全等三角形辅助线方法.docx
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全等三角形辅助线方法.docx
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全等三角形辅助线方法
全等三角形辅助线
常见辅助线的作法有以下几种:
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.
2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.
3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”;(遇垂线及角平分线时延长垂线段,构造等腰三角形)
5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
一、倍长中线(线段)造全等
1:
(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.
2:
如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
3:
如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
中考应用
(09崇文二模)以
的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt
和等腰Rt
,
连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①当
为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰Rt
绕点A沿逆时针方向旋转
(0<
<90)后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
二、截长补短
1.如图,
中,AB=2AC,AD平分
,且AD=BD,求证:
CD⊥AC
2:
如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD
3:
如图,已知在
内,
,
,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是
,
的角平分线。
求证:
BQ+AQ=AB+BP
4:
如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分
,求证:
5:
如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC
6.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,求∠B∶∠C的值.
中考应用:
(08海淀一模)
三.借助角平分线造全等
1:
如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交
于点O,求证:
OE=OD
2:
(06郑州市中考题)如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=
,AC=
,求AE、BE的长.
中考应用:
(06北京中考)如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
四、平移变换
1.AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为
,△EBC周长记为
.求证
>
.
2:
如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:
AB+AC>AD+AE.
五、旋转
1:
正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
2:
D为等腰
斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
(1)当
绕点D转动时,求证DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
3.如图,
是边长为3的等边三角形,
是等腰三角形,且
,以D为顶点做一个
角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则
的周长为;
中考应用:
(07佳木斯)已知四边形
中,
,
,
,:
,
,
绕
点旋转,它的两边分别交
(或它们的延长线)于
.
(1)当
绕
点旋转到
时(如图1),易证
.
(2)当
绕
点旋转到
时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段
,
又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
(09崇文一模)在等边
的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为
外一点,且
BD=DC.探究:
当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及
的周长Q与等边
的周长L的关系.
图1图2图3
(
)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;此时
;
(
)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM
DN时,猜想(
)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
(
)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=
,则Q=(用
、L表示).
六、构造全等
例1:
已知:
如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90o,
AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD于E,交AB于F,连接DF.
求证:
∠ADC=∠BDF.
2.用有刻度的直尺能平分任意角吗?
下面是一种
方法:
如图9所示,先在∠AOB的两边上取OP=OQ,
再取PM=QN,连接PN、QM,得交点C,则射线OC
平分∠AOB.你能说明道理吗?
图9
3.如图10,△ABC中,AB=AC,过点A作
GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的
延长线分别交GE于点E、G.试在图10中找出3
对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明.图10
4.已知△ABC,AB=AC,E、F分别
为AB和AC延长线上的点,且BE=CF,EF
交BC于G.求证:
EG=GF.图15
5.已知:
△ABC中,BD=CD,∠1=∠2.求证:
AD平分∠BAC.
说明:
遇到有关角平分线的问题时,可引角的两边的垂线,先证明三角形全等,然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等,再利用角的平分线性质得出两角相等.
(2)利用角的平分线构造全等三角形:
①过角平分线上一点作两边的垂线段
练习:
如图22,AB∥CD,E为AD上一点,且BE、CE分
别平分∠ABC、∠BCD.求证:
AE=ED.
②以角的平分线为对称轴构造对称图形
例6:
如图23,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B.求证:
AB=AC+CD.
分析:
由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴,因此在AB上截取AE=AC,连接DE,我们就能构造出一对全等三角形,从而将线段AB分成AE和BE两段,只需证明BE=CD就可以了.
③延长角平分线的垂线段,使角平分线成为垂直平分线
例7:
如图24,在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD于E.
求证:
∠ACE=∠B+∠ECD.
分析:
注意到AD平分∠BAC,CE⊥AD,于是可延长CE交AB于点F,即可构造全等三角形.
(3)利用角的平分线构造等腰三角形
如图25,在△ABC中,AD平分∠BAC,过点D作
DE∥AB,DE交AC于点E.易证△AED是等腰三角形.
因此,我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线,
构造等腰三角形.图25
例11如图26,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BD于D,交BC于点E.
求证:
CD=
BE.
练习:
1.如图27,在△ABC中,∠B=90o,
AD为∠BAC的平分线,DF⊥AC于F,DE=DC.
求证:
BE=CF.
2.已知:
如图28,AD是△ABC的中线,
DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且BE=CF.
求证:
(1)AD是∠BAC的平分线;
(2)AB=AC.图28
3.在△ABC中,∠BAC=60o,∠C=40o,
AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q.
求证:
AB+BP=BQ+AQ.图29
4.如图30,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB=AC+CD.
求证:
∠C=2∠B.图30
5.如图31,E为△ABC的∠A的平分线
AD上一点,AB>AC.
求证:
AB-AC>EB-EC.图31
6.如图32,在四边形ABCD中,BC>BA,
AD=CD,BD平分∠ABC.求证:
∠A+∠C=180o.
7.如图33所示,已知AD∥BC,∠1=∠2,
∠3=∠4,直线DC过点E作交AD于点D,交
BC于点C.
求证:
AD+BC=AB.
8.已知,如图34,△ABC中,∠ABC=90o,
AB=BC,AE是∠A的平分线,CD⊥AE于D.求证:
CD=
AE.
9.△ABC中,AB=AC,∠A=100o,
BD是∠B的平分线.求证:
AD+BD=BC.
10.如图36,∠B和∠C的平分线相交于点F,
过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点
E,若BD+CE=9,则线段DE的长为( )
A.9B.8C.7D.6图36
11.如图37,△ABC中,AD平分∠BAC,AD交BC于点D,且D是BC的中点.
求证:
AB=AC.图37
12.已知:
如图38,△ABC中,AD是∠BAC
的平分线,E是BC的中点,EF∥AD,交AB于M,
交CA的延长线于F.求证:
BM=CF.
1.(2010年河南中考模拟题3)如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=450,将△ADC绕点A顺时针旋转900后,得到△AFB,连接EF,下列结论:
(1)△AED≌△AEF;(2)△ABE∽△ACD;(3)BE+DC=DE;(4)BE2+DC2=DE2.其中正确的是( )
A.
(2)(4)B.
(1)(4)C.
(2)(3)D.
(1)(3)
2.(2010年浙江杭州)在△ABC中,AB=6,AC=8,
BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC
于F,M为EF中点,则AM的最小值为.
3.(2010年中考模拟2)如图,在等腰梯形ABCD中,∠C=60°,AD∥BC,且AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF,AF、BE交于点P.
(1)求证:
AF=BE;
(2)请你猜测∠BPF的度数,并证明你的结论.
4.(2010年北京市中考模拟)已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=
,
于点D,点E在AC上,CE=BC,过E点作AC的垂线,交CD的延长线于点F.求证:
AB=FC
5.(2010年赤峰市中考模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是∠ABC的平分线,AF∥DC,连接AC、CF,求证:
CA是∠DCF的平分线.
6.(10年广州市中考六模)、如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在
BC、CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,问在E、F
移动过程中:
(1)求证:
∠EAF=45o;
(2)△ECF的周长是否有变化?
请说明理由.
7.(2010年天水模拟)如图,△A
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