高中数学必修一321 函数模型及其应用 学案.docx
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高中数学必修一321函数模型及其应用学案
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
学习目标:
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.(重点)2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.(难点)
[自主预习·探新知]
三种函数模型的性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
随n值而不同
增长速度
①y=ax(a>1):
随着x的增大,y增长速度越来越快,会远远大于y=xn(n>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度越来越慢
②存在一个x0,当x>x0时,有ax>xn>logax
[基础自测]
1.思考辨析
(1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.( )
(2)当a>1,n>0时,在区间(0,+∞)上,对任意的x,总有logax (3)函数y=log x衰减的速度越来越慢.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ 2.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( ) A.y=ex B.y=lnx C.y=x2D.y=e-x A [结合指数函数,对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确.] 3.某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图321所示. 图321 以下四种说法: ①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产;④第三年后产量保持不变. 其中说法正确的序号是________. 【导学号: 37102371】 ②④ [结合图象可知②④正确,故填②④.] [合作探究·攻重难] 几类函数模型的增长差异 (1)下列函数中,增长速度最快的是( ) A.y=2018x B.y=x2018 C.y=log2018xD.y=2018x (2)下面对函数f(x)=log x,g(x)= x与h(x)=x 在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是( ) A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢 B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快 C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越慢 D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快 (1)A (2)C [ (1)指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,并且随a值的增大,增长速度越快,应选A. (2)观察函数f(x)=log x,g(x)= x与h(x)=x 在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知: 函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢,同样,函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢.] [规律方法] 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. (2)指数函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓. (4)幂函数模型 幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间. [跟踪训练] 1.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表: x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1024 37768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数函数变化的变量是________. 【导学号: 37102372】 y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.故填y2.] 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2. (1)请指出图322中曲线C1,C2分别对应的函数; 图322 (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2016),g(2016)的大小. [解] (1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x. (2)∵f (1)>g (1),f (2)<g (2),f(9)<g(9),f(10)>g(10), ∴1<x1<2,9<x2<10, ∴x1<6<x2,2016>x2. 从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x), ∴f(6)<g(6); 当x>x2时,f(x)>g(x), ∴f(2016)>g(2016). 又g(2016)>g(6), ∴f(2016)>g(2016)>g(6)>f(6). [规律方法] 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数. [跟踪训练] 2.函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图323所示. 图323 (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数; (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较). 【导学号: 37102373】 [解] (1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx. (2)当x 需选择函数模型的实际问题 [探究问题] 1.一次函数模型、指数函数模型、对数函数模型的增长速度各有什么特点? 提示: 一次函数模型的增长速度不变,是均匀的;指数函数模型的增长速度最快,呈爆炸式;对数函数模型的增长速度先快后慢. 2.在选择函数模型时,若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化,应选择哪个函数模型? 若变化的速度很平缓,应选择哪个函数模型? 提示: 前者应选择指数函数模型,后者选择对数函数模型. (1)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( ) A.一次函数B.二次函数 C.指数型函数D.对数型函数 (2)某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长,就月份为x,产量为y给出三种函数模型: y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量? 思路探究: 结合函数模型的增长速度选择合适的模型求解. (1)D [结合“直线上升,对数增长,指数爆炸”可知,对数型函数符合题设条件,故选D.] (2)由题意知,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据. ①设模拟函数为y=ax+b时, 将B,C两点的坐标代入函数式, 得 解得 所以有关系式y=0.1x+1. 由此可得结论为: 在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1000双,这是不太可能的. ②设模拟函数为y=ax2+bx+c时,将A,B,C三点的坐标代入函数式,得 解得 所以有关系式y=-0.05x2+0.35x+0.7. 结论为: 由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下,对称轴为x=3.5),不合实际. ③设模拟函数为y=abx+c时, 将A,B,C三点的坐标代入函数式, 得 由1),得ab=1-c,代入2)3), 得 则 解得 则a= =-0.8. 所以有关系式y=-0.8×0.5x+1.4. 结论为: 当把x=4代入得y=-0.8×0.54+1.4=1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如: 增产的趋势和可能性.经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而指数型函数模型恰好反映了这种趋势. 因此选用指数型函数y=-0.8×0.5x+1.4,模拟比较接近客观实际. [规律方法] (1)此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型,也就是借助数据信息,得到相关方程,进而求出待定参数. (2)函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容,解题的关键在于通过对已知数据的分析,得出重要信息,根据解题积累的经验,从已有的各类型函数中选择模拟,进行数据的拟合. [跟踪训练] 3.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现: 该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减. (1)下列几个模拟函数中: ①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,单位: 千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位: L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适? 说明理由; (2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2L,人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5L,把 (1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少? 【导学号: 37102374】 [解] (1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①来模拟比较合适. (2)因为人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销量为2升;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销量为5升,把x=1,y=2;x=4,y=5代入到y=ax2+bx,得 解得a=- ,b= ,所以函数解析式为y=- x2+ x.(x∈[0.5,8]) ∵y=- x2+ x=- 2+ ,∴当x= 时,年人均A饮料的销售量最多是 L. [当堂达标·固双基] 1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型( ) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型D.对数函数模型 A [自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.故选A.] 2.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( ) 【导学号: 37102375】 A.y=1B.y=x C.y=3xD.y=log3x C [结合函数y=1,y=x,y=3x及y=log3x的图象可知(图略),随着x的增大,增长速度最快的是y=3x.] 3.能使不等式log2x A.(0,+∞)B.(2,+∞) C.(-∞,2)D.(4,+∞) D [当x>4时,log2x 4.某人投资x元,获利y元,有以下三种方案.甲: y=0.2x,乙: y=log2x+100,丙: y=1.005x,则投资500元,1000元,1500元时,应分别选择________方案. 【导学号: 37102376】 乙、甲、丙 [将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出.] 5.画出函数f(x)= 与函数g(x)= x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系. [解] 函数f(x)与g(x)的图象如图所示. 根据图象易得: 当0≤x<4时,f(x)>g(x); 当x=4时,f(x)=g(x); 当x>4时,f(x)
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- 高中数学必修一 321 函数模型及其应用 学案 高中数学 必修 函数 模型 及其 应用