高数二重积分习题解答.docx
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高数二重积分习题解答.docx
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高数二重积分习题解答
第9章重积分及其应用
1.用二重积分表示下列立体的体积:
(1)上半球体:
{(x,y,z)|x2+y2+z2R2;z>0};
(2)由抛物面2=2-必-/,柱面/+『=1及xOy平面所用成的空间立体
解答:
(1)v=x2-y2dxdy,D={(x,y)|x2+y2 D (2)V=j|(2-x2-y2)dxdy,D={(x,y)|x2+y2<1}D 所属章节: 第九章第一节 难度: 一级 2.根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值: (1)Jj-yda,其中D为x? +y24a? : D (2)JJ(b-g+y2)dcr,其中D为x^+y2Wa[b>a>0 D 解答: (1) (2) JJ^a2-x2-y2d D3 所属章节: 难度: 一级 jj(b_Jx? +y? )db=Jia: b--na3d3 第九章第一节 3.一带电薄板位于xOy平面上,占有闭区域D,薄板上电荷分布的面密度为"=4(x,y),且〃(*£在D上连续,试用二重积分表示该板上的全部电荷Q. 解答: Q=JJ//(x,y)da D 所属章节: 第九章第一节 难度: 一级 4.将一平面薄板铅直浸没于水中,取x轴铅直向下,y轴位于水平面上,并设薄板占有xOy平面上的闭区域D,试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答: p=pgxd<7 D 所属章节,第九章第一节 难度: 一级 5.利用二重积分性质,比较下列各组二重积分的大小 ⑴I]=jJ(x+yydo^l2=JJ(x+y)3db,其中D是由x轴,y轴及直线x+yM所围成的区域: DD (2)I1=Jjln(x+y+l)db与"ln(x2+/+1)&7,其中D是矩形区域: 0 DD (3)I1=jjsiif(x+y)dcr与I? =JJ(x+y)2db,其中D是任一平面有界闭区域;DD (4)1]=]卜寸(1(7与12=0寸寸(10",其中D是矩形区域: -10X00,0 解答: (1)在区域D内部,x+y (2)在区域D内部,x +y? +1),所以I/L: ? (3)由于§11/(乂十y)v(x+y)2,所以1产心; (4)在区域D内部,xy<0,故小>看",所以IBE 所属章节,第九章第一节 难度: 一级 6.利用二重积分性质,估计下列二重积分的值 (2) I=jjsin(x2+y2)dcr,D=^(x,y)| ⑴际而db,D={(x,y)||x|+|yM ⑷I=JJex'"y'dcr,D=1(x,y)|x2+y2<: } 解答: (1)由于口={(*丫)|04乂《4,04丫08}的面积为32,在其中」_-—— 11116111(4+x+y)1114 而等号不恒成立,故高<1(捻 (2)由于D={(x,y)《(X? +寸V智的面积为#,在其中孝(sind+y? )K1,而等号不 入一卡小壶T兀- 怛成U,故^—<1<一; 42 (3)由于D={(x,y)||x|+|y区1}的面积为2,在其中」一《-<—,而等号 102100+cos'x+cos-y100 不恒成立,故上<1<-! -: 5150 注: 原题有误? 还是原参考答案有误? 如将D={(x,y)||x|+|y|«l}改为 D={(x,y)|>|至],则区域面积为200,结论为吧<1<2 51 (4)由于D={(x,y)|x2+y24: }的面积为,在其中1WsiiKx? +y2) 1 .,JrTzre4 故一<1<——.44 所属章节: 第九章第一节 难度: 二级 Uni二ff ioirr 解答: 先用积分中值定理,再利用函数的连续性,即得 lim±fff(x,y)db=lim工f(J,〃)b=limf&,〃)=f(0,0). 所属章节: 第九章第一节难度: 二级 8.设gx,y)在有界闭区域D上非负连续,证明: (1)若4X,y)不恒为零,则JJf(x,y)d(7>0;D (2)若JJf(x,y)dcr=O,则f(x,y)三0D 解答: (1)若Rx,y)不恒为零,则存在(5,%)£D,f(%,%)>0,利用连续函数的保号性, 存在(4,%)的一个邻域D]uD,在其上恒有f(x,y)>0,于是JJf(x,y)b>,而 f(x,y)d*>,所以jjf(x,y)dcr=jjf(x,y)dcr+jjf(x,y)dcr>0; DfDnDf (2)假若gx,y)不恒为零,则由上题知Jjf(x,y)dcr>0,矛盾,故f(x,y)=0. D 所属章节: 第九章第一节 难度: 一级 9.计算下列二重积分: (1)jjxsinydcr,D=1(x,y)|l ; (2)jj(xy2+ex+2y)dcr.D={(x,y)|-l (3) JJxye^dcr,D={(x,y)|0 D (5)JJxdcr,D={(x,y)|x24-y2>2^2+/<2x)D 解答: (1)jjxsinydcr=jdxj02xsinydy=jxdx=—;D1° (2)JJ(4+e*2y)dcr=LdxJo(到2D jjxye^do-=J;dxj;xye*')dy=(弓仁、-l)dx=: _1 D2~ £)-1/ Jjx2ysi^xy2)db="dxj;x2ysii^xy2)dy=£2—(x-xcos4x)dx=一;d216 ⑸a=£dyfxdx=f1TTFdy=1. 所属章节: 第九章第二节 难度: 一级 10.画出下列各题中给出的区域D,并将二重积分“f(x,y)db化为两种次序不同的二次积分: D (1)D由曲线y=lnx,直线x=2及x轴所围成; (2)D由抛物线尸X2与直线2x+y=3所围成; (3)D由y=Q及卢sinx(0WxWJi)所围成: (4)D由曲线y=x3,产x所围成: (5)D由直线y=0,y=l,y=x,广x-2所围成 解答: 本题图略,建议画出 (1)J;dxj: f(x,y)dy=dyj;f(x,y)dx: (2)J: 收£;'t(工y"y=Jody《t(%丫)而+J: dyf3'⑴y)dx; M anx广]“一arcsiny f(x,y)dy=jodyLyf(x,y)dx; (4) 注: 原题有误? 还是原参考答案有误? 如将“D由曲线卢x3,卢x所围成”改为“D由曲线 y=x3,y=l,x=-l所围成”,则答案为原参考答案 J: 很J;f(心丫曲=J: dy(f(x,y)dx; ⑸JoMof(*y)dy+J;f(%y)dy+J: f(%y)dy=J;dyj: f(x,y)dx 所属章节: 第九章第二节难度: 一级 11.计算下列二重积分: (1)JJtdcr,D由曲线^2,y=x,xy=l所围成;dy (2)JJxcos(x+y)dxdy.D由点(0,0),(兀,0),(ti,兀)为顶点的三角形区域: D (3)JJxJQdb,D由抛物线y=返和y=W围成: D (4)JJxydxdy,D由抛物线『=x与直线产x-2所围成;D \ (5)sin—dcr,D由直线产x,产2和曲线x=『所用成d\y7 解答: (1),3db=J;dxJ;=dy=j: (x3_x)dx=: ; (2) (3) (4) jjxcos(x+y)dxdy=£dxj;xcos(x+y)dy=£(xsiii2x-xsinx)dx=-—; D2gx£db=J;dxj: x&dy=虑(x工一x4)dx=* jjxydxdy=j;dyxydx=j;—y(y2+4y+4-y4)dx=—; D-F_28 jjsin(—)dcr=j'dy/sin(—)dx=j(ycos1-ycosy^dy=30°乳+疝1-疝4 dy1yy12 所属章节: 第九章第一节难度: 二级 12.画出下列各题中的积分区域,并交换积分次序(假定&x,y)在积分区域上连续): (1)f(“y)dx; (2)£dyj«'f(x,y)dx; 13.计算下列二次积分: ⑴JbyjTTTdx;Q)fM「dy; nx. /八「彳」sinx ⑶kdyJ;-4X5 W : cosxVl+cos2xdx; Mcsiny (6)fdx'si嗤dy+J: dx(sin1^dy 解答: (1)设DdxZ+VVR'xNO.yNO,则 (3)由于积分区域关于x对称,被积函数是关于y的奇函数,故“(1+x+x2)arcsin? dcr=0: DR (4)设D]: x+y«l,xNO,yNO,则 Jj(|x|+1y|)dxdy=2JJ|xdxdy=8jjxdxdy=8,dxfXxdy=—.ddn3 所属章节: 第九章第二节难度: 二级 15.利用极坐标化二重积分JJf(x,y)db为二次积分,其中积分区域D为: D (1)Dix-^+y2 (2)D:
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