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自控期中作业论文
用Bode图设计法对系统进行超前串联校正的分析
Zhangmangui
(西北师范大学物理与电子工程学院电子信息工程)
摘要:
串联超前校正是利用校正装置的相角超前补偿原系统的相角迟后,从而增大系统的相角裕度。
超前校正具有相角超前和幅值扩张的特点,即产生正的相角移动和正的幅值斜率。
超前校正正是通过其幅值扩张的作用,达到改善中频段斜率的目的。
故采用超前校正可以增大系统的稳定裕度和频带宽度,提高了系统动态响应的平稳性和快速性。
本文对传递函数为:
的单位负反馈系统用Matlab中的Bode图设计法对系统进行超前串联校正的分析与研究,使之满足:
在斜坡信号r(t)=Rt作用下,系统的稳态误差ess≤0.001R。
关键字:
传递函数Bode图超前校正超调量峰值时间调节时间
引言:
对于一个控制系统,改善系统性能的最直接和简便的方法是通过调节系统的某个参数,如通过调节系统的开环放大倍数来改善系统的稳态性能,通常大量的系统可以通过这种方法来实现。
但对于许多实际的控制系统,仅通过调节系统的某一个参数,无法兼顾提高系统的各方面性能,实际上系统的性能指标对于某一参数的依赖是相矛盾的。
因此为改善系统的总体性能,我们往往要在系统中附加装置,来对系统进行结构上的校正,从而“迫使”系统的性能满足设计要求。
控制系统的校正结构只有串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正等四种方式。
本文采用基于频率特性法的串联校正进行分析。
一、基于频率特性法的串联超前校正基本思路及特点
通过所加校正装置,改变系统开环频率特性的形状,使校正后系统的开环频率特性具有如下特点:
1.低频段:
用以满足稳态精度的要求;
2.中频段:
幅频特性的斜率为-20db/dec,并且有较宽的频带,这一要求是为了系统具有满意的动态性能;
3.高频段:
要求幅值迅速衰减,以较小噪声的影响。
用频率法对系统进行超前校正的基本原理,是利用超前校正网络的相位超前特性来增大系统的相位裕量,以达到改善系统瞬态响应的目的。
为此,要求校正网络最大的相位超前角出现在系统的截止频率(剪切频率)处。
二、串联超前校正的两种方法及步骤
方法一及步骤:
1.根据稳态误差的要求,确定开环增益K。
2.根据所确定的开环增益K,画出未校正系统的伯德图,计算未校正系统的相角裕度γ。
3.根据对截止频率ωc”的要求,计算超前网络参数α和T;关键是选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率,即ωm=ωc”,以保证系统的响应速度,并充分利用相角超前特性。
显然,ωm=ωc”成立的条件是–Lo(ωc”)=10lgαα而由ωm=
T。
4.画出校正后系统的波特图并验证已校正系统的相角裕度。
方法二及步骤:
1.根据稳态误差的要求,确定开环增益K。
2.根据所确定的开环增益K,画出未校正系统的伯德图,计算未校正系统的相角裕度γ。
3.由给定的相角裕度值γ“估算超前校正装置应提供的相位超前量ψm=γ’-γ+ε
ε是用于补偿因超前校正装置的引入,使原系统截止频率增大而增大的相角滞后量。
通常取ε=50~120。
4.根据所确定的最大相位超前角ψm,按α=
算出α的值。
sinψm=
。
5.求校正后系统的开环截止频率
由未校正系统的对数幅频特性曲线,求得其幅值为-10lgα处的频率ωm,该频率就是校正后系统的开环截止频率ωc”。
-Lo(ωc”)=10lgαωc”
6.确定校正网络的时间常数
ωc”=ωm=
T
7.画出校正后系统的伯德图并算出相位裕度是否满足要求?
三、本文使用分析方法及过程
本论文主要是针对第二种方法进行分析,具体步骤如下:
1、求K0的值
Kv=K=Ko≥1000s-1
所以取Ko=1000s-1
即被控对象的传递函数为:
2、做原系统的Bode图与阶跃响应曲线,检查是否满足题目要求
利用Matlab的CommandWindows输入下面代码:
>>k0=1000;
>>n1=1;d1=conv(conv([10],[0.11]),[0.0011]);
>>[mag,phase,w]=bode(k0*n1,d1);
>>figure
(1);margin(mag,phase,w);holdon
>>figure
(2);s1=tf(k0*n1,d1);
>>sys=feedback(s1,1);step(sys)
可以得到如下的单闭环系统的Bode图和单闭环系统的单位阶跃响应图:
由图1和图2可知系统的:
模稳定裕量Gm≈0.1dB;-π穿越频率ωcg≈100.0s-1;
相稳定裕量Pm≈0.1deg;剪切频率ωcp≈99.5s-1
图1单闭环系统的Bode图
图2单闭环系统的单位阶跃响应
3、求超前校正器的传递函数
为了在仿真后进行对比验证,在此取相稳定裕度γ=45o,因为增加超前校正装置后,使剪切频率向右方移动,并且减小了相位裕量,所以要求额外增加相位超前角50~120,所以给相稳定裕度附加10o,即取γ=55o。
根据超前校正的原理,可知
取
设超前校正器的传递函数为:
为了不改变校正后系统的稳态性能,
中的α已经包含在
中。
下面利用Matlab的CommandWindows编码计算α和T的值,具体代码如下:
>>k0=1000;
>>n1=1;d1=conv(conv([10],[0.11]),[010011]);
>>G0=tf(k0*n1,d1);
>>[mag,phase,w]=bode(G0);
>>Mag=20*log10(mag);
>>Pm=45;
>>Pm1=Pm+10;
>>Qm=Pm1*pi/180;
>>alpha=(1-sin(Qm))/(1+sin(Qm));
>>Lcdb=10*log10(alpha);
>>wc=spline(Mag,w,Lcdb);
>>T=1/(wc*sqrt(alpha));
>>Tz=alpha*T;
>>Gc=tf([T,1],[Tz1])
计算结果如下:
Transferfunction:
1.796s+1
------------
0.1785s+1
4、校验系统校正后系统是否满足设计要求
利用Matlab的CommandWindows输入下面代码:
>>k0=1000;
>>n1=1;d1=conv(conv([10],[0.11]),[010011]);
s1=tf(k0*n1,d1);
>>n2=[0.01796];d2=[0.001786];s2=tf(n2,d2);sope=s1*s2;
>>[mag,phase,w]=bode(sope);
>>margin(mag,phase,w)
由Bode图可知系统的:
模稳定裕量Gm=17.614dB;-π穿越频率ωcg=689.45s-1;
相稳定裕量Pm=48.148deg;剪切频率ωcp=176.57s-1
计算出的相稳定裕量Pm=48.148deg,满足前面的假设γ=45o。
5、计算系统校正后阶跃给定响应曲线及其性能指标
利用Matlab的CommandWindows输入下面代码:
>>k0=1000;
>>n1=1;d1=conv(conv([10],[0.11]),[0.0011]);
>>s1=tf(k0*n1,d1);n2=[0.017961];d2=[0.0017861];
>>s2=tf(n2,d2);sope=s1*s2;
>>sys=feedback(sope,1);
>>step(sys);
>>ltiview
然后在出现的LTIViewer窗口中从File的下拉菜单中选中→import选项选择需要仿真的系统。
选择窗口中的sys系统,并用鼠标点击OK,即可得到如下图的画面。
下来我们再看看响应曲线的性能指标,在画面中点击鼠标右键,选择“Characteristics”选项,再选择后面的选项得:
超调量:
sigma=25.6%
峰值时间:
tp=0.0158s
调节时间:
ts=0.0443s
6、求校正后模稳定裕量和相角裕度
利用Matlab的CommandWindows输入下面代码:
>>k0=1000;
>>n1=1;d1=conv(conv([10],[0.11]),[010011]);
>>G0=tf(k0*n1,d1);
>>[mag,phase,w]=bode(G0);
>>Mag=20*log10(mag);
>>Pm=45;
>>Pm1=Pm+10;
>>Qm=Pm1*pi/180;
>>alpha=(1-sin(Qm))/(1+sin(Qm));
>>Lcdb=10*log10(alpha);
>>wc=spline(Mag,w,Lcdb);
>>T=1/(wc*sqrt(alpha));
>>Tz=alpha*T;
>>Gc=tf([T,1],[Tz1])
>>bode(G0,G0*Gc);
可得仿真波形如下图:
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