最大熵原理在气象学中的应用张学文.docx

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最大熵原理在气象学中的应用张学文

第六章最大熵原理在气象学中的应用

上一章我们把熵原理作了简要介绍，并附带提及了它在一些领域的应用。

由于熵原理的普遍的适用性，因而认真分析它在气象上的应用潜力是十分值得的。

很显然，用熵原理说明的气象学中的问题越多，不仅越加显示熵原理的重要性，显示宇宙真理的统一性，而且也为气象学找到了新的理论武器，而这势必也提高了气象学的科学性和实用性。

在这一章我们就重点讨论最大熵原理怎样应用于各种气象问题之中，以及由此得出的结果。

把最大熵原理用于说明气象现象大致包含如下步骤：

◆首先把气象问题归结为某种分布函数（这在第二章已列出约30个分布函数的个例）。

◆找出形成上述分布函数的物理（气象）过程中有哪些重要的约束条件。

◆从物理（气象）过程含有随机性引出对应的熵达到极大值（即随机性导致最混乱）。

◆进行数学处理，从熵理论导出分布函数。

◆用实际资料验证理论结果（如不符，可再重复上述过程）。

后边的介绍就是把上述步骤分别用于各个具体的气象分布问题中，并从中逐步加深对最大熵原理的认识。

另外，从70年代以来Paltridge[1]等人从热力学熵平衡角度研究地球纬圈上的气温分布的工作，也应属于试着用熵原理的一种事例。

这个工作中尽管在原理上尚有不清楚之处，但其结果与实况的一致性和引用极值原理都是很有意义的。

鉴于汤懋苍[2]近年对此已有介绍，我们这里就不再评述了。

顺便指出，早在上世纪，从力学中发展起来的最小作用原理就从力学领域体现了自然界遵守某种极值原理的精神。

在气象界，罗伦茨[3]在60年代就设想大气也应当遵守某种极值原理。

而我们指出有一些气象分布函数可以从熵达极大的角度推导出来，这可以看成是罗伦茨思想从统计角度（非决定论角度）的具体体现。

所以，最大熵原理在气象学中的应用不仅应看作是随机论（非决定论）的胜利，也应当看成广义的极值原理的胜利。

§1大气的温度场和气压场

从最大熵原理出发，很容易说明大气中的温度场和气压场的分布。

在第二章第4节我们已经论证了大气的温度场和气压场的分布。

对气压场，我们从简单的分析得出它应是均匀分布，对温度场则从平均图上得出其分布也是均匀分布。

这就是说，如果从大气中纯随机地抽取一个空气样品，则其气压（气温）为各种可能值的出现概率都是相等的，或者说各种可能的气压（温度）占有的大气质量是一样的。

图2．5就是其代表。

大气温度为什么恰为均匀分布（它竟然遵守如此简单的分布，确实有些出人意料！

）?

形成现今温度分布的原因当然是太阳辐射和大气的对外辐射，这使我们想到如图6．1的极简单的模型。

图的左侧有一高温的恒定热源，其温度为T1，左侧有一低温的恒定热汇，其温度为T0。

介质处于T1和T0两个温度之间，它的温度在各处不会都是T1或T0，从而构成了一个温度场。

如果介质仅能从左右两端吞吐热量而其他界面与外界绝缘，那么介质中的温度场理应会形成如图所示的等温线呈均匀分布之形状。

此时介质上的温度分布函数应为均匀分布，对此我们也可以从解热传导方程中得出来。

图6．1恒温热源（T1）热汇（To）之间的介质中的温度场

从熵原理角度可以这么想：

约束介质的温度场的条件十分简单，它不能高于T1，，不能低于T0，此外再找不出其他约束，而依最大熵原理，温度在介质中随机性最大的分布（熵极大）此时应为均匀分布（参见第五章第2节）。

在第二章第4节已经从资料中证实全球大气的温度为均匀分布，这里又从熵原理对此作了说明，而6．1图进一步启示我们可以把大气看成图中的介质。

换言之，尽管天文上告诉人们大气受的日光有日变化、尽管太阳对地球是不均匀加热、尽管大气无时不在流动、尽管热量除了从赤道传向两极之外还有垂直传送……，可是这些复杂因素作用下形成的温度场竟然简单到与图6．1的物理过程相似，从而形成了温度的均匀分布，这确实出人意料——谁能想到结局会如此简单！

那么如何理解气压也遵守均匀分布呢?

　　均匀分布中要求有限定的上下限。

就气压而言，它不可能出现负值，因而≥0，可以看成是对气压下限值的约束。

另外，如果也像动力气象中那样，承认空气给地面的压力与大气质量受的地心引力基本相等，这就又决定了（一级近似）大气压力的上限。

除上述约束外，承认大气中每个空气微团的压力有最大的随机性（熵最大），就会导出大气压力应在0-1013hPa之间呈均匀分布的结论，这样就沿着熵原理引出了气压的均匀分布。

§2雨量在面积上的分布

用熵原理分析降水现象，在笔者看来是十分方便又富有成效的。

这里十分重要的一个步骤就是设法把问题首先转化成分布函数问题，再依本章开头介绍的思路往下分析。

降水在面积上的分布就是一个很有说服力的事例。

在过去，气象、水文工作者分析过大量的降水量在地域上的分布图--在地图上分析一场（或6小时，一天、…）雨的雨量等值线，而有了分布函数概念后，就可以从每一张雨量图上归纳出一个不同雨量各占有多少面积的关系来。

这实际上把一个二元函数（地理经纬度两个自变量和雨深这个函数值）简化成一个一元函数了（雨深是自变量，占的面积为函数值）。

这种简化使我们丧失了一些信息（不知道每个几何位置下了多少雨了），但是正如第二章第7节揭示的：

在统计的近100场大暴雨中（其位置、雨量、成因都差别很大），其相对分布函数的形状竟然都是相同的。

为什么从地理分布各异的雨量图简化出来的分布函数竟然都相同?

其物理背景是什么?

在上一章介绍统计力学思路时我们举的正是这个例子，所以可以说在那里已经从统计力学的状态数W达最大出现机会最大的角度引出了降水量在面积上呈负指数分布的结论。

这已经对现象作了物理说明，如果改用熵的原理来说明此事可能更易于讲明白。

对于降水在面积上的分布中的约束条件是易找出来的。

首先可以想到在降水区域内的任何一个位置上，其雨量r的值仅能大于零（有时在雨量图上人们仅关心雨量比零还大一些的降水量的分布）；再一点就是认为在当时的天气学、动力学条件下，天气系统能降下来的总雨量V和总面积A都是给定值。

而V和A的给定意味着这场降水的平均雨量V／A是给定值（不是无限大）。

．

如果约束仅只是这些，并认为这些雨水以最任意（随机、混乱）的方式洒向地面，则雨量在面积上的分布函数就应当是在这些约束下恰使熵达到极大。

从第五章已作的推证看，这恰好对应于负指数型的分布函数，这个分析过程可以从表6.1中看的更清楚些。

在第二章第7节业已指出，从中国各地的86场暴雨的雨量面积数据的分析中证实，雨量r与其占有的面积的对数值有良好的线性关系。

86场降水中有85场的线性相关系数通过了信度为0．05的显著性检验。

表6.1从熵原理分析降水的面积与深度的关系（函数）

通用提法

在本问题中的含义

问题

变量x的概率密度分布函数f（x）

雨量r在面积上的相对分布函数f（r）是什么

约束条件

变量x有大于零的下限x0（x0≥0）

雨量r有大于零的下限r0（r0≥0）

变量x平均值我有限值

雨区内的平均雨量为有限值=V/A

熵极大

在约束条件下使H极大

雨滴以最混乱的方式洒向地面意味着分布函数f（r）对应的熵达到了给定约束下的极大值

结果

f（x）应为负指数分布

分布函数是

实际上，依相对分布函数的含义，总降水面积为A时，降水为ri→ri+Δr占有的面积应当是Af（ri）Δr。

把f（r）的负指数分布代入可得

令Ai代表ri→ri+Δr占有的面积Af（ri）Δr，则对上式取对数后会有

（6.1）

上式中真正的变量是降水ri和其占有的面积Ai，其他的量对于每场降水而言都是常数（Δr是由人选定的参数）。

所以（6.1）式表明面积Ai的对数值（1nAi）与降水值ri是线性关系。

这就是说，分布函数为指数型，那么InAi与（ri）应为直线关系。

如果实测资料证实它们为线性关系，也就证实了分布函数确实属于负指数分布了。

第二章第7节已讲过，对不同天气类型的降水过程的总雨量，上述线性关系都很好，这样从理论与实践两方面得到的结论就互相印证了（统计力学思路也得出同一结论）。

图6.2是面积的对数值lnAi与其对应的雨量ri的线性关系的示例。

图6．2雨量r与其占有的面积A的对数为线性关系的示例（河南1975年8月5—7日暴雨）

以上讨论的雨量与面积的关系，都是针对着同一场降水过程而言的。

验证时哪些降水才属于同一场降水不是我们定的，而是由有关总结、分析人员分别选定的。

那么几个降水过程合计起来的总降水量的面积分布是否也遵守这个关系呢?

我们初步认为此时的约束条件会复杂化，从而不宜用此分布函数。

看来这是值得进一步研究的问题。

反之，如果不是几个降水过程的雨量而仅是某一瞬时的降水量（如一小时、六小时、一天）的分布，它是否也应符合这种关系（也是负指数分布）呢?

对此我们曾经用詹道江译成中文的世界气象组织出版的《ManualforEstimationofProbableMaximumPrecipitation，1973》一书中提供的资料，计算了美国实测的大暴雨过程中的6、12、…、72小时的雨量与面积的关系，发现它们也服从负指数关系。

看来一场降水过程内部的给定时段的雨量，面积关系也能用负指数关系来描述。

在上节讨论大气温度场、气压场时，我们是把地球大气总体视为一个闭合系统。

大气运动的任意性导致与温度场、气压场对应的熵达到极大值，针对着对应的约束我们求得了均匀分布。

而在本节我们面对的不是地球大气总体了，这里面对的系统实际上是地球上的一个移动着的降水天气系统所形成的降水，这里的熵实际上仅只表示着雨量在地域分配上的混乱程度。

以上对比使我们看到，熵原理可以适用于大小不等的特定系统。

看来恰当地选定适宜的系统，进而分析其熵是很重要的。

以上两节的讨论中我们都没有具体计算熵极大时的熵值究竟是多少，这并不是因为很难计算，而是由于我们的目的不是求熵是多少，而是找出熵极大时对应的分布函数是什么。

而一旦找出分布函数，也就认为达到了目的。

§3降水现象中的指数簇

我们把降水问题中的很多分布函数都呈负指数分布的现象简称为降水现象中的指数簇。

在上一节曾就降水的面积分布作了较深入的讨论，而现在我们要扩大如上思路进而分析降水过程的其他分布函数。

这就使人们看到降水问题中的负指数关系确实很多，它们构成了一个指数簇。

3.1降水元的线径分布

大气中凝结的水汽变成降水而降下来时，它们都是以颗粒为单元一个个地掉下的，最常见的是雨滴，还有一片片的雪花、一粒粒的霰和一个个的冰雹……。

我们不妨把这些可以清楚地区分成一个个的降水元量统称为降水元。

观测表明，尽管降水元的变化十分复杂，但是在一级近似下，可以认为各种降水过程的各种降水元的线径大小都服从指数分布。

所谓线径，指的就是雨滴的半径（或直径），而降水元为雪花、霰粒、冰雹……时，指的是它们融成水以后折合成的球体半径（直径）。

线径分布指的是在某次降水过程中，在降水元组成的总体（集合）中线径大小不等的降水元各占多少，它们都是分布函数的特例。

在第二章第1节，实际上已经指出上述分布（不含云滴）都以指数分布为主要特征，因而可以在一级近似下说它们都服从指数分布律。

3.2降水强度的时间分布

分布函数除了可以描述某变量取不同数值时各占有多少个数、面积、质量而外，也可用以描述变量取不同数值时各占了多少时间。

在第二章就讨论过在一场降水过程中各时段的降水强度并不相等，这就引出了不同的降水强度各占用了总历时的百分比问题。

这个百分比的数值与降水强度的函数关系，就是雨强在时间上的分布函数。

第二章第7节的讨论表明，雨强的时间分布也是负指数分布。

3.3过程雨量、持续时间和无雨期长度的分布

任何一个地理位置上，其发生的一次次的降水过程的过程雨量是不尽相等的，因而就应当有一个过程雨量的概率分布函数以反映不同雨量出现机会的多少。

对于