322 复数代数形式的乘除运算 学案人教A版选修12.docx
- 文档编号:816654
- 上传时间:2022-10-13
- 格式:DOCX
- 页数:23
- 大小:277.63KB
322 复数代数形式的乘除运算 学案人教A版选修12.docx
《322 复数代数形式的乘除运算 学案人教A版选修12.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《322 复数代数形式的乘除运算 学案人教A版选修12.docx(23页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
322复数代数形式的乘除运算学案人教A版选修12
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
课标解读
1.掌握复数代数形式的乘、除运算.(重点)
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(难点)
3.理解共轭复数的概念.(易错点)
复数的乘法
【问题导思】
1.如何规定两个复数相乘?
【提示】 两个复数相乘类似于多项式相乘,只要在所得结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.
2.复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗?
【提示】 满足.
(1)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律
z1·z2=z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
复数的除法与共轭复数
【问题导思】
如何规定两个复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,c+di≠0)相除?
【提示】
=
=
=
.
(1)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d为实数,c+di≠0),z1,z2进行除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成
的形式再把分子与分母都乘以c-di化简后可得结果:
+
i.
(2)共轭复数
如果两个复数满足实部相等,虚部互为相反数时,称这两个复数为共轭复数,z的共轭复数用
表示.即z=a+bi,则
=a-bi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
复数代数形式的乘除法运算
(1)(2013·课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1-i)·z=2i,则z=( )
A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i
(2)(2013·大纲全国卷)(1+
i)3=( )
A.-8B.8C.-8iD.8i
(3)计算(
)6+
=________.
【思路探究】
(1)先设出复数z=a+bi,然后运用复数相等的充要条件求出a,b的值.
(2)直接利用复数的乘法运算法则计算.
(3)先计算
再乘方,且将
的分母实数化后再合并.
【自主解答】
(1)设z=a+bi,则(1-i)(a+bi)=2i,即(a+b)+(b-a)i=2i.
根据复数相等的充要条件得
解得
∴z=-1+i.故选A.
(2)原式=(1+
i)(1+
i)2=(1+
i)(-2+2
i)=-2+6i2=-8.
(3)法一 原式=
6+
=i6+
=-1+i.
法二 原式=
6+
=i6+
=-1+i.
【答案】
(1)A
(2)A (3)-1+i
1.复数的乘法类比多项式相乘进行运算,复数除法要先写成分式形式后,再将分母实数化,注意最后结果要写成a+bi(a,b∈R)的形式.
2.记住以下结论可以提高运算速度
(1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;
(2)
=-i,
=i;
(3)
=-i.
计算:
(1)(1-i)2;
(2)(-
+
i)(
+
i)(1+i);
(3)
.
【解】
(1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i.
(2)(-
+
i)(
+
i)(1+i)
=(-
-
i+
i+
i2)(1+i)
=(-
+
i-
)(1+i)
=(-
+
i)(1+i)
=-
-
i+
i-
=-
+
i.
(3)
=
=
=
+
i.
虚数单位i的幂的周期性及其应用
(1)计算:
+(
)2013;
(2)若复数z=
,求1+z+z2+…+z2013的值.
【思路探究】 将式子进行适当的化简、变形,使之出现in的形式,然后再根据in的值的特点计算求解.
【自主解答】
(1)原式=
+[(
)2]1006·(
)
=i+(
)1006·
=i+i1006·
=-
+
i
(2)1+z+z2+…+z2013=
,
而z=
=
=
=i,
所以1+z+z2+…+z2013=
=
=1+i.
1.要熟记in的取值的周期性,要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值.
2.如果涉及数列求和问题,应先利用数列方法求和后再求解.
在本例
(2)中若z=i,求1+z+z2+…+z2013的值.
【解】 由题意知
1+z+z2+…+z2013=1+i+i2+…+i2013
=
=
=
=1+i.
∴原式=1+i.
共轭复数的应用
设z1,z2∈C,A=z1·
+z2·
,B=z1·
+z2·
,问A与B是否可以比较大小?
为什么?
【思路探究】 设出z1,z2的代数形式→化简A,B→判断A,B是否同为实数→结论
【自主解答】 设z1=a+bi,
z2=c+di(a,b,c,d∈R),
则
=a-bi,
=c-di,
∴A=z1·
+z2·
=(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi)
=ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2
=2ac+2bd∈R,
B=z1·
+z2·
=|z1|2+|z2|2
=a2+b2+c2+d2∈R,
∴A与B可以比较大小.
1.z·
=|z|2=|
|2是共轭复数的常用性质.
2.实数的共轭复数是它本身,即z∈R⇔z=
,利用此性质可以证明一个复数是实数.
3.若z≠0且z+
=0,则z为纯虚数,利用此性质可证明一个复数是纯虚数.
已知z∈C,
为z的共轭复数,若z·
-3i
=1+3i,求z.
【解】 设z=a+bi(a,b∈R),则
=a-bi(a,b∈R),
由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,
即a2+b2-3b-3ai=1+3i,
则有
,
解得
或
,
所以z=-1或z=-1+3i.
记错i2值而致误
设复数z满足
=i,则z=( )
A.-2+i B.-2-i
C.2-iD.2+i
【错解】 设复数z=a+bi(a,b∈R)满足
=i,
所以1+2i=ai+b.
解得
所以z=2+i,故选D项.
【答案】 D
【错因分析】 将i2=-1当成i2=1来运算漏掉负号.
【防范措施】 在进行乘除法运算时,灵活运用i的性质,并注意一些重要结论的灵活应用.
【正解】 设复数z=a+bi(a,b∈R)满足
=i,
所以1+2i=ai-b.
解得
所以z=2-i,故选C项.
【答案】 C
1.复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式,复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
(2)在进行复数代数形式的除法运算时,通常先将除法写成分式的形式,再把分子、分母都乘以分母的共轭复数,化简后可得,类似于以前学习的分母有理化.
2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.
3.复数问题实数化思想.
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,其桥梁是设复数z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等的充要条件转化.
1.(2012·北京高考)在复平面内,复数
对应的点的坐标为( )
A.(1,3) B.(3,1)
C.(-1,3)D.(3,-1)
【解析】
=
=
=1+3i,
∴其对应点的坐标为(1,3),选A.
【答案】 A
2.(2013·安徽高考)设i是虚数单位,若复数a-
(a∈R)是纯虚数,则a的值为( )
A.-3B.-1
C.1D.3
【解析】 因为a-
=a-
=a-
=(a-3)-i,由纯虚数的定义,知a-3=0,所以a=3.
【答案】 D
3.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x=________,y=________.
【解析】 由题意得:
∴
【答案】 -1 1
4.计算:
(1)(1-i)(-
+
i)(1+i);
(2)
;
(3)(2-i)2.
【解】
(1)法一 (1-i)(-
+
i)(1+i)
=(-
+
i+
i-
i2)(1+i)
=(
+
i)(1+i)
=
+
i+
i+
i2
=-1+
i.
法二 原式=(1-i)(1+i)(-
+
i)
=(1-i2)(-
+
i)
=2(-
+
i)
=-1+
i.
(2)
=
=
=
=
=i.
(3)(2-i)2=(2-i)(2-i)
=4-4i+i2
=3-4i.
一、选择题
1.复数(2+i)2等于( )
A.3+4i B.5+4i
C.3+2iD.5+2i
【解析】 (2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i.故选A.
【答案】 A
2.i是虚数单位,复数
=( )
A.1-iB.-1+i
C.1+iD.-1-i
【解析】
=
=
=1+i.
【答案】 C
3.(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( )
A.-4B.-
C.4D.
【解析】 ∵(3-4i)z=|4+3i|,∴z=
=
=
=
+
i,∴z的虚部为
.
【答案】 D
4.若z+
=6,z·
=10,则z=( )
A.1±3iB.3±i
C.3+iD.3-i
【解析】 设z=a+bi(a,b∈R),则
=a-bi,
∴
,解得a=3,b=±1,则z=3±i.
【答案】 B
5.(2013·湖北高考)在复平面内,复数z=
(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【解析】 z=
=
=1+i,所以
=1-i,故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限.
【答案】 D
二、填空题
6.(2013·江苏高考)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为________.
【解析】 z=(2-i)2=3-4i,所以|z|=|3-4i|=
=5.
【答案】 5
7.若
=a+bi(a,b为实数,i为虚数单位),则a+b=________.
【解析】
=
=
[(3-b)+(3+b)i]=
+
i.
∴
解得
∴a+b=3.
【答案】 3
8.当z=-
时,z2012+z2014=________.
【解析】 z=-
,∴z2=
=-i,
∴z2012=(-i)2012=1,
z2014=(-i)2014=-1,
∴z2012+z2014=1-1=0.
【答案】 0
三、解答题
9.计算下列各题:
(1)
+
-
;
(2)
(
+
i)5+(
)4+(
)7;
(3)(-
-
i)12+(
)8.
【解】
(1)原式=[(1+i)2]3
+[(1-i)2]3·
-
=(2i)3·i+(-2i)3·(-i)-
=8+8-16-16i=-16i.
(2)
(
+
i)5+(
)4+(
)7
=-i·(
)5·[(1+i)2]2·(1+i)+[
]2+i7
=16
(-1+i)-
-i
=-(16
+
)+(16
-1)i.
(3)(-
-
i)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 322 复数代数形式的乘除运算 学案人教A版选修12 复数 代数 形式 乘除 运算 学案人教 选修 12