学年人教A版高中数学必修5习题第三章不等式33第2课时.docx

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学年人教A版高中数学必修5习题第三章不等式33第2课时

第三章　3.3　第2课时

一、选择题

1．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为（　　）

A．－1　　　　　　　　　B．1

C．2D．－2

[答案]　B

[解析]　可行域为图中△AOB，当直线y＝x－z经过点B时，－z最小从而z最大∴zmax＝1.

2．已知x、y满足约束条件，则z＝2x＋4y的最小值为（　　）

A．5B．－6

C．10D．－10

[答案]　B

[解析]　可行域为图中△ABC及其内部的平面区域，当直线y＝－＋经过点B（3，－3）时，z最小，zmin＝－6.

3．（2015·唐山市一模）设x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为（　　）

A．8B．9

C．28D．29

[答案]　D

[解析]　约束条件满足的区域如图阴影部分所示，目标函数z＝3x＋2y在点A（5,7）处取得最大值29.

4．若x、y∈R，且，则z＝x＋2y的最小值等于（　　）

A．2B．3

C．5D．9

[答案]　B

[解析]　不等式组表示的可行域如图所示：

画出直线l0：

x＋2y＝0，

平行移动l0到l的位置，

当l通过点M时，z取到最小值．

此时M（1,1），即zmin＝3.

5．（2015·南昌市一模）设x、y满足约束条件，则目标函数z＝x＋y（　　）

A．有最小值2，无最大值B．有最大值3，无最小值

C．有最小值2，最大值3D．既无最小值，也无最大值

[答案]　A

[解析]　画出不等式组表示的平面区域，如下图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象．

当它的平行线经过点A（2,0）时，z取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A．

6．（2013·四川文，8）若变量x、y满足约束条件

，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是（　　）

A．48B．30

C．24D．16

[答案]　C

[解析]　本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组表示的平面区域如图．

作直线l0：

y＝x，平移直线l0.

当l0过点A（4,4）时可得zmax＝16，∴a＝16.

当l0过点B（8,0）时可得zmin＝－8，∴b＝－8.

∴a－b＝16－（－8）＝24.

二、填空题

7．若非负变量x、y满足约束条件，则x＋y的最大值为________．

[答案]　4

[解析]　本题考查线性规化的最优解问题．

由题意知x、y满足的约束条件.

画出可行域如图所示．

设x＋y＝t⇒y＝－x＋t，t表示直线在y轴截距，截距越大，t越大．

作直线l0：

x＋y＝0，平移直线l0，当l0经过点A（4,0）时，t取最大值4.

8．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．

[答案]　

[解析]　本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题．

不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM|的最小值即O到直线x＋y－2＝0的距离．

故|OM|的最小值为＝.

三、解答题

9．求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件.

[解析]　作出可行域为如图所示的阴影部分．

∵目标函数为z＝3x＋5y，

∴作直线l0：

3x＋5y＝0.当直线l0向右上平移时，z随之增大，在可行域内以经过点A（，）的直线l1所对应的z最大．类似地，在可行域内，以经过点B（－2，－1）的直线l2所对应的z最小，∴zmax＝17，zmin＝－11，∴z的最大值为17，最小值为－11.

10．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？

[解析]　设A、B两种金属板分别取x张、y张，用料面积为z，则约束条件为

.

目标函数z＝2x＋3y.

作出以上不等式组所表示的平面区域（即可行域），如图所示．

z＝2x＋3y变为y＝－x＋，得斜率为－，在y轴上截距为且随z变化的一族平行直线．

当直线z＝2x＋3y过可行域上点M时，截距最小，z最小．解方程组，得M点的坐标为（5,5）．

此时zmin＝2×5＋3×5＝25（m2）．

答：

当两种金属板各取5张时，用料面积最省．

拓展应用提能

一、选择题

11．（2015·衡水中学三调）若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围是（　　）

A．（－4,2）B．（－1,2）

C．（－4,0）D．（－2,4）

[答案]　A

[解析]　作出可行域如图所示，由已知可得：

－1<－<2，即－4

12．（2015·洛阳市期末）实数x，y满足则z＝x＋2y的最小值是（　　）

A．－1B．

C．5D．1

[答案]　A

[解析]　不等式组表示的平面区域如图所示，

平移直线x＋2y＝0知，当z＝x＋2y经过点A（1，－1）时，取得最小值，∴zmin＝1－2＝－1.

13．不等式组表示的平面区域内的整点个数为（　　）

A．2　　　B．3　　　　

C．4　　　　D．5

[答案]　B

[解析]　不等式y－2x≤0表示直线y－2x＝0的右下方区域（含边界），x＋2y＋3＞0表示直线x＋2y＋3＝0右上方区域（不含边界），5x＋3y－5＜0表示直线5x＋3y－5＝0左下方区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，即如图所示的△ABC区域．

可求得A（－，－）、B（，）、C（，－），所以△ABC区域内的点（x，y）满足－≤x＜，－＜y＜.

∵x、y∈Z，∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且x、y∈Z.

经检验，共有三个整点（0,0），（1，－1），（2，－2）．

14．（2015·辽宁葫芦岛市一模）若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝（　　）

A．5B．6

C．7D．8

[答案]　B

[解析]　作出可行域如图

平移直线2x＋y＝0知，当直线z＝2x＋y经过点A（－1，－1）时z取得最小值，经过点B（2，－1）时，z取得最大值，

∴m＝2×2－1＝3，n＝2×（－1）－1＝－3，

∴m－n＝3－（－3）＝6.

二、填空题

15．在△ABC中，三个顶点分别为A（2,4）、B（－1,2）、C（1,0），点P（x，y）在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为________．

[答案]　[－1,3]

[解析]　画出三角形区域如图，易知kAB＝<1，

令z＝y－x，则y＝x＋z，作出直线l0：

y＝x，平移直线l0，当经过点C时，zmin＝－1，当经过点B时，zmax＝3，

∴－1≤z≤3.

16．已知点M、N是所围成的平面区域内的两点，则|MN|的最大值是________．

[答案]　

[解析]　不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，

∵直线x－y＋1＝0与直线x＋y＝6垂直，

直线x＝1与y＝1垂直，

∴|MN|的最大值是|AB|＝

＝.

三、解答题

17．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9g，咖啡4g，糖3g；乙种饮料每杯含奶粉4g，咖啡5g，糖10g，已知每天原料的使用限额为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？

[解析]　经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x杯，饮料乙y杯，

线性约束条件为，

利润z＝0.7x＋1.2y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－<－<－<－，所以在可行域内的整数点A（200,240）使zmax＝0.7×200＋1.2×240＝428（元），

即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润．

18．设x、y满足条件.

（1）求u＝x2＋y2的最大值与最小值；

（2）求v＝的最大值与最小值．

[解析]　满足条件的可行域如图所示（阴影部分）．

（1）令x2＋y2＝u表示一组同心圆（圆心为点O），且对同一圆上的点，x2＋y2的值都相等．

由图可知（x，y）在可行域内取

值，当且仅当圆O过C点时，u最大，过点（0,0）时，u最小．

由，解得.

∴C（3,8），∴umax＝32＋82＝73，umin＝02＋02＝0.

（2）v＝表示可行域内的点（x，y）和定点D（5,0）的连线的斜率，

由图可知kBD最大，kCD最小．

由，解得.

∴B（3，－3）．

∴vmax＝＝，vmin＝＝－4.