人教版高中数学选修2123《双曲线的简单几何性质第1课时》教学设计.docx
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人教版高中数学选修2123《双曲线的简单几何性质第1课时》教学设计
2.3.2双曲线的简单几何性质(第1课时)(杨军君)
一、教学目标
(一)学习目标
1.了解双曲线的简单几何性质,如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率;
2.通过观察、类比、转化、概括等探究,提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力.
(二)学习重点
双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质
(三)学习难点
双曲线的渐近线.
二、教学设计
(一)预习任务设计
1.预习任务
(1)读一读:
阅读教材第56页至第58页.
(2)想一想:
双曲线的渐近线的作用?
(3)写一写:
焦点分别在x,y轴上的双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线方程.
2.预习自测
1.下面结论正确的个数是()
①双曲线与的形状相同.
②双曲线与的渐近线相同.
③双曲线与有相同的渐近线.
④双曲线与有相同的焦点.
A.1B.2C.3D.4
【知识点】双曲线的几何性质.
【解题过程】
(1)中与有相等的焦距与实轴长,故两形状形同;与具有形同渐近线的双曲线可表示为,故②不对③正确;④中的取值范围不确定,故④不对.
【思路点拨】注意利用双曲线方程的结构认识双曲线的几何性质.
【答案】B
(二)课堂设计
1.知识回顾
在椭圆部分,我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质.那么,你认为应该研究双曲线的哪些性质呢?
范围、对称性、顶点、离心率等.
这就是我们今天要共同学习的内容:
双曲线的简单几何性质
2.新知讲解
探究一:
探究双曲线的简单几何性质
●活动①师生互动,探索性质
我们先来研究一下焦点坐标在x轴上的双曲线的简单几何性质.
由标准方程,从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方向来看,随着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线.双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心.
(1)范围:
问题1:
从图形看,x的取值范围是什么?
问题2:
从标准方程能否得出这个结论呢?
问题3:
y的范围呢?
(2)对称性
问题1:
从图形看,双曲线关于什么对称性?
关于x轴、y轴和原点都是对称的
问题2:
那么,类比椭圆几何性质的推导,从标准方程如何得出这个结论呢?
提示:
用-y代替原方程中的y,若方程不变,则该曲线关于x轴对称.同理,若用-x代替原方程中的x,若方程不变,则该曲线关于y轴对称.若用-x,-y分别代替原方程中的x,y,若方程不变,则该曲线关于原点对称.
所以,双曲线是关于x轴、y轴和原点都是对称的x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.
【设计意图】问题引领,培养学生类比、归纳能力.
(3)顶点
问题1:
椭圆的顶点有几个?
(4个)它是如何定义的?
(椭圆与对称轴的交点)
问题2:
类比椭圆顶点的定义,我们把双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点.由图形可以看到,双曲线的顶点有几个?
顶点坐标是?
虽然对比椭圆,双曲线只有两个顶点,但我们仍然把标在图形上.为了后面定义渐近线表述的方便,定义如图矩形为双曲线的特征矩形.
椭圆中有长轴和短轴的概念,并且长轴比短轴长.双曲线中也有类似的定义.如图,线段叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做半实轴长;线段叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的半虚轴长.
我们知道,双曲线定义中a和b的大小关系是不确定的.但是它们之间存在一种特殊的关系:
a=b.此时实轴2a和虚轴2b也是相等的.实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的方程为.
(4)渐近线
标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢?
通过操作确认,发现渐近线是双曲线特征矩形的对角线,其方程是.
定义:
特征矩形的两条对角线叫做双曲线的渐近线.
双曲线的渐近线方程是即.
注意:
通过变形,对比双曲线方程与渐近线方程,可以发现:
将双曲线方程中的1改为0后得到新的方程,它的解就是两条渐近线方程.(此处提供了一种求双曲线的渐近线方程的方法,避免记忆公式)
焦点在y轴上的双曲线的渐近线:
即
(5)离心率
类比椭圆,我们把双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率.
问题1:
椭圆离心率的范围是什么?
(0 (影响椭圆的扁平程度,e越大椭圆越扁). 问题2: 那么,双曲线的离心率的范围是什么呢? 由等式,可得: ,不难发现: e越小(越接近于1),就越接近于0,双曲线开口越小;e越大,就越大,双曲线开口越大.所以,双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小.通过对这些性质的探究,就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系,更加准确的作出双曲线的图形. 问题3: e对双曲线的形状有何影响呢? 得出结论: e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大. ●活动②巩固基础,检查反馈 例1.求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 【知识点】双曲线的几何性质. 【解答过程】把方程化为标准方程. 由此可知,半实轴长,半虚轴长.所以,焦点坐标是 离心率,渐近线方程是. 【思路点拨】从方程研究双曲线的几何性质,需要将方程转化为标准形式. 【答案】见解题过程. 同类训练已知双曲线过点,离心率,求该双曲线的标准方程. 【知识点】双曲线的几何性质. 【解题过程】若双曲线焦点在轴上,设双曲线方程为: ,由条件知: ,解得: . 若双曲线焦点在轴上,设双曲线方程为: ,同理可得: (不符合,舍去). 所以,双曲线方程为. 【思路点拨】解题时注意双曲线焦点的位置. 【答案】. 例2.已知双曲线的渐近线方程为,且双曲线过点,求此双曲线的标准方程. 【知识点】渐近线方程. 【解题过程】设所求双曲线的标准方程可设为,由题意得,解得. 所以,所求双曲线的标准方程为. 【思路点拨】结合渐近线方程与双曲线方程之间的关系,对渐近线是的双曲线方程可设为,再通过待定系数法求解. 【答案】. 同类训练一椭圆的方程为,焦距为.若一双曲线与此椭圆共焦点,且它的实轴比椭圆的长轴短,双曲线的离心率与椭圆的离心率之比是,求椭圆和双曲线方程. 【知识点】椭圆与双曲线的几何性质. 【解题过程】设分别为双曲线的实半轴、虚半轴长.依题意知: ,解得: . 于是,椭圆的短半轴长,双曲线的虚半轴长,故椭圆、双曲线方程分别为. 【思路点拨】灵活利用双曲线的几何性质解题. 【答案】椭圆方程: ;双曲线方程: . 例3.求与双曲线共渐近线,且通过点的双曲线的标准方程. 【知识点】双曲线的标准方程与渐近线方程. 【解题过程】因为与双曲线共渐近线,故可设所求双曲线方程为: 把代入,得 所求双曲线方程为: . 【思路点拨】渐近线的双曲线独有的性质,对不同形式的双曲线方程,须牢记渐近线方程,同时要熟练掌握共渐近线的双曲线方程的统一形式: 与共渐近线的双曲线方程为: . 【答案】. 同类训练已知双曲线的渐近线方程是,求该双曲线的离心率. 【知识点】双曲线的几何性质. 【解题过程】若双曲线焦点在轴上,设方程为,由题意知: ,又,故,所以. 若双曲线焦点在轴上,同理可得: . 综上,或. 【思路点拨】利用双曲线的方程解决相应几何性质问题,注意解题时分清双曲线焦点的位置. 【答案】或. 3.课堂总结 知识梳理 双曲线的简单几何性质: 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 实轴长,虚轴长. 焦点 焦距 ,其中, 对称性 对称轴: 轴,对称中心: 离心率 ,范围: 渐近线方程 重难点归纳 (1)双曲线的渐近线方程是即 (2)渐近线是的双曲线方程可设为 (三)课后作业 基础型自主突破 1.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为() A.x±y=0B.x±y=0 C.x±2y=0D.2x±y=0 【知识点】双曲线的性质. 【解答过程】e==,e==, ∴e·e==1-()4=,∴=,∴双曲线的渐近线方程为y=±x. 【思路点拨】由双曲线离心率的定义求解. 【答案】A 2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于() A.-B.-4 C.4D. 【知识点】双曲线的标准方程及几何性质. 【解答过程】双曲线方程化为标准形式: y2-=1, 则有: a2=1,b2=-, 由题设条件知,2=,∴m=-. 【思路点拨】由双曲线方程的性质整理即可. 【答案】A 3.双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是() A.m> B.m≥1 C.m>1 D.m>2 【知识点】双曲线的标准方程及几何性质. 【解答过程】双曲线离心率e=>,所以m>1,选C. 【思路点拨】由双曲线性质即可. 【答案】C 4.以椭圆+=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为() A.-=1B.-=1 C.-y2=1D.-y2=1 【知识点】双曲线的标准方程. 【解答过程】椭圆+=1中,a=2,c=,由条件知,双曲线中焦点为(±2,0),顶点为(±,0),∴选A. 【思路点拨】由双曲线性质即可. 【答案】A 5.若双曲线+=1的渐近线方程为y=±x,则双曲线的焦点坐标是________________. 【知识点】双曲线的标准方程及渐近线的性质. 【解答过程】由双曲线方程得出其渐近线方程为y=±x,∴m=-3,求得双曲线方程为-=1,从而得到焦点坐标(,0)(-,0). 【思路点拨】由双曲线及渐近线性质即可. 【答案】(,0)(-,0) 6.两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b,则双曲线-=1的离心率为________. 【知识点】双曲线的性质. 【解答过程】∵两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b, ∴解得a=5,b=4, ∴双曲线方程为-=1,∴c==, ∴双曲线-=1的离心率e==. 【思路点拨】由双曲线离心率的性质即可. 【答案】 能力型师生共研 1.已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在双曲线上,则·=() A.-12B.-2 C.0D.4 【知识点】双曲线及其渐近线的性质. 【解答过程】由渐近线方程为y=x知,=1,∴b=, ∵点P(,y0)在双曲线上,∴y0=±1, y0=1时,P(,1),F1(-2,0),F2(2,0),∴·=0, y0=-1时,P(,-1),·=0,故选C. 【思路点拨】由双曲线的性质即可. 【答案】C 2.已知F1、F2为双曲线的焦点,以F1F2为边作正三角形,若双曲线恰好平分另外两边,则双曲线的离心率为() A.1+B.1- C.D. 【知识点】双曲线的性质. 【解答过程】设以F1F2为边的正三角形与双曲线右支交于点M,在Rt△MF1F2中可得,|F1F2|=2c,|MF1|=c,|MF2|=c,由双曲线的定义有|MF1|-|MF2|=2a,即c-c=2a,所以双曲线的离心率e===+1,故选A. 【思路点拨】由双曲线的性质即可. 【答案】A 探究型多维突破 1.若F1,F2是双曲线-=1的左、右两个焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小. 【知识点】双曲线的几何性质. 【解答过程】由双曲线的方程,知a=3,b=4,所以c=5. 由双曲线的定义得,||PF1|-|PF2||=2a=6. 上式两边平方得,|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=10
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- 双曲线的简单几何性质第1课时 人教版 高中数学 选修 2123 双曲线 简单 几何 性质 课时 教学 设计