新课标全国卷3高考理科数学试题及答案.docx
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新课标全国卷3高考理科数学试题及答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ)
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=
22
(x,y│)xy1,B=(x,y│)yx,则AB中元素的个数为
A.3B.2C.1D.0
2.设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣=
A.
1
2
B.
2
2
C.2D.2
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至
2016年12月期间月接待游客量(单位:
万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
5的展开式中x3y3的系数为
4.(x+y)(2x-y)
A.-80B.-40C.40D.80
5.已知双曲线C:
22
xy
221
ab
(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
5
yx,且与椭圆
2
22
xy
123
1
有公共焦点,则C的方程为
A.
22
xy
810
1
B.
22
xy
45
1
C.
22
xy
54
1
D.
22
xy
43
1
6.设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是
3
A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图像关于直线x=
8
3
对称
C.f(x+π的)一个零点为x=D.f(x)在(,π单)调递减
62
7.执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为
A.5B.4C.3D.2
8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的
体积为
A.πB.
3π
4
C.
π
2
D.
π
4
9.等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和
为
A.-24B.-3C.3D.8
10.已知椭圆C:
22
xy
221,(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为
ab
直径的圆与直线bxay2ab0相切,则C的离心率为
A.
6
3
B.
3
3
C.
2
3
D.
1
3
11.已知函数
2x1x1
f(x)x2xa(ee)有唯一零点,则a=
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
2
D.1
12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=
AB+AD,则+的最大值为
A.3B.22C.5D.2
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
xy0
,则z3x4y的最小值为__________.
13.若x,y满足约束条件xy20
y0
14.设等比数列an满足a1+a2=–1,a1–a3=–3,则a4=___________.
15.设函数
f(x)
x1x0
,,
则满足
x
2,x0,
1
f(x)f(x)1的x的取值范围是_________。
2
16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,
b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最小值为60°;
其中正确的是________。
(填写所有正确结论的编号)
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求△ABD的面积.
18.(12分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,
未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求
量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最
高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为
了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)
天数216362574
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:
瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的
进货量n(单位:
瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
19.(12分)
如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,
AB=BD.
(1)证明:
平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,
求二面角D–AE–C的余弦值.
20.(12分)
2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直
已知抛物线C:
y
径的圆.
(1)证明:
坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
21.(12分)
已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.
(1)若f(x)0,求a的值;
111
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,1++1+)
()
(1)(﹤m,求m的最小
2n
222
值.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为
x2+t,
ykt,
(t为参数),直线l2的参数方程
x2m,
为
y
m
k
(为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
m
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:
ρ(cosθ+sinθ)-2=0,
M为l3与C的交点,求M的极径.
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
2
(2)若不等式f(x)≥x
–x+m的解集非空,求m的取值范围.
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题正式答案
一、选择题
1.B2.C3.A4.C5.B6.D
7.D8.B9.A10.A11.C12.A
二、填空题
13.-114.-815.
1
(-,+)
4
16.②③
三、解答题
17.解:
2
(1)由已知得tanA=3,所以A=
3
在△ABC中,由余弦定理得
222
284c4ccos,即c+2c-24=0
3
解得(舍去),=4
c6c
(2)有题设可得=,所以
CADBADBACCAD
26
1
ABADsin
261
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
1
ACAD
2
1
又△ABC的面积为
2
42sinBAC23,所以ABD的面积为3.
2.解:
(1)由题意知,X所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知
PX
216
2000.2
90
PX
36
3000.4
90
2574
PX5000.4.
90
因此X的分布列为
X200300500
P0.20.40.4
⑵由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500
当300≤n≤500时,
若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间20,,25,则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n
当200≤n300时,
若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元。
3.解:
(1)由题设可得,ABDCBD,从而ADDC
又ACD是直角三角形,所以
ACD
0
=90
取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO
又由于ABC是正三角形,故BOAC
所以DOB为二面角DACB的平面角
222
在中,
RtAOBBOAOAB
又ABBD所以
2222220BODOBOAOABBD,故DOB=90
所以平面平面
ACDABC
(2)
由题设及
(1)知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,OA的方向为x轴正方向,OA
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则
A(1,0,0),B(0,3,0),C(1,0,0),D(0,0,1)
由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的
1
2
,从而E到平面ABC的距离
为D到平面ABC的距离的
1
2
,即E为DB的中点,得E
31
0,,
22
.故
31
1,0,1,2,0,0,1,,ADACAE
22
设n=x,y,z是平面DAE的法向量,则
n
n
AD
AE
xz0
0,
即31
0,xyz
22
0
可取
n
3
11
=,,
3
设m是平面AEC的法向量,则
m
m
AC
AE
0,
同理可得m0,1,3
0,
则
cosn,m
nm
nm
7
7
所以二面角D-AE-C的余弦值为
7
7
4.解
(1)设
Ax1,y1,Bx2,y2,l:
xmy2
由
xmy
2
y2x
2
可得
2
y2my40,则yy4
12
又
2
22
yy
yy
12
12
x1=,x2=,故x1x2==4
224
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
yy
12
xx
12
-4
==-1
4
所以OA⊥OB
故坐标原点O在圆M上.
(2)由
(1)可得
2
y1+y2=2m,x1+x2=my1+y2+4=2m4
故圆心M的坐标为
mm,圆M的半径2+2,
2+2,
2
222
rmm
由于圆M过点P(4,-2),因此APBP0,故
x14x24y12y220
即
x1x24x1+x2y1y22y1y2200
由
(1)可得y1y2=-4,x1x2=4,
所以
2
2mm10,解得
1
m1或m.
2
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M
的方程为
22
x3y110
当
1
m时,直线l的方程为2xy40,圆心M的坐标为
2
91
,-
42
,圆M的半径为
85
4
,圆M的方程为
22
9185
++
xy
4216
5.解:
(1)fx的定义域为0,+.
①若a0,因为
11
=-+2<0
faln,所以不满足题意;
22
②若a>0,由1
f'x
axa
xx
知,当x0,a时,f'x<0;当xa,+时,
f'x>0,所以fx在0,a单调递减,在a,+单调递增,故x=a是fx在
x0,+的唯一最小值点.
由于f10,所以当且仅当a=1时,fx0.
故a=1
(2)由
(1)知当x1,+时,x1lnx>0
令
1
x=1+得
n
2
11
1+<
ln,从而
2n2n
1111111
1++1+++1+<+++=1-<1lnlnln
222n222n2n
22
故
111
1+1+1+<
222n
2
e
而
111
1+1+1+>2
23
222
,所以m的最小值为3.
6.解:
(1)消去参数t得l1的普通方程l1:
ykx2;消去参数m得l2的普通方程
1
l:
yx
2
k
2
ykx2
设P(x,y),由题设得
1
yx
k
2
,消去k得
2240
xyy.
所以C的普通方程为
2240
xyy
(2)C的极坐标方程为
rqqqpqp2cos2sin240<<2,
2cos2sin240<<2,
联立
2224
rcosqsinq
rcosq+sinq-2=0
得cosqsinq=2cosq+sinq.
故
1
tanq,从而
3
2921
cosq=,sinq=
1010
代入
rqq得r,所以交点M的极径为5.2cos2-sin2=42=5
2cos2-sin2=42=5
7.解:
3<1
x
2112
(1)
fxx,x
3>2
x
当x<1时,fx1无解;
当1x2时,由fx1得,2x11,解得1x2
当x>2时,由fx1解得x>2.
所以fx1的解集为xx1.
(2)由
2
fxxxm得
2
mx1x2xx,而
2212+1+2
xxxxxxxx
2
35
=--+
x
24
5
4
且当
3
x时,
2
25
x1x2xx=.
4
故m的取值范围为
5
-,
4
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