浙江专用高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式第二讲小题考法基本初等函数函数与方.docx
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浙江专用高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式第二讲小题考法基本初等函数函数与方
小题考法
基本初等函数、函数与方程、函数模型的应用
考点
(一)基本初等函数的概念、
图象与性质
主要考查指数函数、对数函数的运算及其图象与性质;
幕函数的图象与性质、二次函数的图象与性质及最值问题.
[典例感悟]
⑴(2017-浙江高考)若函^f(x)=x2+ax+b在区间
C.与°无关,且与方无关D.与“无关,但与方有关[解析]f(X)=兀+导2—牛+b,
①当0W—务1时,/(x)min=zw=//(x)max=
M=max{f(0),f(l)}=max{^l+a-hb},
.\M—m=max^,l+a+:
与°有关,与〃无关;
.[a2'I
②当一|v0时,金)在[0,1]上单调递增,
•\M—m=/
(1)—f(0)=1+a与a有关,与b无关;
③当一号>1时,金)在[0J]上单调递减,
M—m=/(0)—/(I)=—l—a与a有关,与b无关.
综上所述,M-m与"有关,但与〃无关.[答案]B
A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z[解析]^2x=y=5z=k>lt
•\x=log2A;,y=log衣,Z=log5^・
23
V2x-3j=21og^-31og^=log^-log^
21o汝3—31o璟2lo汝3?
—]0汝2‘
_logfc2-log*3_lo辭・lo臥3
】9
10昨
=10影・lo啜3>°'・・・S3y;
310甌5—510脈3=呃5Jo&35=10乐莎乜log*3・lo乐5—lo乐3・lo乐5—lo乐3・lo乐5
.\3y<5z;
2521o&t5—51og*2
・・・2x—5z=21。
咏—51喙匸莎—莎=飞顾厂
25
•\5z>2x.5z>2x>3y.
10加2_10討10顷
=<0,logQ・lo^510^2-10^5
(3)由对数的定义知ax=2,所以厂=|,因此戶+犷加=
(117
@)2+(厂)2=22+制2=}[答案]2乎
[方法技巧]
3招破解指数、对数、幕函数值的大小比较问题
(1)底数相同,指数不同的幕用指数函数的单调性进行比较.
(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较.
(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个
数,常引入中间量或结合图象比较大小.
[演练冲关]
1.(2017•北京高考)已知函数则心)
是奇函数,且在R上是增函数
是偶函数,且在R上是增函数
是奇函数,且在R上是减函数
是偶函数,且在R上是减函数
解析:
因为Z3)=3“一且定义域为R,所以A—兀)=3一"⑴
A.
B.
C.
iyj=—f(x),即函数o是奇函El在R上是减函数,所以
在R上是增函数.答案:
A
Zl"_3乂=一
数.又y=3x在R上是增函数,j=
/(x)=3x-
7
(1)£]
2.(2018•天津高考)已知a=log32,彳,c=log|^,则a,bfc的大小关系为()
A.a>b>cB.b>a>c
C.c>b>aD.c>a>b
17
解析:
Vc=log|^=log35,a=lo疥刁
7
•;10疥5>10疥㊁>10疥3=1,.\c>a>1.
^b
•・)=£}在(一8,+8)上是减函数,•严m一
答案:
D
VHlE+ZJlE+MX2・EHI+PZXFHO(gltozl)+sz.oQex异
(孚)+寸乩01><£:
曲01・H
0(810z—)+sz・08x异-*44(驰邀早BaHTH?
・M餐鸣6I0Z).
H寸0201
4.定义区间旳,x2](x1 3 的最小值为京则实数“的值为解析: 作出函数y=lloal的图象(图略),要使定义域区间[加,可的长度最小,则[皿〃]=£1或[加,n]=[l,a]. ■13 若贝0«=4,此时g—1=3,符合题意.若Q—1 37133 =4»贝0«=4,此时1~a=7<4f不符合题意,所以。 =4・ 答案: 4 考点 (二)函数的零点 (或范围). [典例感悟] [典例]⑴(2018•缙云质检)已知怒)是定义在R上的奇函 数,当&0时,f(x)=x2—2x9贝! |函数g(x)=/(x)+l的零点的个 数是() A.1B.2C.3D.4 [解析]若xvO,—x>0,贝! l/(—x)=x2+2x・ •・VY)是定义在R上的奇函数,.V(-x)=x2+2x=-/(x),即Ax)=~x2—x<0, 当兀$0时,由g(x)=f(x)+1=0得x2—2x+l=0, 即(x—1)2=0,得兀=1・ 当x<0时,由g(x)=f(x)^rl=O得一X2—2x+l=0,即x2+2x-1=0. 即(x+1)2=2,得x=^2-l(舍)或兀=一边一1,故函数g(x)=/(x)+1的零点个数是2个,故选B・ [答案]B [llog2(l—x)l,X<1, (2)(2019届离三•宁波十校联考)已知函数冷)=_x2+4x_2工$]则方程/2〕=1的实根个数为() \xJ A.8B・7C・6D・5 [解析]令/(x)=l,得兀=3或x=l或x=|或兀=—1, (1}111 •: fx+~—2=1,: .x+-—2=3或x+-—2=1或x+-—2 \儿J人儿儿 諾或x+l_2=_1- 令g(")=x+Z—2,则当兀>0时,g(x)M2—2=0,当兀v0时,g(x)W—2—2=—4, 作出g(x)的函数图象如图所示: -1 / 1 X -4 1111 ・•・方程x+兀—2=3,x+x—2=1,兀+兀一2=空均有两解, 方程兀+;-2=-1无解. ・: 方程/x+£—2=1有6解.故选C・ IK丿 [答案]C ⑶(2017-全国卷皿)已知函数/(X)=x2-2x+«(e^1+e^1) 有唯一零点,则"= 由f(x)=OOa(e"T+e_x+1)=—x2+2x. e”T+ep+iM2寸严孑丙=2,当且仅当兀=1时等号成立. —x2+2x=—(x—1)2+1^1,当且仅当x=l时等号成立. 若°>0,则a(ex_1+e-x+1), 要使/3)有唯一零点,则必有2a=l,即«—2* 若aWO,则/(兀)的零点不唯一. 综上所述,a 1 •故选c・[答案]C [方法技巧] 1.判断函数零点个数的方法 直接法 直接求零点,令/*3)=0,则方程解的个数即为函数零点的个数 定理法 利用零点存在性定理,但利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在,必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点 数形结合法 对于给定的函数不能直接求解或画出图象的,常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题 2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解. [演练冲关] 1.(2018-湖州、衢州、丽水高三质检)已知函数f(x)=\x—l\ +lxl+lx+ll,则方程/(2x-l)=/(x)W有根的和是() A.|B.lC.|D.2 解析: 由题可知函数/(工)为偶函数,且在(一8,0)上单调递减,(0,+8)上单调递增.从而方程/(2x-l)=/(x)等价于I2r—11=1x1,解得工=1或x=|,所以根的和为扌,故选C.答案: C 2.已知函数于(兀)= 即-1,兀W0,则/(/•(-! ))=_2x2—lnx,x>0, 若函数—“恰有一个零点,则“的取值范围是 解析: •・•/(—i)=i,•・・/(/■(—i))=y(i)=2. 4x2-1 ,2 ・••当x=|时,作出函数/(0的图象如图所示. •••函数y=f(x)-a恰有一个零点, 11「1 11、 2“2 •••0£“电一1吁答案: 20,/Tn: 3.(2018-镇海中学阶段性测试)已知函数y=f(x)和y=g(x)在 [-2,2]上的图象如下图所示.给出下列四个命题: 1方程/(g(x))=0有且仅有6个根; 2方程g(f3))=o有且仅有3个根; 3方程Af3))=o有且仅有5个根; 4方程g(g(x))=0有且仅有4个根. 解析: 由题图知方程/(/)=0有三个根,/岸(一2,-1),/2=0,心丘(1,2),由题图知方程g(Q=ti有两个不同的根;方程g(Q=(2=0有两个不同的根,方程g(X)=/3有两个不同的根,则方程/@(兀))=0有且仅有6个根.故①正确;由题图知方程g(“)=0有两个根,“1丘(一2,-1),“2^(0,1),由题图知方程/(兀)=血只有1个根,方程才3)="2有三个不同的根,则方程g(/*3))=o有且仅有4个根.故②不正确;由题图知方程/(对=(1只有1 个根,方程/(x)=/2=0有三个不同的根,方程/(对=心只有1个根,则方程/(/&))=0有且仅有5个根.故③正确.由图知方程g(x)="i有两个不同的根,方程g(x)=u2有两个不同的根,则方程gte(x))=0有且仅有4个根.故④正确.故①③④正确.答案: ①③④ [典例感悟] [典例] (1)(2018•开封棋拟)李冶(1192〜1279),真定栾城(今河北省石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题: 求圆的直径、正方形的边长等.其中一问: 现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是(注: 240平方步为1亩,圆周率按3近似计算)() A.10步,50步B.20步,60步 C.30步,70步D.40步,80步 111 [解析]设圆池的半径为尸步,则方田的边长为(2卄40)步,由题意,得(2r+40)2-3r2=13.75X240,解得厂=10或尸=一170(舍去),所以圆池的直径为20步,方田的边长为60步,故选B. [答案]B (2)某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P=P^kt.如果在前5小时消除了10%的污染物,那么污染物减少19%需要花费的时间为小时. [解析]前5小时污染物消除了10%,此时污染物剩下90%,即t=5时,P=O.9Po,代入,得2巧5=0.9,・・.「&=0・9恳,・・・P=Poe"=Po(O・9如当污染物减少19%时,污染物剩下81%,此时P=O.8L? o,代入得0.81=(0.95解得(=1°,即 需要花费10小时. [答案]10 [方法技巧] 解决函数实际应用题的2个关键点 (1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实 际背景,然后进行科学地抽象概括,将实际问题归纳为相应 的数学问题. (2)要合理选取参变量,设定变量之后,就要寻找它们之 间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立 相应的函数模型,最终求解数学模型使实际问题获解. [演练冲关] 鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为贝! | x+j+z=100, 5x+3y+|z=100, 1.(2018•浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题: “今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何? ”设 当z=81时,x=,y= x+j+81=100, z5x+3j+^X81=100, 2.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产兀千件该 产品需另投入的成本为G(x)(单位: 万元),当年产量不足80 [ 千件时,G(x)=^x2+10x;当年产量不小于80千件时,G(x) =51兀+址1450.已知每件产品的售价为0・05万元通 过市场分析,该工厂生产的产品能全部售完,则该工厂在这 解析: •••每件产品的售价为0.05万元,千件产品的销售额为0.05X1000x=50x万元.①当0 111 —~x2—10x—250=—~x2+40x—250=—~(x—60)2+950,/•当兀=60时,L&)取得最大值,且最大值为£(60)=950万元; ②当x^80时,L(x)=50x-51x1450-250=12003C 10000、 兀丿 且仅当兀= 1°7°°,即x=100时,L3)取得最大值1000万元由 于950<1000,A当年产量为100千件时,该工厂在这一产品的 生产中所获年利润最大,最大年利润为1000万元. 答案: 1000 必备知能■自主补缺 (一)主干知识要记牢 1.指数函数与对数函数的对比表 解析式 y=ax(a>09且aHl)y=\ogax(a>^,且“Hl) 2.方程的根与函数的零点 ⑴方程的根与函数零点的关系 由函数零点的定义,可知函数对的零点就是方程/(兀)=0的实数根,也就是函数丁=/(兀)的图象与兀轴的交点的横坐标.所以方程/(兀)=0有实数根O函数y=/(x)的图象与兀轴有交点0函数y=/(对有零点. (2)函数零点的存在性定理 如果函数y=/(x)在区间[“,勿上的图象是连续不断的一条 曲线,并且/(a): Ab)vO,那么函数冷)在区间(a,b)内至少有一 个零点,即存在cE(a,b),使得/(c)=0,这个c也就是方程 /(x)=0的实数根. [针对练1]在下列区间中,函数/(兀)=£+4兀一3的零点 所在的区间为 解析: 因为/@=右4对—3=/_2<0,疋”+ 点所在的区间为百,\ 答案: C (-)易错易混要明了 1.不能准确理解基本初等函数的定义和性质.如讨论函 数y=a《>0,。 工1)的单调性时忽视字母。 的取值范围,忽视 «x>0;研究对数函数j=log«x(a>0,aHl)时忽视真数与底数 的限制条件. 2.易混淆函数的零点和函数图象与兀轴的交点,不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化. 3.函数f(x)=ax2+bx-\-c只有一个零点,要注意讨 论a是否为零. [针对练2]函数/*3)=加: 2一加+1有且仅有一个正实数 零点,则实数加的取值范围为 解析: 当加=0时,/(x)=—2x4-1,贝||兀=扌为函数的零点. 当加H0时,若/=4—4加=0,即当加=1时,兀=1是函数唯 一的零点・ 若/=4—4加工0,即加H1时,显然兀=0不是函数的零点. 这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程/(x)=mx2-2x +1有一个正根和一个负根. 因此莎V0.则加v0•综上知实数加的取值范围是(一IO]U{1}.tn 答案: (一8,O]U{1} THANKYOU FORWATCHING
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