当x>0时，f（x）={1

2

f（x-2）,x>2

则函数g（x）=4f（x）-1的零点个数为（）A.4B.6C.8D.10

【答案】D

【解析】求函数g（x）=4f（x）-1的零点个数只需考查方程f（x）=1的实根个数，当0

4

2x-1-1,1

f（x）=2x-1-1={⎛1⎫x-1

，f（x）在（0,1]上递减，在（1,2]上递增，f

（2）=1，值域为

ç⎪-1,0

⎝⎭

[0,1].当x>2时，f（x）=1f（x-2），当2

2⎢⎣2⎥⎦

函数f（x）的值域为⎡0,1⎤，当60上有5个

⎢⎣4⎥⎦

⎢⎣16⎥⎦4

实根，又函数为偶函数，f（x）=1在（-∞,0）⋃（0,+∞）上有10个实根，函数g（x）=4f（x）-1的零点

4

个数为10个，选D.

（3）函数的奇偶性、单调性与特称命题交汇

例3．（2020·河北正定中学高三月考）已知定义域为I的偶函数f（x）在（0,+∞）上单调递增，且∃x0∈I，

f（x0）<0，则下列函数中符合上述条件的是（）

4

A．f（x）=x2+|x|B．f（x）=2x-2-x

C.f（x）=log2|x|

D.

f（x）=x-3

【答案】C

【解析】由题意，函数f（x）=x

2+|x|的图象关于y轴对称，但在（0,1）单调递减，在（1,+∞）单调递增，

22

不满足题意；函数f（x）=2x-2-x的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，不满足题意；函数

-41

f（x）=x

3=≥0，即函数的值域为[0,+∞），不满足题意，故选C．

【考点分类】

热点一函数的单调性

1.【2017北京，理5】已知函数f（x）=3x-

（1）x，则f（x）

3

（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数

（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数

【答案】A

2.已知f（x）是定义域为实数集R的偶函数，∀x≥0，∀x≥0，若x≠x，则

f（x2）-f（x1）<0．如

1212

13

x2-x1

果f（3）=4，4f（log1x）>3，那么x的取值范围为

（）

（A）（0,1）（B）（1,2）（C）（1,1]⋃（2,+∞）（D）（0,1）⋃（1,2）

22282

【答案】B

【解析】∵∀x≥0，∀x≥0，x≠x

，则f（x2）-f（x1）<0，∴定义在实数集R上的偶函数f（x）

1212

x2-x1

在[0,+∞）上是减函数．∵4f（log1

8

x）>3，∴f（log1

8

x）>

3

，即f（log

8

x）>

1

f（）．

3

⎧log1x≥0,⎧log1x<0,

∴⎪8,或⎪8,解得1

⎨

⎪log1

⎩8

x<1

3

⎨

⎪log1

⎩8

x>-122

3

3．（2020·辽宁高三开学考试）已知函数f（x）在定义域（0,+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0,+∞），都有

f[f（x）-

1]=2，则f（）的值是（）.

x7

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】设f（x）-1=t，所以f（t）=2，那么f（x）=t+1，当x=t（t>0）时，t+1=2，解得t=1，

xxt

所以f（x）=1+1，那么f⎛1⎫=1+7=8，故选D.

xç7⎪

⎝⎭

4.（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知，函数

，若在上是单调减函数，则实数的取值范围是．

【答案】

【解析】在

上上是单调减函数，

，

，设，，则.

【方法规律】

1．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的