小学数学数学广角鸽巢问题教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
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小学数学数学广角鸽巢问题教学设计学情分析教材分析课后反思
数学广角
鸽巢问题教学设计
教学内容:
人教版小学数学六年级下册教材第68~69页。
教学目标:
1、知识与技能:
通过操作、观察、比较、推理等活动,初步了解鸽巢原理,学会简单的鸽巢原理分析方法,运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问题。
2、过程与方法:
在鸽巢原理的探究过程中,使学生逐步理解和掌握鸽巢原理,经历将具体问题数学化的过程,培养学生的模型思想。
3、情感态度:
通过对鸽巢原理的灵活运用,感受数学的魅力,体会数学的价值,提高学生解决问题的能力和兴趣。
教学重点:
理解鸽巢原理,掌握先“平均分”,再调整的方法。
教学难点:
理解“总有”“至少”的意义,理解“至少数=商数+1”。
教学准备:
多媒体课件
教学过程:
一、游戏导入,初步体验:
1、谈话:
请四位同学从数字1、2、3中任意选一个自己喜欢的数字写在手心上,写好后,握紧拳头不要松开,让老师猜。
老师猜:
至少有两位同学写的是同一个数字。
你们信吗?
2、验证:
同学伸开手进行验证。
适时引导:
“至少2个同学”是什么意思?
(也就是2人或2人以上,反过来,写同一个数字的可能有2人,可能3人、也可能有4人,所以可以用一句话概括就是“至少有2人”)
3、设疑:
你们想知道这是为什么吗?
通过今天的学习,你就能解释这个现象了。
下面我们就来研究这类问题,我们先从简单的情况入手研究。
二、合作探究
(一)初步感知
1、出示题目:
把3本书,2个抽屉,怎么放?
有几种不同的放法?
谁愿意上来试一试。
2、学生上台实物演示。
可能有两种情况:
一个放3本,另一个不放;一个放2本,另一个放1本。
教师根据学生回答在黑板上画图和数的分解两种方法表示两种结果。
(3,0)、(2、1)
3、提出问题:
“不管怎么放,总有一个抽屉里至少有2本书”,这句话说得对吗?
学生尝试回答,师引导:
这句话里“总有一个抽屉”是什么意思?
(一定有,不确定是哪个抽屉,最多的那个抽屉)。
这句话里“至少有2本”是什么意思?
(最少有2本,不少于2本,包括2本及2本以上)
4、得到结论:
从刚才的实验中,我们可以看到3本书放进2个抽屉里,总有一个抽屉里至少放进2本书。
(二)列举法------教学例1
过渡:
如果现在有4支铅笔放进3个笔筒,还会出现这样的结论吗?
1、小组合作:
(1)画一画:
借助“画图”或“数的分解”的方法把各种情况都表示出来;
(2)找一找:
每种摆法中最多的一个笔筒放了几支,用笔标出;
(3)我们发现:
总有一个笔筒至少放进了()支铅笔。
2、学生汇报,展台展示。
交流后明确:
(1)四种情况:
(4,0,0)、(3,1,0)、(2,1,1)、(2,2,0)
(2)每种摆法中最多的一个笔筒放进了:
4支、3支、2支。
(3)总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。
3、小结:
刚才我们通过“画图”、“数的分解”两种方法列举出所有情况验证了结论,这种方法叫“列举法”,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论,找到“至少数”呢?
(三)假设法
1、学生尝试回答。
(如果有困难,也可以直接投影书中有关“假设法”的截图)
2、学生操作演示,教师图示。
3、语言描述:
把4支铅笔平均放在3个笔筒里,每个笔筒放1支,余下的1支,无论放在哪个笔筒,那个笔筒就有2支笔,所以说总有一个笔筒至少放进了2支笔。
(指名说,互相说)
4、引导发现:
(1)这种分法的实质就是先怎么分的?
(平均分)
(2)为什么要一开始就平均分?
(均匀地分,使每个笔筒的笔尽可能少一点,方便找到“至少数”),余下的1支,怎么放?
(放进哪个笔筒都行)
(3)怎样用算式表示这种方法?
(4÷3=1支……1支1+1=2支)算式中的两个“1”是什么意思?
5、发现规律:
刚才的这种方法就是“假设法”,它里面就蕴含了“平均分”,我们用有余数的除法算式把平均分的过程简明的表示出来了,可以用简便方法求“至少数”。
小结:
只要放的铅笔数比笔筒的数量多1,就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。
(四)建立模型----教学例2
1、出示题目:
把7本书放进3个抽屉,不管怎样放,总有一个抽屉里至少放进3本书。
问什么?
你能用简单的算式来说明原因吗?
(1)把7本书平均分成3份,7÷3=2(本)......1(本),若每个抽屉放2本,则还剩1本。
如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中,那么这个抽屉里就有3本书。
(2)得出结论。
7本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。
2、如果有8本书会怎样呢?
10本书呢?
(1)学生列出算式:
8÷3=2(本)…2(本)
至少数2+1=3(本)或2+2=4(本)
学生可能有两种意见:
总有一个抽屉里至少有3本,至少有4本。
针对两种结果,各自说说自己的想法。
(2)小组讨论,突破难点:
至少3本,还是4本?
学生说理,边摆边说:
先平均分每个抽屉放进2本书,余下2本再平均分放进2个不同的抽屉里,所以至少3本。
(指名说,互相说)
(3)质疑:
为什么第二次平均分?
(保证“至少”)
(4)强化:
如果把书本的数量进一步增加呢?
10本书放进3个抽屉,至少几本放进同一个抽屉?
10÷3=3(本)…1(本)3+1=4(本)
11本书放进3个抽屉,至少几本放进同一个抽屉?
11÷3=3(本)…2(本)3+1=4(本)
3、对比算式,发现规律:
先平均分,再用所得的“商+1”
4、强调:
和余数有没有关系?
学生交流,明确:
与余数无关,不管余多少,都要再平均分,所以就是商加1.
5、引申拓展:
刚才我们研究了笔放入笔筒的问题,那如果换成鸽子飞进鸽笼你会解答吗?
把苹果放入抽屉,把书放入书架,高速路口同时有4辆车通过3个收费口……,类似的问题我们都可以用这种方法解答。
三、鸽巢原理的由来
微视频:
同学们从数学的角度分析了这些事情,同时根据数据特征,发现了这些规律。
你们发现的这个规律和一位数学家发现的规律一模一样,只不过他是在150多年前发现的,你们知道他是谁吗?
——德国数学家?
“狄里克雷”,后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律,就把这个规律用他的名字命名,叫“狄里克雷原理”,由于人们对鸽子飞回鸽巢这个引起思考的故事记忆犹新,所以人们又把这个原理叫做“鸽巢原理”,它还有另外一个名字叫“抽屉原理”。
四、解决问题
1、5个人坐4把椅子,总有一把椅子上至少坐2人。
为什么?
2、11只鸽子飞进了4个鸽笼,总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。
为什么?
3、随意找13位老师,他们中至少有2个人的属相相同。
为什么?
4、把15本书放进4个抽屉中,不管怎么放,总有一个抽屉至少有4本书,为什么?
五、课堂总结
1、通过今天的学习你有什么收获?
2、回归生活:
你还能举出一些能用“鸽巢问题”解释的生活中的例子吗?
鸽巢问题——学情分析
鸽巢问题”是一类较为抽象的数学问题,对全体学生而言都具有一定的挑战性。
如果学生的思维能力略弱,学习时面临的压力会更大。
“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,对于学生来说是很容易的。
但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的,尤其是“鸽巢问题”的逆用,学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难,也缺乏思考的方向,很难找到切入点。
可能有一部分学生已经了解了鸽巢问题,他们在具体分得过程中,都在运用平均分的方法,也能就一个具体的问题得出结论。
但是这些学生中大多数只“知其然,不知其所以然”,为什么平均分能保证“至少”的情况,他们并不理解。
还有部分学生完全没有接触,所以他们可能会认为至少的情况就应该是“1”。
六年级的学生有了一定的思考能力和自制能力,但仍然离不开教师的适当适时的引导和指导。
教师要善于激发学生的学习兴趣,体现学生的主体地位,让学生成为学习的主人。
鸽巢问题——效果分析
可取之处:
1、能够努力运用新课标指导教学,注重感知——发现的过程。
重视学生学习技能的培养,而不仅仅是知识的传授。
2、能够以学生为主体,充分为学生营造宽松自由的学习氛围和学习空间,能让学生自己动脑解决一些实际问题,从而更好的理解鸽巢原理。
3、能够顺利突出重点,突破难点。
通过学生观察比较、动画演示、学具操作、述说思路,把抽象的数学知识同具体的实物结合起来,化难为易,化抽象为具体,理解了“总有”、“至少”的含义,掌握了枚举法和假设法两种思考方法。
4、能够有层次地设计练习,先是鸽子数比鸽巢数1的情况,然后是鸽子数比鸽巢数多2、多3……的情况,使学生的探究意识越来越强,一直延伸到课外。
不足之处:
1、新课导入趣味性不足,吸引力不够。
2、对个别小组的关注度不够,缺乏针对性的指导。
3、个别细节方面,数学语言不够严谨。
4、在学生回答问题时,提示过多。
5、个别教学环节之间的过渡不够自然。
改进措施:
1、尽量以游戏的形式导入。
2、教学过程中尤其是小组合作,操作过程中更多的关注学困生的思维活动,及时的给予认可和指导,使教学能够面向全体学生。
3、重视课堂教学语言细节,仔细斟酌每一句话,不能认为只是一句话的事儿,它可能会导致自己知识讲解上的失误,也可能会导致学生对知识理解上的偏差。
4、给学生充分思考的空间,学会等待,学会倾听,等到学生把自己的思路表达清楚后,再作评价或补充说明。
5、教学各环节之间的过渡语句,不能再像以前一样思维定势了,说得总是一些诸如“接下来我们干什么”的话,要想好更合理的语句。
鸽巢问题——教材分析
鸽巢问题又称抽屉原理,它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一,从这个原理出发,可以得出许多有趣的结果。
这部分教材通过几个直观的例子,借助实际操作,向学生介绍了“鸽巢问题”。
学生在理解这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题“模型化”,会用“鸽巢问题”解决问题,促进逻辑推理能力的发展。
例1:
本例描述“抽屉原理”的最简单的情况。
着重探讨为什么这样的结论是成立的。
教材呈现了两种思考方法:
第一种方法是用操作的方法,罗列所有的方法,通过完全归纳的方法看到在这四种情况都是满足结论的;还可以是说理的方式,先放3支,在每个笔筒里放1支,这时剩下1支。
剩下的1支不管放入哪一个笔筒中,这时都会有一个笔筒里有2支铅笔。
这种方法比第一种方法更为抽象,更具有一般性。
例2:
本例描述“抽屉原理”更为一般的形式,即“把多于(是正整数)个物体任意分放进个空抽屉里,那么一定有一个抽屉中放进了至少(+1)个物体”。
教材首先探究把7本书放进3个抽屉里,总有一个抽屉里至少放进3本书的情形。
当数据变得越来越大时,如果还用完全归纳的方法把所有的情形罗列出来的话,对于学生来说是有困难的。
这时需要学生用到“反证法”这样一种思想,即如果所有的抽屉最多放2本,那么3个抽屉里最多放6本书,可是题目中是7本书,还剩1本书,怎么办?
这就使学生明白只要放到任意一个抽屉里即可,总有一个抽屉里至少放进3本书。
通过这样的方式,实际上学生是在经历“反证法”的这样一个过程。
在具体编排这道例题的时候,在数据上进行了一个很细微的调整。
在过去,由于数据的问题,学生会得到不太正确的推论,比如说如果是两个抽屉的话,最后得到的余数总是1,那么学生很容易得到一个错误的结论:
总有一个抽屉里放进“商+余数”本书(因为余数正好是1)。
而实际上,这里的结论应该是“商+1”本书,所以教材在这里呈现了8除以3余2的情况,这时候余数是2,可是最后的结论还是“把8本书放进3个抽屉里,总有一个抽屉至少放进了3本书”。
通过这样的数据方面的调整,可以让学生得到一个更加正确的推论。
本单元的教学重难点是初步了解“抽屉原理(鸽巢原理)”,培养学生的“模型思想”。
鸽巢问题——评测练习
1、5个人坐4把椅子,总有一把椅子上至少坐2人。
为什么?
2、11只鸽子飞进了4个鸽笼,总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。
为什么?
3、随意找13位老师,他们中至少有2个人的属相相同。
为什么?
4、把15本书放进4个抽屉中,不管怎么放,总有一个抽屉至少有4本书,为什么?
鸽巢问题——教学反思
“鸽巢问题”是六年级下册内容,应用很广泛且灵活多变,可以解决一些看上去很复杂、觉得无从下手,却又是相当有趣的数学问题。
但对于小学生来说,理解和掌握“鸽巢问题”还存在着一定的难度。
通过课堂教学,感受颇深。
开始,我设计了一个“猜数字”的小游戏。
通过小游戏,抓住学生的注意力,让学生觉得这节课要探究的问题,好玩又有意义。
“猜数字”的小游戏,简单却能真实的反映“鸽巢问题”的本质。
接着,我让学生从简单的生活问题出发“把4支铅笔放到3个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少放多少支铅笔?
”让学生小组合作,摆一摆,说一说,化抽象为具体。
让学生经历知识的形成过程。
但是在实际操作过程中,学生能动手摆出各种情况,但记录方法不知从何下手,用语言来描述更具有一定的难度。
回顾整节课我觉得在同学体验数学知识的发生过程中,这部分知识学生理解有一定难度,老师的引导可能也不到位,所以摆一摆,议一议的活动占用留的时间较多,给学生发表见解的时间稍微少了一些,好多我代办了。
应该相信学生,大胆放手,充分体现学生的主体地位,让学生能真正体会其中的原理。
另外,虽然这节课中我跟学生的互动也比以前有较大的进步,但对于一些学生的精彩回答,还是表扬激励的不够。
总之,课上完后,还是感觉有很多不足,也请大家多提宝贵意见。
鸽巢原理——课标分析
“鸽巢原理”,实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型,体现了一种数学的思想方法。
让学生经历将具体问题数学化的过程,初步形成模型思想,体会和理解数学与外部世界的紧密联系,发展抽象能力、推理能力和应用能力,这是《义务教育数学课程标准(2011年版)》的重要要求,也是本单元的编排意图和价值取向。
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